2022年北京矿院附属中学高二数学理下学期期末试题含解析

2022年北京矿院附属中学高二数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 把函数y=ex的图象按向量=（2，0）平移，得到y=f（x）的图象，则f（x）=(     ) A．ex+2 B．ex﹣2 C．ex+2 D．ex﹣2 参考答案： D 【考点】指数函数的图像变换． 【专题】应用题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用． 【分析】由题设条件知，函数图象沿向量右移了2个单位，问题得以解决． 【解答】解：函数y=ex的图象按向量=（2，0）平移得到f（x）=ex﹣2， 故选：D． 【点评】本题主要考查函数按向量方向的平移．首先确定向量的方向，然后按照左加右减的原则进行平移 2. 下列命题中正确的是（  ） A．若，则    B．若，则    C．若，则      D．若，则    参考答案： B 3. 温江某农户计划种植蒜台和花菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植蒜台和菜花的产量、成本和价格如表所示：   　年产量/亩 年种植成本/亩　 每吨售价　 　蒜台 　4吨 　1.2万元 　0.55万元 　花菜 6吨　 　0.9万元 　0.3万元 那么一年的种植总利润（总利润=总销售收入﹣总种植成本）最大为（　　） A．50万 B．48万 C．47万 D．45万 参考答案： B 【考点】简单线性规划． 【分析】由题意，设农户计划种植蒜台和花菜分别x亩，y亩；从而可得约束条件以及目标函数总利润z=0.55×4x+0.3×6y﹣（1.2x+0.9y）=x+0.9y；从而由线性规划求最优解即可 【解答】解：设农户计划种植蒜台和花菜各x亩，y亩； 则由题意可得，； 一年的种植总利润z=0.55×4x+0.3×6y﹣（1.2x+0.9y）=x+0.9y； 作平面区域如下， 结合图象可知， ； 解得x=30，y=20；此时一年的种植总利润最大为30+0.9×20=48； 故选：B． 4. 已知，奇函数在 上单调，则字母应满足的条件是 （   ）. A.;     B.   C.     D. 参考答案： A 略 5. 一个盒子里有6只好晶体管,4只坏晶体管,任取两次,每次取一只,每次取后不放回,则若已知第一只是好的,则第二只也是好的概率为(    ) A.     B. C. D. 参考答案： C 6. 设A={x|0≤x≤2}，B={y|1≤y≤2}，下列图形表示集合A到集合B的函数的图象的是(     ) A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】函数的图象． 【专题】数形结合． 【分析】仔细观察图形，正确选取中x的取值范围必须是[0，2]，y的取值范围必须是[1，2]，由此进行选取． 【解答】解：A 和B中y的取值范围不是[1，2]，不合题意，故A和B都不成立； C中x的取值范围不是[0，2]，y的取值范围不是[1，2]，不合题意，故C不成立； D中，0≤x≤2，1≤y≤2，符合题意， 故选D． 【点评】本题考查函数的图象和性质，解题时要认真审题，仔细求解． 7. 圆和的位置关系为（    ） A．相离             B．外切           C．相交           D．内切 参考答案： C 8. 若复数z=a2﹣1+（a+1）i（a∈R）是纯虚数，则的虚部为(     ) A．﹣ B．﹣ C． D． 参考答案： A 考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念． 专题：计算题． 分析：由已知中复数z=a2﹣1+（a+1）i（a∈R）是纯虚数，根据其虚部不为0，实部为0，可以构造关于a的方程组，解方程求出a值，进而可得，再由复数除法的运算法则，将复数化为a+bi（a，b∈R）的形式，即可得到的虚部． 解答： 解：∵复数z=a2﹣1+（a+1）i（a∈R）是纯虚数， ∴a2﹣1=0，且a+1≠0 故a=1 则Z=2i ∴==﹣i 故的虚部为 故选A 点评：本题考查的知识点是复数代数形式的乘除运算，复数的基本概念，其中根据已知条件，构造关于a的方程组，解方程求出a值，进而可得，是解答本题的关键． 9. 六名学生从左至右站成一排照相留念，其中学生甲和学生乙必须相邻．在此前提下，学生甲站在最左侧且学生丙站在最右侧的概率是（    ） A．               B．               C．              D． 参考答案： C 10. 已知a≥4，x>0, y>0，则(ax+y)()的最小值是（      ）    A．6       B．7        C．8        D．9 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若（x﹣）9的展开式中x3的系数是﹣84，则a=　   　． 参考答案： 1 【考点】DB：二项式系数的性质． 【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3得展开式中x3的系数，列出方程解得． 【解答】解：展开式的通项为=（﹣a）rC9rx9﹣2r 令9﹣2r=3得r=3 ∴展开式中x3的系数是C93（﹣a）3=﹣84a3=﹣84， ∴a=1． 故答案为1 【点评】本试题主要考查二项展开式的通项公式和求指定项系数的方法． 12. 若在区间和上分别各取一个数，记为和，则方程表示焦点在轴上的椭圆的概率为    ▲    ． 参考答案： 略 13. 已知椭圆的方程是，它的两个焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=8，弦AB（椭圆上任意两点的线段）过点F1，则△ABF2的周长为__________． 参考答案： 考点：椭圆的简单性质． 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：根据椭圆方程得椭圆的焦点在x轴上，由焦距|F1F2|=8得c=4，结合b2=25算出．