福建省莆田市国欢镇中学高三数学理下学期期末试题含解析

福建省莆田市国欢镇中学高三数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设函数若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，则关于x的不等式f(x)≤1的解集为(　　) A．(－∞，－3]∪[－1，＋∞)  B．[－3，－1] C．[－3，－1]∪(0，＋∞)  D．[－3，＋∞) 参考答案： C 略 2. 已知集合，则集合N的真子集个数为（   ） A．3；B．4 C．7 D．8 参考答案： B 3. 函数的导函数，对，都有成立，若，则满足不等式的的范围是（    ） A．          B．          C．       D． 参考答案： C 4. 有4位游客来某地旅游，若每人只能从此处甲、乙、丙三个不同景录点中选择一处游览，则每个景点都有人去游览的概率为(    ） A．         B．       C.         D． 参考答案： D 5. 若命题，命题，则是的（    ） A．充分不必要条件  B．必要不充分条件  C．充要条件    D．既不充分也不必要条件 参考答案： D 6. 通过随机询问110性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:   男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由,算得 附表: 0.050 0.010 0.001[来 3.841 6.635 10.828 参照附表,得到的正确结论是                                          （      ） A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” C.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 参考答案： C 【知识点】独立性检验的应用 解析：因为＞6.635，∴有0.01=1%的机会错误，即有99%以上的把握认为“爱好这项运动与性别有关”，故选C. 【思路点拨】题目的条件中已经给出这组数据的观测值，只要把所给的观测值同节选的观测值表进行比较，发现它大于6.635，得到有99%以上的把握认为“爱好这项运动与性别有关”. 7. 抛物线y2=2px（p＞0）的焦点是F，弦AB过点F，且|AB|=8，若AB的倾斜角是α，且cosα是|x﹣1|+|x﹣|的最小值，则p的值为（　　） A．1 B．6 C．4 D．3 参考答案： D 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】利用绝对值不等式，求出|x﹣1|+|x﹣|的最小值，可得AB的倾斜角，设出直线AB的方程，与抛物线联立，利用抛物线的定义及弦长公式建立方程，即可得出结论． 【解答】解：由题意，|x﹣1|+|x﹣|≥|x﹣1﹣x+|=， ∵AB的倾斜角是α，且cosα是|x﹣1|+|x﹣|的最小值， ∴α=60°， 设过焦点的直线方程为y=（x﹣）， 联立抛物线方程，可得3x2﹣5px+p2=0， ∴x1+x2=p，x1x2=p2， ∴|AB|=x1+x2+p=p=8， ∴p=3． 故选D． 8. 设曲线与抛物线的准线围成的三角形区域 （包含边界）为，为内的一个动点，则目标函数的最大值为（　　） ．               ．                 ．             ． 参考答案： C 9. 在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，E，F为边BC的三等分点，则=（　　） 　 A． B． C． D． 参考答案： A 略 10. 若是幂函数，且满足，则= A.             B.               C.2               D. 4 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 集合A={1，2，4，6，7}，B={3，4，5，7}，则A∩B=            ． 参考答案： {4，7} 考点：交集及其运算． 专题：计算题． 分析：集合A和集合B的公共元素构成集合A∩B，由此利用集合A={1，2，4，6，7}，集合B={3，4，5，7}，能求出集合A∩B． 解答： 解：∵集合A={1，2，4，6，7}， B={3，4，5，7}， ∴集合A∩B={4，7}． 故答案为：{4，7}． 点评：本题考查集合的交集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 12. 双曲线2x2﹣y2=1的离心率为　　． 参考答案： 【考点】双曲线的简单性质． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】直接利用双曲线方程求出a、c，然后求解离心率． 【解答】解：由双曲线2x2﹣y2=1可知：a=，b=1，∴c==， 双曲线的离心率为：． 故答案为：． 【点评】本题考查双曲线方程的应用，离心率的求法，考查计算能力． 13. 已知“”为“”的一个全排列，设是实数，若“”可推出“或”则满足条件的排列“”共有       个     参考答案： 224 14. 在长方体中ABCD—A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面A1B1C1D1所成的角分别为60°和45°，则异面直线和所成的角的余弦值为      ． 参考答案： 15. 若直线y=kx+b是曲线y=ex+2的切线，也是曲线y=ex+1的切线，则b=　　． 参考答案： 4﹣2ln2 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】设直线y=kx+b与y=ex+2和y=ex+1的切点分别为和，分别求出切点处的直线方程，由已知切线方程，可得方程组，解方程可得切点的横坐标，即可得到b的值． 