北京第一五九中学高三数学理期末试题含解析

北京第一五九中学高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知向量a=（x-1,2），b=（2,1），则a⊥b的充要条件是 A.x=-  B.x-1   C.x=5    D.x=0 参考答案： D ，故选D 2. 函数的定义域为    (    ） A．   B．    C．  D． 参考答案： B 略 3. 复数R，则实数等于（　　） A．1    B．    C．0    D．±1 参考答案： A 略 4. 执行如图2程序框图，若输入的值为6，则输出的值为                                                                        A．     B．     C．      D． 参考答案： C 5. 复数z=i2(1+i)的虚部为（   ） A.  1             B.  i         C.  -1        D.  – i 参考答案： C 略 6. 函数在点处的切线斜率为，则的最小值是（   ） A.  10     B.     9     C.    8     D.    参考答案： B 略 7. 如图，已知点P（﹣3，﹣1），OA为第一象限的角平分线，将OA沿逆时针旋转θ角到OB，若，则tanθ的值为（　　） A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3 参考答案： A 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】由已知，求出tan（θ+45°）=﹣3，利用角的等价变换45°=θ+45°﹣θ，求出tanθ． 【解答】解：∵，则，又点P（﹣3，﹣1），则tan（θ+45°）=﹣3， 所以tanθ=tan（θ+45°﹣θ）==； 故选A 【点评】本题考查了平面向量垂直的性质、三角函数的坐标法定义以及两角和的正切公式；关键是求出tan（θ+45°），利用角的等价变换求出tanθ． 8. 若曲线，则（　　） A、　　B、　　C、　　D、 参考答案： D 略 9. 设x, y满足约束条件，若目标函数(a.>0,b>0)，最大值为12，则 的最小值为 A.             B.                C. 5                D. 4 参考答案： B 做出可行域，由得，因为，所以直线斜率，直线截距越大，越大，做出直线，，由图象可知当直线经过点B时，截距做大，此时，由得，代入直线得，即。所以，当且仅当，即时取等号，所以选B. 10. 对于函数，使成立的所有常数中，我们把的最大值叫做函数的下确界.则函数的下确界是（     ） A．              B．                 C．                   D． 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 将函数图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移的单位长度得到的图像，则____________. 参考答案： 根据函数的伸缩变换规则：函数图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半变成函数的图像，再根据平移变换规则：向右平移个单位长度得到函数的函数图像，因此，得到，,因为，所以，因此得到的解析式为，所以 【点评】此题考查三角函数的平移变换和伸缩变换，难度中等，关键是要记住三角函数图像变换规则，三角函数横坐标缩短为原来的一半是在x前面乘以2，而不是除以2，这点学生容易记错。 12. 已知集合，函数的定义域、值域都是，且对于任意，. 设是的任意一个排列，定义数表，若两个数表的对应位置上至少有一个数不同，就说这是两张不同的数表，那么满足条件的不同的数表的张数为_________. 参考答案： 216 13. 以椭圆的右焦点为焦点，且顶点在原点的抛物线标准方程为______. 参考答案： 略 14. 在二项式的展开式中，含的项的系数是               ． 参考答案： 略 15. 正方形的四个顶点A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1，1)，D(－1，1)分别在抛物线y＝－x2和y＝x2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是     ． 参考答案： 【知识点】积分的意义；几何概型..B13  K3  【答案解析】    解析：因为，所以在第一象限有，则在第一象限的阴影部分的面积为，所以概率为，故答案为. 【思路点拨】先利用积分的意义求出图形在第一象限的阴影部分的面积，然后求概率即可. 16. （5分）函数y=log2（2x﹣3）的定义域是          ． 参考答案： （） 考点： 对数函数的定义域． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 直接由对数式的真数大于0求得x的取值集合得答案． 解答： 由2x﹣3＞0，得x． ∴函数y=log2（2x﹣3）的定义域是（）． 