北京怀柔县第五中学2022-2023学年高三数学理模拟试题含解析

北京怀柔县第五中学2022-2023学年高三数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若f（x）=sin3x+acos2x在（0，π）上存在最小值，则实数a的取值范围是（　　） A．（0，） B．（0，] C．[，+∞） D．（0，+∞） 参考答案： D 【考点】三角函数的最值． 【分析】设t=sinx，由x∈（0，π）和正弦函数的性质求出t的范围，将t代入f（x）后求出函数的导数，求出临界点，根据条件判断出函数的单调性，由导数与函数单调性的关系列出不等式，求出实数a的取值范围． 【解答】解：设t=sinx，由x∈（0，π）得t∈（0，1]， ∵f（x）=sin3x+acos2x=sin3x+a（1﹣sin2x）， ∴f（x）变为：y=t3﹣at2+a， 则y′=3t2﹣2at=t（3t﹣2a）， 由y′=0得，t=0或t=， ∵f（x）=sin3x+acos2x在（0，π）上存在最小值， ∴函数y=t3﹣at2+a在（0，1]上递减或先减后增， 即＞0，得a＞0， ∴实数a的取值范围是（0，+∞）， 故选：D． 　 2. 在边长为1的等边三角形ABC中，点P是边AB上一点，且．，则（　　） A. B. C. D. 1 参考答案： C 【分析】 利用向量的加减法及数乘运算用表示，再利用数量积的定义得解． 【详解】依据已知作出图形如下： . 所以 故选C 【点睛】本题主要考查了向量的加减法及数乘运算，还考查了数量积的定义，考查转化能力，属于中档题． 3. 若，是方程的两根，且，则等于（   ）   A．        B．        C．或      D．  参考答案： B 略 4. 已知定义在上 的函数与函数的图像有唯一公共点，则实数的值为（） A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 原题等价为有一解，即，令,确定其函数性质即可求解 【详解】与函数的图像有唯一公共点， 故有唯一解，即有唯一解 令，所以g（x）关于x=2对称，故a=g(2)=2 故选：D 【点睛】本题考查函数性质及方程的根，准确构造函数判断其对称性是本题关键，是基础题 5. 棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的八个顶点都在球O的表面上，E、F分别是棱AB、A1D1的中点，则经过E、F的平面截球O所得的截面的面积的最小值是（    ）        A．                       B．                         C．                       D． 参考答案： A 略 6. (坐标系与参数方程选讲）已知点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是         .   参考答案： 略 7. （5分）下列命题中为真命题的是（　　） 　 A． 若x≠0，则x+≥2 　 B． 命题：若x2=1，则x=1或x=﹣1的逆否命题为：若x≠1且x≠﹣1，则x2≠1 　 C． “a=1”是“直线x﹣ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件 　 D． 若命题P：?x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢P：?x∈R，x2﹣x+1＞0 参考答案： B 【考点】： 命题的真假判断与应用． 【专题】： 计算题；推理和证明． 【分析】： 对四个命题，分别进行判断，即可得出结论． 解：对于A，x＞0，利用基本不等式，可得x+≥2，故不正确； 对于B，命题：若x2=1，则x=1或x=﹣1的逆否命题为：若x≠1且x≠﹣1，则x2≠1，正确； 对于C，“a=±1”是“直线x﹣ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件，故不正确； 对于D，命题P：?x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢P：?x∈R，x2﹣x+1≥0，故不正确． 故选：B． 【点评】： 本题考查命题的真假判断与应用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础． 8. 运行如图所示的程序框图,设输出的数据构成集合A,从集合A中任取一个元素a,则函数y＝xa在（0,+∞）上是增函数的概率为（   ） A.            B.            C. D. 参考答案： C 9. 在数列中，已知，，（），则（     ） A. 1       B. 5       C. 4      D.   参考答案： C 10. 已知全集，集合，集合，则如图所示的阴影部分   表示的集合是    A.                    B.    C.                               D. 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，则cos2θ=           ． 参考答案： 考点：二倍角的余弦． 专题：三角函数的求值． 分析：由二倍角的余弦公式展开后代入已知即可求值． 解答： 解：∵， ∴cos2θ=1﹣2sin2θ=1﹣2×=， 故答案为：． 点评：本题主要考查了二倍角的余弦公式的应用，属于基础题． 12. 设抛物线，（t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l. 过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B. 设C（p,0），AF与BC相交于点E. 若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为，则p的值为_________. 