山东省青岛市即墨安中学2022-2023学年高三数学理月考试卷含解析

山东省青岛市即墨安中学2022-2023学年高三数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图,在正六边形ABCDEF内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是（    ） A．         B．       C.         D． 参考答案： D 本题考查几何概型,考查运算求解能力和应用意识. 设正六边形的边长为2,与的交点为G,易知,,所以,所求的概率为. 2. 已知函数, 则(   ) A.      B.        C.      D. 参考答案： B 3. 设是虚数单位，若复数，则的共轭复数为（   ） A．         B．       C．       D． 参考答案： D 4. 设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则= A.5   B.6    C.7  D.8 参考答案： D 解答： 由题意知直线的方程为，设，与抛物线方程联立有，可得或， ∴，∴.   5. 已知若或，则的取值范围是 A．      B．    C．      D．  参考答案： B 6. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O是四边形ABCD的中心，关于直线A1O，下列说法正确的是（   ） A. A1O∥DC B. A1O⊥BC C. A1O∥平面BCD D. A1O⊥平面ABD 参考答案： C 【分析】 推导出A1D∥B1C，OD∥B1D1，从而平面A1DO∥平面B1CD1，由此能得到A1O∥平面B1CD1．再利用空间线线、线面的位置关系排除其它选项即可. 【详解】∵由异面直线的判定定理可得A1O与DC是异面直线，故A错误； 假设A1O⊥BC，结合A1A⊥BC可得BC⊥A1ACC1，则可得BC⊥AC，显然不正确，故假设错误，即B错误； ∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O是四边形ABCD的中心， ∴A1D∥B1C，OD∥B1D1， ∵A1D∩DO＝D，B1D1∩B1C＝B1， ∴平面A1DO∥平面B1CD1， ∵A1O?平面A1DO，∴A1O∥平面B1CD1．故C正确； 又A1A⊥平面ABD，过一点作平面ABD的垂线有且只有一条，则D错误， 故选：C． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 7. 命题；命题，则命题是命题成立的（     ） A. 充分不必要条件       B. 必要不充分条件 C. 充要条件             D. 既不充分也不必要条件 参考答案： B 8. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，P为C上一点，，O为坐标原点，若|PF1|＝10，则|OQ|＝ A．10  B．9  C．1  D．1或9 参考答案： B 9. 下列判断正确的是（   ） A. 若命题为真命题，命题为假命题，则命题“”为真命题 B. 命题“若，则”的否命题为“若，则” C. “”是“ ”的充分不必要条件 D. 命题“”的否定是“ ” 参考答案： D A项中，因为真假，所以为假命题.故A项错误；B项中，“若，则”的否命题为“若，则”， 故B项错误；C项中，是的必要不充分条件，故C项错误；D选项正确. 10. ，，则 （A）  （B）  （C）  （D） 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若向量满足，则 的值为___    .与的夹角是___    . 参考答案： , 12. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4=10，S3=12，则数列{an}的首项a1=          ，通项an=          ． 参考答案： 1,3n﹣2. 考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式． 专题：等差数列与等比数列． 分析：设出等差数列的首项和公差，由已知列方程组求得首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案． 解答： 解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 由a4=10，S3=12，得，解得． ∴an=1+3（n﹣1）=3n﹣2． 故答案为：1，3n﹣2． 点评：本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础题． 13. 已知，，若，或，则m的取值范围是_________。 参考答案： 略 14. 已知复数z满足，则_______ 参考答案： 【分析】 先由复数的除法，化简复数，再由复数模的计算公式，即可得出结果. 【详解】因为，所以， 因此. 故答案为 【点睛】本题主要考查复数的运算，以及求复数的模，熟记除法运算法则以及模的计算公式即可，属于常考题型. 15. 将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为，则方程有实根的概率为      ． 参考答案： 16. (几何证明选讲选做题)如图，为圆的两条割线，若，，，，则等于            ． 参考答案： 6 17. 若曲线f（x）=3x+ax3在点（1，a+3）处的切线与直线y=6x平行，则a=　 　． 参考答案： 1 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】求出f（x）的导数，求出切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a=1． 【解答】解：f（x）=3x+ax3的导数为f′（x）=3+3ax2， 即有在点（1，a+3）处的切线斜率为k=3+3a， 由切线与直线y=6x平行，可得3+3a=6， 解得a=1． 故答案为：1． