2022年陕西省安康市普通高校对口单招高等数学一自考预测试题(含答案及部分解析)

2022年陕西省安康市普通高校对口单招高等数学一自考预测试题(含答案及部分解析) 学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________ 一、单选题(20题) 1.微分方程y"-y'=0的通解为( )。 A. B. C. D. 2.设y1，y2为二阶线性常系数微分方程y"+p1y+p2y=0的两个特解，则C1y1+C2y2( ) A.为所给方程的解，但不是通解 B.为所给方程的解，但不一定是通解 C.为所给方程的通解 D.不为所给方程的解 3. 4.函数z=x2-xy+y2+9x-6y+20有 A.极大值f(4,1)=63 B.极大值f(0,0)=20 C.极大值f(-4,1)=-1 D.极小值f(-4,1)=-1 5. A. B. C. D. 6.设y=2-x，则y'等于( )。 A.2-xx B.-2-x C.2-xln2 D.-2-xln2 7. 8.当x→0时，3x是x的（　）． A.高阶无穷小量 B.等价无穷小量 C.同阶无穷小量，但不是等价无穷小量 D.低阶无穷小量 9. A.A.sinx+sin2 B. -sinx+sin2 C.sinx D. -sinx 10.∫cos3xdx= A.A.3sin3x+C B.-3sin3x+C C.(1/3)sin3x+C D.-(1/3)sin3x+C 11. 12.  A.1 B. C.0 D. 13.设函数f(x)在区间(0，1)内可导，f'(x)＞0，则在(0，1)内f(x)( )． A.单调增加 B.单调减少 C.为常量 D.既非单调，也非常量 14.  15. 16.设函数f(x)在点x0处连续，则下列结论肯定正确的是( )。 A. B. C. D. 17.在空间直角坐标系中，方程x+z2=z的图形是 A.A.圆柱面 B.圆 C.抛物线 D.旋转抛物面 18. A.A.-(1/2) B.1/2 C.-1 D.2 19. A.A. B.x2 C.2x D.2 20. 下列命题中正确的为 A.若x0为f(x)的极值点，则必有f'(x0)=0 B.若f'(x)=0，则点x0必为f(x)的极值点 C.若f'(x0)≠0，则点x0必定不为f(x)的极值点 D.若f(x)在点x0处可导，且点x0为f(x)的极值点，则必有f'(x0)=0 二、填空题(20题) 21. 22.设y=1nx，则y'=__________． 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29.  30. 31. 32. 33. 34.  35. 36.  37.  38. 39.极限=________。 40. 三、计算题(20题) 41. 求曲线在点(1，3)处的切线方程． 42.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点． 43.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0． 44.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解． 45.证明： 46. 47.  48.  49. 求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值． 50. 51.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为 S(x)． (1)写出S(x)的表达式； (2)求S(x)的最大值． 52.当x一0时f(x)与sin 2x是等价无穷小量，则 53.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度 u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m． 54. 55. 求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程． 56. 求微分方程的通解． 57.  58. 将f(x)=e-2X展开为x的幂级数． 59.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几? 60. 四、解答题(10题) 61. 62. 63.在曲线y=x2(x≥0)上某点A(a，a2)处作切线，使该切线与曲线及x轴所围成的图形的面积为1/12．试求： (1)切点A的坐标((a，a2)． (2)过切点A的切线方程． 64. 65. 66.  67. 68.展开成x-1的幂级数，并指明收敛区间(不考虑端点)。 69. 70. 五、高等数学(0题) 71.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几? 六、解答题(0题) 72.  参考答案 1.B 本题考查的知识点为二阶常系数齐次微分方程的求解。 微分方程为 y"-y'=0 特征方程为 r2-r=0 特征根为 r1=1，r2=0 方程的通解为 y=C1ex+c2 可知应选B。 2.B 如果y1，y2这两个特解是线性无关的，即≠C，则C1y1+C2y2是其方程的通解。现在题设中没有指出是否线性无关，所以可能是通解，也可能不是通解，故选B。 3.C 4.D 本题考查了函数的极值的知识点。 5.A 本题考查的知识点为偏导数的计算。 由于 故知应选A。 6.D 本题考查的知识点为复合函数求导数的链式法则。 由于 y=2-x Y'=2-x·ln2·(-x)'=-2-xln2． 考生易错误选C，这是求复合函数的导数时丢掉项而造成的!因此考生应熟记：若y=f(u)，u=u(x)，则 不要丢项。 7.C 8.C本题考查的知识点为无穷小量阶的比较． 应依定义考察 由此可知，当x→0时，3x是x的同阶无穷小量，但不是等价无穷小量，故知应选C． 本题应明确的是：考察当x→x0时无穷小量β与无穷小量α的阶的关系时，要判定极限 这里是以α为“基本量”，考生要特别注意此点，才能避免错误． 9.D 10.C 11.A 12.B 13.A 由于f(x)在(0，1)内有f'(x)＞0，可知f(x)在(0，1)内单调增加，故应选A． 14.A 15.D 16.D 本题考查的知识点为连续性的定义，连续性与极限、可导性的关系 由函数连续性的定义：若在x0处f(x)连续，则 可知选项D正确，C不正确。 由于连续性并不能保证f(x)的可导性，可知A不正确。 自于连续必定能保证极限等于f(x0)，而f(x0)不一定等于0，B不正确。 故知应选D。 17.A 18.A 19.D 本题考查的知识点为原函数的概念． 可知应选D． 20.D解析：由极值的必要条件知D正确。 y=｜x｜在x=0处取得极值，但不可导，知A与C不正确。 y=x3在x=0处导数为0，但x0=0不为它的极值点，可知B不正确。因此选D。 21. 22. 23. 24. 25.k=1/2 26. 27.2 本题考查的知识点为极限的运算． 28. 29.(01] 30. 本题考查的知识点为二重积分的计算． 31.3yx3y-1 32. 33.±1． 本题考查的知识点为判定函数的间断点． 34.[*] 35. 本题考查的知识点为连续性与极限的关系，左极限、右极限与极限的关系． 36.3 37.1/4 38.1/3 本题考查了定积分的知识点。 39.因为所求极限中的x的变化趋势是趋近于无穷，因此它不是重要极限的形式，由于=0，即当x→∞时，为无穷小量，而cosx-1为有界函数，利用无穷小量性质知 40.0 41.曲线方程为，点(1，3)在曲线上． 因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0． 如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点 (x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为 42. 列表： 说明 43. 44.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0， 45. 46. 47. 则 48. 49. 函数的定义域为 注意 50. 51. 52.由等价无穷小量的定义可知 53.由二重积分物理意义知 54. 55. 56. 57. 由一阶线性微分方程通解公式有 58. 59.需求规律为Q=100ep-2.25p ∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p, ∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％ 60. 61. 62. 63.由于y=x2，则y'=2x，曲线y=x2上过点A(a，a2)的切线方程为y-a2=2a(x-a)，即y=2ax-a2，曲线y=x2， 其过点A(a，a2)的切线及x轴围成的平面图形的面积  由题设S=1/12，可得a=1， 因此A点的坐标为(1，1)． 过A点的切线方程为y-1=2(x-1)或y=2x-1． 解析：本题考查的知识点为定积分的几何意义和曲线的切线方程。 本题在利用定积分表示平面图形时，以y为积分变量，以简化运算，这是值得注意的技巧。 64. 65. 66. 67. 68. 69. 70. 71.需求规律为Q=100ep-2.25p ∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p, ∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％ 72.