2022-2023学年广西壮族自治区来宾市兴宾区第三中学高三数学理下学期期末试题含解析

2022-2023学年广西壮族自治区来宾市兴宾区第三中学高三数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数，若函数在区间上恰有一个零点，则k的取值范围为 (A)      (B) (C)    (D) 参考答案： A 2. 执行两次右图所示的程序框图，若第一次输入的x的值为7，第二次输入的x的值为9，则第一次、第二次输出的a的值分别为 （A）0，0      （B）1，1       （C）0，1             （D）1，0 参考答案： D 第一次 ；第二次，选D. 3. 已知命题p：，；命题q：，，则下列命题中为真命题的是：（   ） A．                B．         C．       D． 参考答案： B 4. 已知cos（+a）=，﹣＜a＜0，则sin2α的值是(     ) A． B． C．﹣ D．﹣ 参考答案： D 考点：二倍角的正弦． 专题：三角函数的求值． 分析：由已知可先求sina的值，根据﹣＜a＜0，可求cosa的值，从而由二倍角公式可求sin2α的值． 解答： 解：cos（+a）=， ?coscosa﹣sinsina=， ?﹣sina=， ?sina=﹣， ∵﹣＜a＜0， ∴cosa== ∴sin2α=2sinacosa=2×=﹣． 故选：D． 点评：本题主要考查了同角三角函数关系式、二倍角公式的应用，属于基本知识的考查． 5. 已知等比数列{}的前n项和，则…等于（　） A．　 　B． 　　C．　　　　D． 参考答案： D 略 6. 设集合，则C中元素的个数是（　　） A. 3          B. 4        C. 5         D.6 参考答案： 【知识点】集合中元素个数的最值．A1  【答案解析】B  解析：∵a∈A，b∈B，∴a=1，或a=2或a=3， b=4或b=5，则x=b﹣a=3，2，1，4，即B={3，2，1，4}．故选：B． 【思路点拨】根据集合C的元素关系确定集合C即可． 7. 已知集合，， 若，则实数的取值范围是（    ）                                 参考答案： B 8. O为平面上的一个定点，A、B、C是该平面上不共线的三点，若，则△ABC是(   )   A.以AB为底边的等腰三角形         B.以BC为底边的等腰三角形 C.以AB为斜边的直角三角形         D.以BC为斜边的直角三角形 参考答案： B 9. 已知复数z满足=1﹣i（i为纯虚数），那么复数z（　　） A．1 B．2 C．i     D．2i 参考答案： B 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘法运算化简得答案． 【解答】解：∵， ∴z=（1﹣i）（1+i）=1﹣i2=2． 故选：B． 【点评】本题考查复数代数形式的乘法运算，是基础的计算题． 10. 已知一组样本点其中根据最小二乘法求得的回归方程是则下列说法正确的是 A.若所有样本点都在上，则变量间的相关系数为1    B.至少有一个样本点落在回归直线上  C. 对所有的预报变量  （），的值与有误差 D.若 斜率则变量与正相关 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2，侧棱，P为上底面A1B1C1D1上的动点，给出下列四个结论： ①若，则满足条件的P点有且只有一个； ②若，则点P的轨迹是一段圆弧； ③若PD∥平面ACB1，则DP长的最小值为2； ④若PD∥平面ACB1，且，则平面BDP截正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的外接球所得平面图形的面积为. 其中所有正确结论的序号为          ． 参考答案：   ①②④ 12. 若变量x，y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为　　． 参考答案： ﹣3 【考点】7C：简单线性规划． 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， A（0，3）， 化目标函数z=3x﹣y为y=3x﹣z， 由图可知，当直线y=3x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣3． 故答案为：﹣3． 13. 等比数列{an}中各项均为正数，Sn是其前n项和，且满足2S3=8a1+3a2，a4=16，则S4=   　． 参考答案： 30 【考点】等比数列的前n项和． 【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出． 【解答】解：设等比数列{an}的公比为q＞0，∵2S3=8a1+3a2，a4=16， ∴2a1（1+q+q2）=a1（8+3q），=16， 解得a1=q=2． 则S4==30． 故答案为：30． 　 14. 设，则数列的各项和为       参考答案： 15. 如图，在边长为4的正方形纸片中，与相交于,剪去,将剩余部分沿、折叠，使、重合，则以、（）、、、为顶点的四面体的体积为          参考答案： 16. （几何证明选讲选做题）如图2，⊙的两条割线与⊙交于、、、，圆心在上，若，，，则    ． 