故答案为：（）． 点评： 本题考查了对数型函数的定义域，是基础题． 17. 某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元。该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为       元. 参考答案： 216000 试题分析：设生产产品A、产品B分别为、件，利润之和为元，那么由题意得约束条件 目标函数. 约束条件等价于 ① 作出二元一次不等式组①表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分所示. 将变形，得，作直线：并平移，当直线经过点M时，z取得最大值. 解方程组，得M的坐标为(60,100). 所以当x=60，y=100时，zmax=2100×60+900×100=216000. 故生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元.   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数. （Ⅰ）解不等式. （Ⅱ）记函数的值域为，若，证明. 参考答案： （Ⅰ）依题意，得， 于是得，或，或， 解得. 即不等式的解集为. （Ⅱ）， 当且仅当时，取等号，∴. 原不等式等价于 . ∵，∴，. ∴. ∴. 19. 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元。设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且 （1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大。 （注：年利润一年销售收入一年总成本） 参考答案： 20. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c． （1）求角C； （2）若，△ABC的周长为，求△ABC的面积S． 参考答案： 【考点】余弦定理；正弦定理． 【分析】（1）由正弦定理，三角形内角和定理化简已知等式可得2cosCsinC=sinC，结合sinC≠0，可求，结合范围C∈（0，π），可求C的值． （2）由已知可求a+b=5，利用余弦定理可求ab=6，进而利用三角形面积公式即可计算得解． 【解答】解：（1）由正弦定理得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC， 即2cosCsin（A+B）=sinC， ∴2cosCsinC=sinC， 故， 又C∈（0，π）， ∴． （2）∵且， ∴a+b=5， ∵由余弦定理得：a2+b2﹣2abcosC=7， ∴ab=6， ∴． 21. 设M、N、T是椭圆+=1上三个点，M、N在直线x=8上的摄影分别为M1、N1． （Ⅰ）若直线MN过原点O，直线MT、NT斜率分别为k1，k2，求证k1k2为定值． （Ⅱ）若M、N不是椭圆长轴的端点，点L坐标为（3，0），△M1N1L与△MNL面积之比为5，求MN中点K的轨迹方程． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（Ⅰ）设M（p，q），N（﹣p，﹣q），T（x0，y0），则h1h2=， 又即可得h1h2 （Ⅱ）设直线MN与x轴相交于点R（r，0），根据面积之比得r 即直线MN经过点F（2，0）．设M（x1，y1），N（x2，y2），K（x0，y0） 分①当直线MN垂直于x轴时，②当直线MN与x轴不垂直时，设MN的方程为y=k（x﹣2） x0=．消去k，整理得（x0﹣1）2+=1（y0≠0）． 【解答】解：（Ⅰ）设M（p，q），N（﹣p，﹣q），T（x0，y0），则h1h2=，…（2分） 又两式相减得， 即h1h2==﹣，…（… （Ⅱ）设直线MN与x轴相交于点R（r，0），s△MNL=×|r﹣3|?|yM﹣yN| =|． 由于△M1N1L与△MNL面积之比为5且|yM﹣yN|=|，得 =5，r=4（舍去）或r=2．…（8分） 即直线MN经过点F（2，0）．设M（x1，y1），N（x2，y2），K（x0，y0） ①当直线MN垂直于x轴时，弦MN中点为F（2，0）；…（9分） ②当直线MN与x轴不垂直时，设MN的方程为y=k（x﹣2），则 联立．?（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣48=0 ．…（10分） x0=． 消去k，整理得（x0﹣1）2+=1（y0≠0）． 综上所述，点K的轨迹方程为（x﹣1）2+=1（x＞0）．…（12分） 【点评】本题考查了轨迹方程的求法，及直线与椭圆的位置关系，属于中档题． 22. 如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面AA1B1B为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1=60°，AB⊥B1C． （I）求证：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C； （II）若AB=2，求三棱柱ABC﹣A1B1C1体积． 参考答案： 略