安徽省滁州市八波中学2022-2023学年高三数学理期末试题含解析

安徽省滁州市八波中学2022-2023学年高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知D，E是△ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若=x+y，则xy的取值范围是（　　） A．[，] B．[，] C．[，] D．[，] 参考答案： D 【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用；9H：平面向量的基本定理及其意义． 【分析】利用已知条件推出x+y=1，然后利用x，y的范围，利用基本不等式求解xy的最值． 【解答】解：D，E是△ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若=x+y， 可得x+y=1，x，y∈[，]， 则xy≤=，当且仅当x=y=时取等号， 并且xy=x（1﹣x）=x﹣x2，函数的开口向下，对称轴为：x=，当x=或x=时，取最小值， xy的最小值为：． 则xy的取值范围是：[，]． 故选：D． 2. 已知是周期为2的奇函数，当时，设  则 A．  B．　　 C．　　 D．　　　   参考答案： A 3. 定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）﹣f（x）=x?ex，且f（0）=，则的最大值为（　　） A．0 B． C．1 D．2 参考答案： D 【考点】导数的运算． 【专题】综合题；函数思想；综合法；导数的概念及应用． 【分析】先构造函数，F（x）=，根据题意求出f（x）的解析式，即可得到=，再根据根的判别式即可求出最大值． 【解答】解：令F（x）=，则F′（x）===x， 则F（x）=x2+c， ∴f（x）=ex（x2+c）， ∵f（0）=， ∴c=， ∴f（x）=ex（x2+）， ∴f′（x）=ex（x2+）+x?ex， ∴=， 设y=， 则yx2+y=x2+2x+1， ∴（1﹣y）x2+2x+（1﹣y）=0， 当y=1时，x=0， 当y≠1时，要使方程有解， 则△=4﹣4（1﹣y）2≥0， 解得0≤y≤2， 故y的最大值为2， 故的最大值为2， 故选：D． 【点评】本题考查了导数和函数的关系以及函数的值域问题，关键是构造函数和利用根的判别式求函数的值域，属于中档题． 4. 已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn，则满足不等式|Sn－n－6|<的最小整数n是       (A)5     (B)6       (C)7       (D)8   参考答案： C 解：(an+1－1)=－(an－1)，即{ an－1}是以－为公比的等比数列，     ∴ an=8(－)n－1+1．∴ Sn=8·+n=6+n－6(－)n，T6·<，Tn≥7．选C． 5. 已知，若的必要条件是，则 之间的关系是 （A）       （B）        （C）         （D）   参考答案： A 6. 若，，则下列不等式正确的是（   ） （A）  （B） （C）  （D） 参考答案： D 略 7. 函数，则满足的x的取值范围是（    ） A．，2]   B．[0，2]  C．[1，+]  D．[0，+] 参考答案： D 略 8. 已知a∈（，），sinα=，则tan2α=  （  　　） A. B. C. D. 参考答案： C 略 9. 已知，则的值为    A.          B.            C.            D. 参考答案： A 【考点】复数乘除和乘方 【试题解析】 因为（1+bi）i=i+bi=-b+i=-1+i，所以 10. 已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右顶点分別为A，B，点M，N是椭圆C上关于长轴对称的两点，若直线AM与BN相交于点P，则点P的轨迹方程是（　　） A．x=±a（y≠0） B．y2=2b（|x|﹣a）（y≠0） C．x2+y2=a2+b2（y≠0） D． =1（y≠0） 参考答案： D 【考点】K4：椭圆的简单性质． 【分析】求得直线PA的方程及PB的方程，两式相乘，整理即可求得P的轨迹方程． 【解答】解：由题意可知：A（﹣a，0），B（a，0），设M（x0，y0），N（x0，﹣y0），y0≠0，P（x，y），y≠0 则直线PA的斜率k=，则直线PA的方程y=（x+a），① 同理直线PB的斜率k=，直线PB的方程y=（x﹣a），② 两式相乘：y2=（x2﹣a2）， 由，y02=（a2﹣x02）， 则y2=（x2﹣a2），整理得：（a＞b＞0）（y≠0）， 则点P的轨迹方程（a＞b＞0）（y≠0）， 故选D． 【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线的点斜式方程，考查轨迹方程的求法，考查转化思想，属于中档题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在平面直角坐标系xOy中，角与均以为始边，它们的终边关于y轴对称，若，则                ． 