参考答案： 【知识点】与圆有关的比例线段．N1 16  解析：设圆半径为r， ∵⊙O的两条割线与⊙O交于A、B、C、D，圆心O在PAB上， ∴PC?PD=PA?PB，∵PC=6，CD=7，PO=12， ∴6（6+）=（12﹣r）（12+r），解得r=8，∴AB=2r=16．故答案为：16． 【思路点拨】由切割线定理得PC?PD=PA?PB，设圆半径为r，则6（6+）=（12﹣r）（12+r），由此能求出AB的长． 17. 一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工________________人． 参考答案： 解析：依题意知抽取超过45岁的职工为． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售价格（单位：元/千克）满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.    （1）求的值； （2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 参考答案： 【知识点】函数模型的选择与应用；利用导数研究函数的单调性  B10,B12 【答案解析】(1)2(2) 时，取得最大值42解析：解（1）因时，，所以 （2）每日所获利润 ，令得或， 当时，，递增，当时，，递减， 故当时，取得最大值42 答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售所获利润最大. 【思路点拨】（Ⅰ）由f（5）=11代入函数的解析式，解关于a的方程，可得a值； （Ⅱ）商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量×销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数，再用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出最大值对应的x值． 19. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是是参数． （1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）若直线与曲线相交于、两点，且，求直线的倾斜角的值． 参考答案： （1）；（2）或； 试题解析：（1）由得，于是有，化简可得                                                5分 （2）将代入圆的方程得， 化简得.  设、两点对应的参数分别为、,则,        , ,,或.                       10分 20. 已知函数，其图象过点（，）． （1）的值； （2）函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在[0, ]上的最大值和最小值． 参考答案： 解：（1）由，得 ∴，于是 （2）由，得 又∵，∴ 由得： 所以   略 21. 在中，分别是角的对边， (1)若且角为锐角，求角的大小； (2)在(1)的条件下，若，求的值. 参考答案： (1)由可得，角为锐角， (2)在中，已知的三角函数值，可求得的值，再由正弦定理可得的值 (1) 解得 又角为锐角， (2) 在中，则 由正弦定理得，解得 知识点：向量的平行，正余弦定理   难度：2 22. （14分）已知函数f(x)= ﹣x3+2ax2﹣3a2x（a∈R且a≠0）． （1）当a=﹣1时，求曲线y=f（x）在（﹣2，f（﹣2））处的切线方程； （2）当a＞0时，求函数y=f（x）的单调区间和极值； （3）当x∈[2a，2a+2]时，不等式|f'（x）|≤3a恒成立，求a的取值范围． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（1）求出函数的导数，计算f（﹣2），f′（﹣2）的值，求出切线方程即可； （2）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可； （3）求出函数f（x）的导数，根据函数的单调性求出f′（x）的最小值和最大值，得到关于a的不等式组，解出即可． 【解答】解：（1）∵当a=﹣1时，，f'（x）=﹣x2﹣4x﹣3， ∴，f'（﹣2）=﹣4+8﹣3=1． ∴，即所求切线方程为3x﹣3y+8=0． （2）∵f'（x）=﹣x2+4ax﹣3a2=﹣（x﹣a）（x﹣3a）． 当a＞0时，由f'（x）＞0，得a＜x＜3a；由f'（x）＜0，得x＜a或x＞3a． ∴函数y=f（x）的单调递增区间为（a，3a），单调递减区间为（﹣∞，a）和（3a，+∞）， ∵f（3a）=0，， ∴当a＞0时，函数y=f（x）的极大值为0，极小值为． （3）f'（x）=﹣x2+4ax﹣3a2=﹣（x﹣2a）2+a2， ∵f'（x）在区间[2a，2a+2]上单调递减， ∴当x=2a时，，当x=2a+2时，． ∵不等式|f'（x）|≤3a恒成立， ∴解得1≤a≤3， 故a的取值范围是[1，3]． 【点评】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．