参考答案： 试题分析：抛物线的普通方程为，，，又，则，由抛物线的定义得，所以，则，由得，即，所以，，所以，． 13. 已知平面向量，，且∥，则         ． 参考答案： 14. 在无穷等比数列{an}中，等于__________。 参考答案： 15. 设是定义在上的偶函数，对，都有，且当 时，，若在区间 内关于的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是      . 参考答案： (,2) 16. 在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为的正方形，AA1=3，E是AA1的中点，过C1作C1F⊥平面BDE与平面ABB1A1交于点F，则CF与平面ABCD所成角的正切值为　　． 参考答案： 【考点】直线与平面所成的角． 【分析】连结AC、BD，交于点O，当C1F与EO垂直时，C1F⊥平面BDE，从而F∈AA1，进而∠CAF是CF与平面ABCD所成角，由△C1A1F∽△EAO，求出AC，由此能求出CF与平面ABCD所成角的正切值． 【解答】解：连结AC、BD，交于点O， ∵四边形ABCD是正方形，AA1⊥底面ABCD， ∴BD⊥平面ACC1A1， 则当C1F与EO垂直时，C1F⊥平面BDE， ∵F∈平面ABB1A1，∴F∈AA1， ∴∠CAF是CF与平面ABCD所成角， 在矩形ACC1A1中，△C1A1F∽△EAO， 则=， ∵A1C1=2AO=AB=2，AE=， ∴A1F=，∴AF=， ∴tan==． ∴CF与平面ABCD所成角的正切值为． 故答案为：． 【点评】本题考查线面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 　 17. 若tan（π﹣α）=2，则sin2α=　　． 参考答案： 【考点】二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系；诱导公式的作用． 【专题】三角函数的求值． 【分析】利用诱导公式化简已知等式的左边求出tanα的值，再利用同角三角函数间的基本关系得到sinα=2cosα，且sinα与cosα异号，两边平方并利用同角三角函数间的基本关系求出cos2α与sin2α的值，进而求出sinαcosα的值，最后利用二倍角的正弦函数公式即可求出sin2α的值． 【解答】解：∵tan（π﹣α）=﹣tanα=﹣=2，即=﹣2＜0， ∴sinα=﹣2cosα， 两边平方得：sin2α=4cos2α， ∵sin2α+cos2α=1， ∴cos2α=，sin2α=， ∴sin2αcos2α=，即sinαcosα=﹣， 则sin2α=2sinαcosα=﹣． 故答案为：﹣ 【点评】此题考查了二倍角的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设函数f（x）=|2x﹣7|+1． （1）求不等式f（x）≤x的解集； （2）若存在x使不等式f（x）﹣2|x﹣1|≤a成立，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】绝对值不等式的解法． 【分析】（1）问题转化为解不等式组问题，解出取并集即可；（2）先求出g（x）的分段函数，求出g（x）的最小值，从而求出a的范围． 【解答】解：（1）由f（x）≤x得|2x﹣7|+1≤x， ∴， ∴不等式f（x）≤x的解集为； （2）令g（x）=f（x）﹣2|x﹣1|=|2x﹣7|﹣2|x﹣1|+1， 则， ∴g（x）min=﹣4， ∵存在x使不等式f（x）﹣2|x﹣1|≤a成立， ∴g（x）min≤a， ∴a≥﹣4． 19. 设是定义在上的偶函数，其图像关于直线对称。对任意都有。 （1）   设，求； （2）  证明： 是周期函数。 参考答案： 解：（1）由，，知， ∵，∴。同理，∴； (2)证明：依题设的图象关于直线对称，故，即。 又由是偶函数知， ∴，将上式中以代换，得， ∴是R上的以2为周期的周期函数   20. 某校高三年级共有450名学生参加英语口语测试，其中男生250名，女生200名。现按性别用分层抽样的方法从中抽取45名学生的成绩。    （I）求抽取的男生与女生的人数？    （II）从男生和女生中抽查的结果分别如下表1和表2； 表1 成绩分组 人数 3 m 8 6   表2 成绩分组 人数 2 5 n 5     分别估计男生和女生的平均分数，并估计这450名学生的平均分数。（精确到0.01）   参考答案： （Ⅰ）由抽样方法知， 被抽取的男生人数为250×＝25， 被抽取的女生人数为200×＝20．……………………………………………2分 （Ⅱ）男生甲和女生乙被抽到的概率均为0.1， 所以男生甲与女生乙至少有1人被抽到的概率 P＝1－(1－0.1)2＝0.19．……………………………………………………………7分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知， m＝25－(3＋8＋6)＝8，n＝20－(2＋5＋5)＝8，据此估计 男生平均分为＝81.8， 女生平均分为＝83； 这450名学生的平均分数为≈82.33．………………………12分 略 21. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线M的极坐标方程为，。 (1)求曲线C的极坐标方程； (2)已知β为锐角，直线l：θ＝β与曲线C的交点为A(异于极点)，l与曲线M的交点为B，若，求l的直角坐标方程。 参考答案： 22. 已知且，数列是首项与公比均为的等比数列，数列满足（）. （1）       若，求数列的前项和； （2）       若对于，总有，求的取值范围. 参考答案： （1）由已知有，.………………2分 ， ，………………5分 所以， . …………………………………8分 （2）即.由且得.2分 所以或………………………………3分 即或对任意成立，………………………5分 而，且，所以或.…………… 8分