2022-2023学年辽宁省大连市第四十八高级中学高一数学理模拟试卷含解析

2022-2023学年辽宁省大连市第四十八高级中学高一数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数值域为R,那么的取值范围是（     ） A．    B．     C．   D． 参考答案： C 2. 三个数a=0.32，b=(1.9)0.3，c=20.3之间的大小关系是 A．a＜c＜b             B．a＜b＜c        C．b＜a＜c       D．b＜c＜a 参考答案： B 3. 函数的定义域是(     ) A.        B.        C．   D． 参考答案： B 4. 用数学归纳法证明命题“”时,在作归纳假设后,需要证明当时命题成立,即需证明 (  ) A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 根据数学归纳法的知识，直接选出正确选项. 【详解】将题目中的，改为，即，故选B. 【点睛】本小题主要考查数学归纳法的知识，属于基础题. 5. 事件分为必然事件、随机事件和不可能事件，其中随机事件A发生的概率的范围是（   ） A．        B．      C．      D． 参考答案： D 必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0，随机事件的概率在[0,1]上，   6. 已知tan60°=m，则cos120゜的值是（　　） A． B． C．D．﹣ 参考答案： B 【考点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值． 【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式求得cos120゜的值． 【解答】解：tan60°=m，则cos120°=cos260°﹣sin260°===， 故选：B． 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题． 　 7. 半径为，中心角为所对的弧长是（    ） A． B． C．      D． 参考答案： D 8. 已知函数，则的（  ） A.最小值为3     B.最大值为3     C.最小值为      D.最大值为 参考答案： D 9. （5分）函数f（x）=3x+x﹣3的零点所在的区间是（） A． （﹣2，﹣1） B． （﹣1，0） C． （0，1） D． （1，2） 参考答案： C 考点： 函数零点的判定定理． 专题： 计算题；函数的性质及应用． 分析： 由题意可判断函数f（x）=3x+x﹣3在R上是增函数且连续，从而由零点判定定理判断即可． 解答： 易知函数f（x）=3x+x﹣3在R上是增函数且连续， f（0）=1+0﹣3＜0， f（1）=3+1﹣3＞0； 故函数f（x）=3x+x﹣3的零点所在的区间是（0，1）； 故选C． 点评： 本题考查了函数的零点的判定定理的应用，属于基础题． 10. 设集合，，则（    ） A．{0,1}     B．{－1,0,1}     C．{1}         D．{0} 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设向量，若⊥，则实数的值为      ． 参考答案： 12. 函数的定义域________． 参考答案： . 【分析】 根据反正弦函数的定义得出，解出可得出所求函数的定义域. 【详解】由反正弦的定义可得，解得， 因此，函数的定义域为，故答案为：. 【点睛】本题考查反正弦函数的定义域，解题的关键就是正弦值域的应用，考查运算求解能力，属于基础题. 13. 已知正三棱锥P﹣ABC，点P，A，B，C都在表面积为12π的球的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为　　． 参考答案： 【考点】点、线、面间的距离计算． 【分析】先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将所求距离转化为正方体中，中心到截面的距离问题，利用等体积法可实现此计算． 【解答】解：∵正三棱锥P﹣ABC，PA，PB，PC两两垂直， ∴此正三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三边的正方体的外接球O，表面积为12π的球的 ∵球O的半径为， ∴正方体的边长为2，即PA=PB=PC=2， 球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离， 设P到截面ABC的距离为h，则正三棱锥P﹣ABC的体积V=S△ABC×h=S△PAB×PC=××2×2×2=， △ABC为边长为2的正三角形，S△ABC=×（2）2=2， ∴h=， ∴球心（即正方体中心）O到截面ABC的距离为﹣=． 故答案为：． 14. 设函数，已知，则 ___________.      参考答案： 15. 若||=||=|﹣|=1，则|+|=　　． 参考答案： 【考点】9R：平面向量数量积的运算． 【分析】首先，根据条件得到，然后，根据向量的模的计算公式求解． 【解答】解：∵||=||=|﹣|=1， ∴， ∴|+|=， ∴|+|=， 故答案为：． 16. 设函数f（x）=，则f（f（﹣1））的值为　　． 