参考答案：     12. 已知函数下列结论中① ②函数的图象是中心对称图形 ③若是的极小值点，则在区间单调递减 ④若是的极值点，则. 正确的个数有（    ） A.1                B.2                C.3               D.4 参考答案： C 略 13. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若，则   ▲   ． 参考答案： 24 14. 先后抛掷两枚均匀的正方体骰子，记骰子落地后朝上的点数分别为x、y，则的概率为            参考答案： 略 15. 已知复数表示纯虚数，则实数a的值等于 参考答案： 1 16. 不等式组表示的平面区域的面积是___________. 参考答案： 不等式组表示的区域为三角形，由题意知，所以平面区域的面积。 17. 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，前n项和为Sn，记数列{log2an}的前n项和为Tn，若a1∈[，]，且=9，则当n=       时，Tn有最小值． 参考答案： 11 【考点】等比数列的前n项和． 【专题】方程思想；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列． 【分析】利用等比数列的前n项和公式可得q，利用对数的运算性质及其等差数列的前n项和公式可得Tn，再利用二次函数的单调性即可得出． 【解答】解：q=1不满足条件，舍去． ∵=9，∴=1+q3=9， 解得q=2． ∴， log2an=log2a1+（n﹣1）． ∴Tn=nlog2a1+=+n， ∵a1∈[，]， ∴log2a1∈[﹣log22016，﹣log21949]， ∴﹣=∈， ∵1024=210＜1949＜2016＜2048=211， ∴＞＞＞， ∴当n=11时，Tn取得最小值． 故答案为：11． 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、对数的运算性质、不等式的性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分14分）         已知函数的定义域为R，对任意的、都满足，当    （I）试判断并证明的奇偶性；    （II）试判断并证明的单调性；    （III）若均成立，求实数m 的取值范围。 参考答案： （I）略为奇函数，    （II）略在R上为增函数    （III）     19. （本题满分16分）已知二次函数的图象经过点(0,1)，其导函数，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)均在函数的图象上.（1）求数列{an}的通项公式an和；（2）设，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m. 参考答案： （1）由题意，可设. 因为函数的图象经过点(0,1)，所以. 而，所以a=3，b=－2. 于是.                       ………………3分 因为点(n，Sn)均在函数的图象上，所以Sn.…………5分 所以a1=S1=2，当时，， 故                 ………………8分 （2） ……… 10分 所以当n>1时，                  .                ………… 12分 对所有都成立对所有都成立     故所求最小正整数m为6.                          ……… 16分 略 20. 已知条件： 条件：    （1）若,求实数的值；    （2）若是的充分条件，求实数的取值范围. 参考答案： 解：（Ⅰ），，若，则，故--------------------------7分 （Ⅱ），若，ks5u v 则 或 ，  故 或 -------------------------7分   略 21. (12分)已知函数f(x)=()( ). (1)当x∈[2,4]时,求该函数的值域. (2)若f(x)≥m对于x∈[4,16]恒成立,求m的取值范围. 参考答案： (1)f(x)=(2log4x-2)(log4x-),令t=log4x,x∈[2,4]时,t∈[,1],此时,y=(2t-2)(t-)=2t2-3t+1,y∈[-,0]. (2)由题知,f(x)≥mlog4x,即2t2-3t+1≥mt对t∈[1,2]恒成立, m≤2t+-3对t∈[1,2]恒成立,易知g(t)=2t+-3在t∈[1,2]上是增加的, g(t)min=g(1)=0,∴m≤0. 略 22. (10分)已知条件p:函数的图像与x轴有两个不同的交点，条件q：复数在复平面上对应的点在第一象限。如果p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的范围。 参考答案： p真时，或；q真时，； （1）p真q假时，或；（2）p假q真时， 综上，或且