内蒙古自治区赤峰市阿鲁科尔沁旗巴彦花职业高中高三数学理测试题含解析

内蒙古自治区赤峰市阿鲁科尔沁旗巴彦花职业高中高三数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. △ABC的三个顶点分别为A(0,3),B(3,3),C(2,0),如果直线x=a将△ABC分割成面积相等的两部分,则实数a的值等于                            (    ） A．           B．1+         C．1+         D．2－ 参考答案： A 2. 如果复数是实数，则实数m=        （A）1                        （B）－1               （C）                 （D）－     参考答案： B 3. 已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（  ）   A．              B．                 C.               D. 参考答案： C 略 4. 执行如图的程序框图，若输入k的值为3，则输出S的值为（　　） A．10 B．15 C．18 D．21 参考答案： B 【考点】程序框图． 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值，当n=5，S=15时，不满足条件S＜kn=15，退出循环，输出S的值为15，即可得解． 【解答】解：模拟程序的运行，可得 k=3，n=1，S=1 满足条件S＜kn，执行循环体，n=2，S=3 满足条件S＜kn，执行循环体，n=3，S=6 满足条件S＜kn，执行循环体，n=4，S=10 满足条件S＜kn，执行循环体，n=5，S=15 此时，不满足条件S＜kn=15，退出循环，输出S的值为15． 故选：B． 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题． 　 5. 已知三棱锥P﹣A BC四个顶点都在半径为2的球面上，PA⊥面ABC，PA=2，底面ABC是正三角形，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是（　　） A． B．2π C． D．3π 参考答案： C 【考点】LG：球的体积和表面积． 【分析】设正△ABC的中心为O1，连结O1A．根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，而经过点E的球O的截面，当截面与OE垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值． 【解答】解：设正△ABC的中心为O1，连结O1A，∵O1是正△ABC的中心，A、B、C三点都在球面上， ∴O1O⊥平面ABC，∵PA⊥面ABC，PA=2，∴球心O到平面ABC的距离为O1O==1， ∴Rt△O1OA中，O1A=，∴又∵E为AB的中点，△ABC是等边三角形，∴AE=AO1cos30°=． ∵过E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的半径最小， ∴当截面与OE垂直时，截面圆的面积有最小值． 此时截面圆的半径r=，可得截面面积为S=πr2=， 故选：C． 6. 已知函数有极大值和极小值，则实数的取值范围是 （  ▲  ）A．    B．    C． 或    D．或 参考答案： D 略 7. 在中，已知，，边上的中线，则 (     )   A.         B.         C.        D. 参考答案： A 8. 过抛物线焦点作直线交抛物线于A,B两点，O为坐标原点，则为 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．不确定     D．钝角三角形   【解析】,设过A,B的坐标为，则，所以当，即，，此时，三角形为直角三角形，当时，，三角形为钝角三角形，当时，，三角形为锐角三角形，所以三角形的形状不确定，选C. 参考答案： ,设过A,B的坐标为，则，所以当，即，，此时，三角形为直角三角形，当时，，三角形为钝角三角形，当时，，三角形为锐角三角形，所以三角形的形状不确定，选C. 【答案】C 9. 已知直线与函数的图象恰有三个公共点，其中，则有  (     ） A．      B．                  C． D． 参考答案： B 10. 设是虚数单位，复数，则等于（    ） A.              B.                 C.-1               D.1   参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数 则的零点是_____；的值域是_____． 参考答案： 和， 当时，由得，。当时，由，得，所以函数零点为和。当时，，所以，当，，所以此时，综上，即函数的值域为。 12. 直线θ＝－被曲线ρ＝cos(θ+)所截得的弦的弦长为        . 参考答案： 13. 已知函数为R上的奇函数，的导数为，且当时，不等式成立，若对一切恒成立，则实数的取值范围是       。 参考答案： 14. 数列中， ， 是方程的两个根，则数列的前项和　_________　． 参考答案： 略 15. 将直线绕原点顺时针旋转，再向左平移１个单位，所得到的直线的方程为_________．   参考答案： 解：直线绕原点顺时针旋转的直线为，再将向左平移１个单位得，即． 16. 定义在R上的函数f(x)满足则f(2 013)＝________. 参考答案： 0 略 17. 为了解某团战士的体重情况，采用随机抽样的方法．将样本体重数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右前三个小组频率之比为1：2：3，第二小组频数为12，则全团共抽取人数为_______． 