2022-2023学年黑龙江省绥化市庆安第十中学高二数学理下学期期末试卷含解析

2022-2023学年黑龙江省绥化市庆安第十中学高二数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 某产品的广告费用?与销售额?的统计数据如下表 广告费用?（万元） 4? ?2 ?3 ?5 销售额?（万元） 49 26 39 54 根据上表可得回归方程中的为?9．4，据此模型预报广告费用为6万元时 销售额为                                                                （??） ?A．63.6万元   B.65.5万元  C.67.7万元    D ．72.0万元 参考答案： B 略 2. 若命题p：所有有理数都是实数，q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是(  )   A．     B．       C． D. 参考答案： D 3. 复数等于（     ） A．            B．          C．       D． 参考答案： A 4. 已知点，则直线的倾斜角是 ( ) A． B． C． D． 参考答案： C 略 5. 已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为(   )A．    B．    C．     D． 参考答案： D 略 6. 设点P是函数图象上任意一点，点Q坐标为，当取得最小值时圆与圆相外切，则mn的最大值为 A．5          B．         C．        D．1 参考答案： C 7. 在等差数列中，已知，则的值为（   ） A.         B.         C.          D. 参考答案： C 8. 已知数列的通项公式为，那么满足的整数（   ）   A.有3个           B.有2个            C.有1个          D.不存在 参考答案： B 9. 在中，角的对边分别是，已知，则（　　） A． B． C． D．或 参考答案： B 略 10. 已知a＞b＞0，则下列不等式成立的是(   )． A. B. C. D. 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在直角坐标系中，直线x+y﹣3=0的倾斜角是　　． 参考答案： 150° 【考点】直线的一般式方程；直线的倾斜角．  【专题】直线与圆． 【分析】由已知方程得到直线的斜率，根据斜率对于得到倾斜角． 【解答】解：由已知直线的方程得到直线的斜率为，设倾斜角为α，则tanα=，α∈[0，180°），所以α=150°； 故答案为：150°． 【点评】本题考查了由已知直线方程求直线的斜率；属于基础题． 12. 已知等差数列的通项公式，则它的公差为___________． 参考答案： 略 13. 从抛物线y2=4x图象上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线焦点为F，则△PFM的面积为　    　． 参考答案： 10 【考点】KN：直线与抛物线的位置关系． 【分析】设P（x0，y0），通过|PM|=x0+，求出P的坐标，然后求解三角形的面积． 【解答】解：抛物线y2=4x中p=2，设P（x0，y0），则|PM|=x0+，即5=x0+1，得x0=4，所以y0=±4，所以=10． 故答案为：10． 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力． 14. 过点P（-2，3）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________ 参考答案： 略 15. 已知集合，则=                     . 参考答案： 16. 在具有5个行政区域的地图(如图)上，给这5个区域着色共使用了4种不同的颜色，相邻区域不使用同一颜色，则有__________种不同的着色方法． 参考答案： 48 略 17. 对于数列，若中最大值，则称数列为数列的“凸值数列”。如数列2,1,3,7,5的“凸值数列”为2,2,3,7,7；由此定义，下列说法正确的有___________________. ①递减数列 的“凸值数列”是常数列；②不存在数列，它的“凸值数列”还是本身；③任意数列的“凸值数列”是递增数列；④“凸值数列”为1,3,3,9的所有数列的个数为3. 参考答案： ①④ 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数. （1）求函数在处的切线方程； （2）对任意的，都有，求实数c的取值范围.       参考答案： （1）————（2分） 函数在处的切线的斜率为（3分） 又因为，即切点坐标为，所以切线方程为 即（5分） （2），即， （6分） 设，则（8分） ，即，解得或， 当时， ，时，，时，， 即的增区间为和，减区间为， 所以当时，函数有最小值， 即.(12分) 19. 已知抛物线C：y=2x2，直线y=kx+2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N． （Ⅰ）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行； （Ⅱ）是否存在实数k使，若存在，求k的值；若不存在，说明理由． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；平面向量数量积的运算． 【分析】（1）设A（x1，2x12），B（x2，2x22），把直线方程代入抛物线方程消去y，根据韦达定理求得x1+x2和x1x2的值，进而求得N和M的横坐标，表示点M的坐标，设抛物线在点N处的切线l的方程将y=2x2代入进而求得m和k的关系，进而可知l∥AB． （2）假设存在实数k，使成立，则可知NA⊥NB，又依据M是AB的中点进而可知．根据（1）中的条件，分别表示出|MN|和|AB|代入求得k． 【解答】解：（Ⅰ）如图，设A（x1，2x12），B（x2，2x22）， 把y=kx+2代入y=2x2得2x2﹣kx﹣2=0， 由韦达定理得，x1x2=﹣1， ∴，∴N点的坐标为． 设抛物线在点N处的切线l的方程为， 将y=2x2代入上式得， ∵直线l与抛物线C相切， ∴， ∴m=k，即l∥AB． （Ⅱ）假设存在实数k，使，则NA⊥NB， 又∵M是AB的中点，∴． 由（Ⅰ）知=． ∵MN⊥x轴， ∴． 又=． ∴， 解得k=±2． 即存在k=±2，使． 【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合把握所学知识和基本的运算能力． 20. （本小题满分12分） 已知. (1)当,时,若不等式恒成立,求的范围； (2)试证函数在内存在唯一零点. 参考答案： (1)由,  则,      ………………2分 又在上是增函数,   …  ………5分 所以.                 ……………………………………………… 6分 (2) 是增函数…………… 8分 且，                               ……………………9分 …………… 11分 所以在内存在唯一的零点.    ………………………………………12分 21. 已知函数f（x）=2的图象与直线y=m（m＞0）相切，并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列，且f（x）的最大值为1． （1）x∈[0，π]，求函数f（x）的单调递增区间； （2）将f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，若函数y=g（x）﹣m在上有零点，求实数m的取值范围． 参考答案： 【考点】两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】（1）由条件利用查三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的最值以及单调性求得ω和a的值，再根据正弦函数的单调性求得函数在[0，π]上的增区间． （2）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得g（x）的值域，可得m的范围． 【解答】解：（1）函数f（x）=2=sin（2ωx+）+sin2ωx+a =cos2ωx+sin2ωx+a=2sin（2ωx+）+a， 它的图象与直线y=m（m＞0）相切，并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列，故=π，ω=1． 再根据f（x）的最大值为2+a=1，故 a=﹣1，f（x）=2sin（2x+）﹣1． 令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得 kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z， 可得函数在[0，π]上的增区间为[0，]、[，π]． （2）将f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）=2sin[2（x+）+]﹣1=2sin（2x+）﹣1的图象， 在上，2x+∈[，]，故当2x+=时，函数g（x）取得最小值为﹣2﹣1=﹣3； 当2x+=时，函数g（x）取得最大值为﹣1． 若函数y=g（x）﹣m在上有零点，求实数m的取值范围为[﹣3，﹣1]． 【点评】本题中主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性、正弦函数的定义域和值域，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，函数的零点与方程的根的关系，属于中档题． 22. （本小题满分12分） 设复数满足,且是纯虚数,求. 参考答案： 解：设，由得； 是纯虚数，则 ， 略