参考答案： ﹣2 【考点】分段函数的应用；函数的值． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】直接利用分段函数化简求解即可． 【解答】解：函数f（x）=， 则f（﹣1）=， f（f（﹣1））=f（）=log2=﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力． 17. 若直线：，直线：，则与的距离为          ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设a为实数，函数f（x）=x|x﹣a|． （1）讨论f（x）的奇偶性； （2）当0≤x≤1时，求f（x）的最大值． 参考答案： 【考点】函数的最值及其几何意义． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】（1）讨论a=0时与a≠0时的奇偶性，然后定义定义进行证明即可； （2）讨论当a≤0和a＞0时，求出函数f（x）=x|x﹣a|的表达式，即可求出在区间[0，1]上的最大值． 【解答】解：（1）由题意可知函数f（x）的定义域为R． 当a=0时f（x）=x|x﹣a|=x|x|，为奇函数． 当a≠0时，f（x）=x|x﹣a|， f（1）=|1﹣a|，f（﹣1）=﹣|1+a|， f（﹣x）≠f（x）且f（﹣x）≠﹣f（x）， ∴此时函数f（x）为非奇非偶函数． （2）若a≤0，则函数f（x）=x|x﹣a|在0≤x≤1上为增函数， ∴函数f（x）的最大值为f（1）=|1﹣a|=1﹣a， 若a＞0，由题意可得f（x）=， 由于a＞0且0≤x≤1，结合函数f（x）的图象可知， 由， 当，即a≥2时，f（x）在[0，1]上单调递增， ∴f（x）的最大值为f（1）=a﹣1； 当， 即时，f（x）在[0，]上递增，在[，a]上递减， ∴f（x）的最大值为f（）=； 当，即时， f（x）在[0，]上递增，在[，a]上递减，在[a，1]上递增， ∴f（x）的最大值为f（1）=1﹣a． 【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，以及分段函数的最值的求法，考查学生的运算能力． 19. 已知半径为的圆C，其圆心在射线y=﹣2x（x＜0）上，且与直线x+y+1=0相切． （1）求圆C的方程； （2）从圆C外一点P（x0，y0））向圆引切线PM，M为切点，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求△PMC面积的最小值，并求此时点P的坐标． 参考答案： 【考点】圆的切线方程． 【分析】（1）设圆心C（a，﹣2a）（a＜0），圆心到直线x+y+1=0的距离d=，求出圆心，可得圆的方程； （2）由|PM|=|PO|，得2x0﹣4y0+3=0，化简PM=PO==，求出PM的最小值，进一步求出△PMC面积的最小值及点P的坐标即可． 【解答】解：（1）已知圆的半径为，设圆心C（a，﹣2a）（a＜0）， ∵圆心到直线x+y+1=0的距离d=， ∴a=﹣1． ∴圆心C（﹣1，2）． 则圆的方程为：（x+1）2+（y﹣2）2=2； （2）点P（x0，y0），则PO=，PM=， 由|PM|=|PO|，得2x0﹣4y0+3=0， PM=PO=== =． 当时，PM=．因此，PM的最小值为． △PMC面积的最小值是： =． 此时点P的坐标为（，）． 20. 已知，. （Ⅰ）若，求使得成立的x的集合； （Ⅱ）当时，函数只有一个零点，求t的取值范围. 参考答案： 解：（Ⅰ） 因为，所以，故， 解得， 又，所以，令，解得 即使得成立的的集合为               （Ⅱ）函数在只有一个零点，即方程在只有一个根，即函数的图像与直线在上只有一个交点。 作出函数在的图像可知，， 所以，或 ... 解得或，或 即的取值范围为.   21. （本小题满分12分）在如下图所示的程序框图中，当输入实数x的值为4时，输出的结果为2；当输入实数x的值为-2时，输出的结果为4． (l)求实数a，b的值，并写出函数的解析式； (Ⅱ)若输出的结果为8，求输入的x的值 参考答案： 22. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＞c，已知?=2，cosA=，a=3．求： （1）b和c的值 （2）cos（A﹣C）的值． 参考答案： 【考点】HR：余弦定理；9R：平面向量数量积的运算；GP：两角和与差的余弦函数． 【分析】（1）由已知及平面向量数量积的运算可得bc=6，又由余弦定理可得b2+c2=13，进而可求b+c=5，联立即可解得b，c的值． （2）利用同角三角函数基本关系式可求sinA，利用余弦定理可求cosC，进而可求sinC，利用两角差的余弦函数公式即可计算得解． 【解答】解：（1）∵?=2，cosA=， ∴bc=2，可得：bc=6①， 又∵a=3，由余弦定理可得：9=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=b2+c2﹣4，可得b2+c2=13，② ∴由①②可得：b+c=5，③ ∴由①③可得：或． ∵b＞c， ∴b=3，c=2． （2）∵cosA=， ∴sinA==， 又∵b=3，c=2，a=3， ∴cosC==，sinC==， ∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=+×=．