参考答案： 48 【分析】 先求出频率分布直方图左边三组的频率和，再求全团共抽取的人数. 【详解】由题得频率分布直方图左边三组的频率和为 所以全团抽取的人数为：＝48. 故答案为：48 【点睛】本题主要考查频率分布直方图频率和频数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知a > 0,a≠1,设p:函数y =loga(x+1)在(0,+∞)上单调递减;q:曲线y = x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点,如果p且q为假命题,p或q为真命题,求a的取值范围.   参考答案： 解析 ：解：若P为真,则0＜a＜1 若q为真,曲线与x轴交于不同两点等价于解得 为真，为假 若 P真q假,  则     若 P假q真 ，则   综上,a的取值范围为   略 19. 已知函数f（x）=x3+ax2+bx（x＞0）在x=3处取得极值0． （1）求函数f（x）的解析式； （2）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y=f（x），x∈[1，3]图象上两个不同的点，且，图象在A（x1，y1），B（x2，y2）两点处的切线的斜率分别为k1，k2，证明：． 参考答案： 【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（1）求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，解出即可． （2）求出的解析式，根据基本不等式的性质证明即可． 【解答】解：（1）f′（x）=3x2+2ax+b， 由题意得，解得：， 故f（x）=x3﹣6x2+9x； （2）f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3）， ∵1≤xi≤3（i=1，2）， 故xi﹣1≥0，3﹣xi≥0，（i=1，2），k1≤0，k2≤0， = =3? ≤3?? =3?=3（1﹣）． ∴． 20. （本题满分14分）已知函数. （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）过原点分别作函数与的切线，且两切线的斜率互为倒数，证明：或； （Ⅲ）求证：（其中是自然对数的底）. 参考答案： 【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的求和．B12 B11  【答案解析】（Ⅰ）当时，，增区间是；当时，增区间是，减区间是；（Ⅱ）或（Ⅲ）见解析 解析：（Ⅰ）（）  ……………2分                          ①当时，，增区间是；                         ②当时，增区间是，减区间是；……………4分             （Ⅱ）设的切点，的切点， 得  ， ，，代入得，令……………7分 ，在递减，在上递增.当时，因为，所以 ；当时，，，所以， 综上或    ……………9分                                   （Ⅲ）由（Ⅰ）知：当时，在上单调递增，在上单调递减，∴   即：在上恒成立 ∴在上恒成立……………11分 ∵      ∴ 故得证：……………14分 【思路点拨】（Ⅰ）求函数的导数即可求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）根据导数的几何意义，求出切线的斜率，建立条件关系即可得到结论；（Ⅲ）利用ln（x+1）≤x在[0，+∞）上恒成立，利用此不等式对所要证明的不等式进行放缩，从而进行证明． 21. 在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC．D，E分别是边BC，AC的中点，线段BC1与B1C交于点G，且，． （1）求证：∥平面； （2）求证：⊥平面； （3）求二面角的余弦值． 参考答案： （1）见解析；（2）见解析；（3）. 【分析】 （1）证明EG∥AB1．然后利用直线与平面平行的判定定理证明EG∥平面AB1D． （2）取B1C1的中点D1，连接DD1．建立空间直角坐标系D-xyz，通过向量的数量积证明BC1⊥DA，BC1⊥DB1．然后证明BC1⊥平面AB1D． （3）求出平面B1CB的一个法向量，平面AB1C的一个法向量，设二面角A-B1C-B的平面角为θ，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦函数值即可． 【详解】（1）证明：因为E为AC中点，G为B1C中点．所以EG∥AB1． 又因为EG?平面AB1D，AB1?平面AB1D， 所以EG∥平面AB1D． （2） 证明：取B1C1的中点D1，连接DD1． 显然DA，DC，DD1两两互相垂直，如图，建立空间直角坐标系D-xyz， 则D（0，0，0），，B（0，-2，0），，，，C（0，2，0）． 所以，，． 又因为，， 所以BC1⊥DA，BC1⊥DB1． 又因为DA∩DB1=D，所以BC1⊥平面AB1D． （3）解：显然平面B1CB的一个法向量为=（1，0，0）． 设平面AB1C的一个法向量为：=（x，y，z）， 又，， 由得 设x=1，则，，则． 所以． 设二面角A-B1C-B的平面角为θ，由图可知此二面角为锐二面角， 所以． 22. 改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下： 支付金额 支付方式 不大于2000元 大于2000元   仅使用A 27人 3人 仅使用B 24人 1人   （Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数； （Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率； （Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结