最后根据椭圆的定义，即可算出△ABF2的周长． 解答：解：∵椭圆的方程是（a＞5）， ∴椭圆的焦点在x轴上， ∵焦距|F1F2|=8=2c，得c=4 ∴a2=b2+c2=25+42，可得． ∵|AB|=|AF1|+|BF1|，由椭圆的定义，得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=2 ∴△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=． 故答案为： 点评：本题给出椭圆的方程，求椭圆经过焦点的弦与右焦点构成的三角形的周长．着重考查了椭圆的定义、标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题 14. 给出下列命题： ①直线l的方向向量为=（1，﹣1，2），直线m的方向向量=（2，1，﹣），则l与m垂直； ②直线l的方向向量=（0，1，﹣1），平面α的法向量=（1，﹣1，﹣1），则l⊥α； ③平面α、β的法向量分别为=（0，1，3），=（1，0，2），则α∥β； ④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t=1． 其中真命题的是  　      ．（把你认为正确命题的序号都填上） 参考答案： 　①④ 【考点】平面的法向量． 【专题】对应思想；综合法；空间向量及应用． 【分析】①根据直线l、m的方向向量与垂直，得出l⊥m； ②根据直线l的方向向量与平面α的法向量垂直，不能判断l⊥α； ③根据平面α、β的法向量与不共线，不能得出α∥β； ④求出向量与的坐标表示，再利用平面α的法向量，列出方程组求出u+t的值． 【解答】解：对于①，∵=（1，﹣1，2），=（2，1，﹣）， ∴?=1×2﹣1×1+2×（﹣）=0， ∴⊥， ∴直线l与m垂直，①正确； 对于②，=（0，1，﹣1），=（1，﹣1，﹣1）， ∴?=0×1+1×（﹣1）+（﹣1）×（﹣1）=0， ∴⊥，∴l∥α或l?α，②错误； 对于③，∵=（0，1，3），=（1，0，2）， ∴与不共线， ∴α∥β不成立，③错误； 对于④，∵点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0）， ∴=（﹣1，1，1），=（﹣1，1，0）， 向量=（1，u，t）是平面α的法向量， ∴， 即； 则u+t=1，④正确． 综上，以上真命题的序号是①④． 故答案为：①④． 【点评】本题考查了空间向量的应用问题，也考查了直线的方向向量与平面的法向量的应用问题，是综合性题目． 15. 曲线在点处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为           . 参考答案： 2 略 16. 设F为抛物线的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若，则                . 参考答案： 6 17. 若直线与直线垂直，则实数的取值为               参考答案： 3   略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知数列满足：，且 （Ⅰ）求； （Ⅱ）求证数列为等比数列并求其通项公式； （Ⅲ）求和 参考答案： 解析：（Ⅰ） （Ⅱ）当 ∴  ∴ （Ⅲ）∵ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m     ∴ = 19. 设公差不为零的等差数列{an}的前5项和为55 ，且成等比数列. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设，数列{bn}的前n项和为Sn，求证：. 参考答案： (1);(2)证明见解析. 试题分析： (1)由题意求得数列的公差为2，则数列的通项公式为; (2)结合(1)的结论可得： ，裂项求和可得：. 试题解析： （1）设等差数列的首项为，公差为 ， 则，解得，或（舍去）， 故数列的通项公式为. （2）由， 得 ， 所以.   20. （本小题满分15分） 现有一个以OA、OB为半径的扇形池塘，在OA、OB上分别取点C、D，作DE∥OA、CF∥OB交弧AB于点E、F，且BD = AC，现用渔网沿着DE、EO、OF、FC将池塘分成如图所示的三种的养殖区域．若OA=1km，，． （1）求区域Ⅱ的总面积； （2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是15万元、20万元、10万元，记年总收入为y万元． 试问当为多少时，年总收入最大？ 参考答案： （1）因为，所以． 因为，DE∥OA，CF∥OB，    所以．     又因为，所以≌． 所以．     ………………………………2分 所以．   所以， 所以，．          …………………………………6分 （2）因为，所以． 所以 ，     …………………………………10分 所以，令，则． …………………………………12分 当时，，当时，． 故当时，y有最大值． 答：当为时，年总收入最大．          …………………………………15分 21. 已知双曲线C：，直线关于直线对称的直线与轴平行． （I）求双曲线的离心率； （II）若点到双曲线上的点的最小距离等于，求双曲线的方程． 参考答案： （1），； （2）令双曲线为， 或 i）即，当时，，，（舍）或，双曲线方程是； ii），当时，，双曲线方程是 略 22. （12分）已知数列{an}的前n项和Sn=1﹣nan（n∈N*） （1）计算a1，a2，a3，a4； （2）猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论． 参考答案： 【考点】数学归纳法；数列的求和． 【专题】点列、递归数列与数学归纳法． 【分析】（1）由Sn与an的关系，我们从n=1依次代入整数值，即可求出a1，a2，a3，a4； （2）由a