【解答】解：设直线y=kx+b与y=ex+2和y=ex+1的切点分别为和， 则切线分别为，， 化简得：，， 依题意有：， 所以． 故答案为：4﹣2ln2． 【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求得导数和设出切点是解题的关键，考查运算能力，属于中档题． 16. 已知函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+lnx．若对任意x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，且f（x1）+2x1＜f（x2）+2x2恒成立，则a的取值范围为　    　． 参考答案： [0，8] 【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】由题意设g（x）=f（x）+2x，（x＞0），g（x）是增函数，即g'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，求出a的取值范围． 【解答】解：令g（x）=f（x）+2x=ax2﹣ax+lnx，（x＞0）； 由题意知g（x）在（0，+∞）单调递增， 所以g'（x）=2ax﹣a+≥0在（0，+∞）上恒成立， 即2ax2﹣ax+1≥0在（0，+∞）上恒成立； 令h（x）=2ax2﹣ax+1，（x＞0）； 则①若a=0，h（x）=1≥0恒成立， ②若a＜0，二次函数h（x）≥0不恒成立，舍去 ③若a＞0，二次函数h（x）≥0恒成立， 只需满足最小值h（）≥0， 即﹣+1≥0，解得0＜a≤8； 综上，a的取值范围是[0，8]． 故答案为：[0，8]． 17. 如图，已知F1，F2是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的离心率为　　． 参考答案： 【考点】圆与圆锥曲线的综合． 【分析】本题考察的知识点是平面向量的数量积的运算，及椭圆的简单性质，由F1、F2是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，连接OQ，F1P后，我们易根据平面几何的知识，根据切线的性质及中位线的性质得到PF2⊥PF1，并由此得到椭圆C的离心率． 【解答】解：连接OQ，F1P如下图所示： 则由切线的性质，则OQ⊥PF2， 又由点Q为线段PF2的中点，O为F1F2的中点 ∴OQ∥F1P ∴PF2⊥PF1， 故|PF2|=2a﹣2b， 且|PF1|=2b，|F1F2|=2c， 则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2 得4c2=4b2+4（a2﹣2ab+b2） 解得：b=a 则c= 故椭圆的离心率为： 故答案为：． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本小题满分14分)已知函数。 (1)若b=0，讨论函数在区间(0，)上的单调性； (2)若a=2b且对任意的x≥0，都有f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围。 参考答案： （1）b=0时，，则，           1分   当时，，所以函数在区间（0，）上单调递减；       2分   当时，所以函数在区间（0，）上单调递增；      3分 当时，存在，使得，即，                4分 时，，函数在区间（0，）上单调递增，        5分 时，，函数在区间（，）上单调递减。          6分 （2）a=2b时，, 恒成立，等价于，                                  7分 记，则，  8分 当，即时，，g(x)在区间上单调递减， 所以当时，，即恒成立；                      10分 当，即时，记，则， 存在，使得， 此时时，，单调递增，，即， 所以，即，不合题意；                   12分 当时，，不合题意；                            13分 综上，实数a的取值范围是                                     14分 19. 设数列｛an｝的前n项和为Sn，    （I）求证: 数列｛an｝是等差数列;    （II）设数列的前n项和为Tn，求Tn． 参考答案： 解：（I）由 得 即 是以1为首项，4为公差的等差数列…………6分    （II）                  …………12分   略 20. （本小题满分12分）为了解某班学生关注NBA是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查得到如下的列联表： 已知在全班48人中随机抽取一人，抽到关注NBA的学生的概率为． (l)请将上面的列表补充完整（不用写计算过程），并判断是否有95%的把握认为关注NBA与性别有关？说明你的理由． (2)现从女生中抽取2人进行进一步调查，设其中关注NBA的人数为X，求X的分布列与数学期望． 下面的临界值表仅供参考： 参考答案： 21. 已知函数． （Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）设函数．若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围． 参考答案： 函数的定义域为， ． …………………………………………………1分 （Ⅰ）当时，函数，，． 所以曲线在点处的切线方程为， 即．………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）函数的定义域为．    （1）当时，在上恒成立， 则在上恒成立，此时在上单调递减． ……………5分 （2）当时，， （ⅰ）若， 由，即，得或； ………………6分 由，即，得．………………………7分 所以函数的单调递增区间为和， 单调递减区间为．   ……………………………………8分 （ⅱ）若，在上恒成立，则在上恒成立，此时 在上