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）如图，在以AE=2为直径的半圆周上，B、C，D分别为弧AE的四等分点。 （Ⅰ）在弧AE上随机取一点P，求满足在上的投影大于的概率； （Ⅱ）在以O为起点，再从A，B，C，D，E这5个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两向量数量积为x，则的概率。 参考答案：    则     ……………… 3分 所以使得在上的射影大于的概率 ………………  5分 (2)以O为起点，从A，B，C，D，E这5个点中任取两点分别为终点得到两个向 量所有的基本事件有：   ………………8分 其中数量积为x=的有 19. 在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v（米/单位时间），每单位时间的用氧量为（升），在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9（升），返回水面的平均速度为（米/单位时间），每单位时间用氧量为1.5（升），记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y（升）． （1）求y关于v的函数关系式； （2）若c≤v≤15（c＞0），求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少． 参考答案： 【考点】5D：函数模型的选择与应用． 【分析】（1）分别计算潜入水底用时、用氧量；水底作业时用氧量；返回水面用时、用氧量，即可得到总用氧量的函数； （2）利用基本不等式可得，时取等号，再结合c≤v≤15（c＞0），即可求得确定下潜速度v，使总的用氧量最少． 【解答】解：（1）由题意，下潜用时（单位时间），用氧量为（升）， 水底作业时的用氧量为10×0.9=9（升），返回水面用时（单位时间），用氧量为（升）， ∴总用氧量（v＞0）． （2），令y'=0得，在时，y'＜0，函数单调递减，在时，y'＞0，函数单调递增， ∴当时，函数在上递减，在上递增， ∴此时时用氧量最少．当时，[c，15]上递增，此时v=c时，总用氧量最少． 20. 已知数列中，，前项和． (1) 求数列的通项公式； (2) 设数列的前项和为，是否存在实数，使得对一切正整数都成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 参考答案： 解：（1）（解法一）∵                ∴                ∴                                               整理得                ∴                两式相减得                    即                ∴， 即                      ∴ 数列是等差数列                且，得，则公差                ∴                                   （解法二）    ∵                ∴                ∴                                                 整理得                等式两边同时除以得 ，    即                                累加得                      得                                    （2） 由（1）知          ∴                 ∴                                                                                      则要使得对一切正整数都成立，只要，所以只要           ∴ 存在实数，使得对一切正整数都成立， 且的最小值为 略 21. 如图，点C是以A，B为直径的圆O上不与A，B重合的一个动点，S是圆O所在平面外一点，且总有SC⊥平面ABC，M是SB的中点，AB=SC=2． （1）求证：OM⊥BC； （2）当四面体S﹣ABC的体积最大时，设直线AM与平面ABC所成的角为α，求tanα． 参考答案： 考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角． 专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角． 分析：（1）证明BC⊥平面SAC，BC⊥SA，OM平行于SA，可得OM⊥BC； （2）求出四面体S﹣ABC的体积最大时，，取BC的中点N，连接MN，AN，则MN与SC平行，MN⊥平面ABC，则α=∠MAN，即可求tanα． 解答： （1）证明：由于C是以AB为直径的圆上一点，故AC⊥BC 又SC⊥平面ABC，SC⊥BC，又SC∩AC=C， ∴BC⊥平面SAC，BC⊥SA， ∵O，M分别为AB，SB的中点， ∴OM平行于SA， ∴OM⊥BC… （2）解：四面体S﹣ABC的体积， 当且仅当时取得最大值… 取BC的中点N，连接MN，AN，则MN与SC平行，MN⊥平面ABC，则α=∠MAN， ∴… 点评：本题考查线面垂直的判定与性质，考查四面体体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 22. （12分）已知数列{an}满足a1=2，an+1=+1． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=an+an+1﹣2，证明++…+＜． 参考答案： 考点： 数列与不等式的综合． 专题： 综合题；等差数列与等比数列． 分析： （Ⅰ）证明{（an﹣1）2}是首项为1，公差为1的等差数列，即可求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn=an+an+1﹣2=+，可得++…+=﹣1+﹣+…+﹣=﹣1，即可证明结论． 解答： （Ⅰ）解：∵an+1=+1， ∴（an+1﹣1）2﹣（an﹣1）2=1， 又（a1﹣1）2=1 ∴{（an﹣1）2}是首项为1，公差为1的等差数