吉林省长春市榆树第一中学高三数学理期末试题含解析

吉林省长春市榆树第一中学高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)=x f(x).若a=g(－log25.1)，b=g(20.8)，c=g(3)，则a，b，c的大小关系为 （A）a＜b＜c （B）c＜b＜a （C）b＜a＜c（D）b＜c＜a 参考答案： C 因为f(x)是奇函数，且在R上是增函数，所以在x＞0时，f(x) ＞0，从而g(x)=x f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数， a=g(－log25.1)=g(log25.1) 20.8＜2，又4＜5.1＜8，则2＜log25.1＜3，所以即0＜20.8＜log25.1＜3， g(20.8) ＜g(log25.1) ＜g(3) 所以b＜a＜c. 2. 已知f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，若f（ax+1）≤f（x﹣2）在上恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A．[﹣2，1] B．[﹣2，0] C．[﹣1，1] D．[﹣1，0] 参考答案： B 【考点】3N：奇偶性与单调性的综合． 【分析】因为偶函数在对称区间上单调性相反，根据已知中f（x）是偶函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，易得f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，又由若时，不等式f（ax+1）≤f（x﹣2）恒成立，结合函数恒成立的条件，求出时f（x﹣2）的最小值，从而可以构造一个关于a的不等式，解不等式即可得到实数a的取值范围． 【解答】解：∵f（x）是偶函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数， ∴f（x）在（﹣∞，0）上为减函数， 当时，x﹣2∈[﹣，﹣1]， 故f（x﹣2）≥f（﹣1）=f（1）， 若时，不等式f（ax+1）≤f（x﹣2）恒成立， 则当时，|ax+1|≤1恒成立， ∴﹣1≤ax+1≤1，∴≤a≤0， ∴﹣2≤a≤0， 故选B． 3. 已知集合M＝{x|x≥－1}，N＝{x|2－x≥0}，则M∪N＝(      )     A. [－1，＋∞) B.[－1，] C. [－，＋∞) D.(－∞，－]∪[－1，＋∞) 参考答案： 【知识点】集合的运算  A1 【答案解析】C  解析：，所以 ， 故答案为：C 【思路点拨】解不等式，得集合N，再根据并集的定义求即可，必要时可借助数轴辅助运算。 4. 在棱长为1的正方体中，分别是线段上的动点，则线段的最小值为（      ） A                  B                C               D 参考答案： A 略 5. 已知向量，若，则实数的值为（    ） A．-5     B．      C．      D．5 参考答案： D 6. 一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为   (A) 96     (B) 136   (C) 152   (D) 192 参考答案： C 略 7. 各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是(     ) A．16π    B．20π    C．24π   D．32π 参考答案： C 正四棱柱高为4，体积为16，底面积为4，正方形边长为2， 正四棱柱的对角线长即球的直径为2， ∴球的半径为，球的表面积是24π， 8. 函数y＝sin图象的对称轴方程可能是(　　)． A．x＝－       B．x＝－       C．x＝        D．x＝ 参考答案： D 9. 若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A．               B． C．                        D． 参考答案： A 10. ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是                                                      （    ）        A．0＜a≤1　       B．a≤1   C．a＜1     D．0＜a≤1或a＜0 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为       ． 参考答案： 1 试题分析：． 考点：1、向量的数量积运算；2、向量加法．   12. 己知i是虚数单位，则的虚部是　　． 参考答案： ﹣1 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，则复数的虚部可求． 【解答】解： =， ∴的虚部是﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 13. (不等式选讲) 若的最小值为3, 则实数的值是________. 参考答案： t=2或8 略 14. 已知一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于α，则sinα=            ． ． 参考答案： 解：12条棱只有三个方向，故只要取如图中AA￠与平面AB￠D￠所成角即可．设AA￠=1，则A￠C=，A￠C⊥平面AB￠D￠，A￠C被平面AB￠D￠、BDC￠三等分．于是sinα= 15. 已知双曲线的一个焦点与抛线线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程的            . 参考答案： 16. 已知复数是纯虚数，则实数的值是_________. 参考答案： 17. 已知复数z满足（i为虚数单位），则          ． 参考答案： 5 因为，所以，即，.   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分13分）国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款，旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费。每一年度申请总额不超过6000 元。某大学2012届毕业生在本科期间共申请了24000 元助学贷款，并承诺在毕业后3年内（按36个月计）全部还清。签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1500元，第13个月开始，每月工资比前一个月增加5% 直到4000 元。该同学计划前12个月每个月还款额为500，第13个月开始，每月还款额比前一月多x 元。 （Ⅰ）若该同学恰好在第36 个月（即毕业后三年）还清贷款，求x 的值； （Ⅱ）当x = 50时，该同学将在第几个月还清最后一笔贷款？他当月工资的余额是否能满足每月3000元的基本生活费？ （参考数据： ） 参考答案： 19. （已知函数，且，    （1）求的值；    （2）若，，求. 参考答案： 20. (１２分)已知方程 （1）若此方程表示圆，求的取值范围； （2）若（1）中的圆与直线相交于M，N两点，且OMON（O为坐标原点）求的值； （3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程。 参考答案：  解析：（1）   D=-2，E=-4，F= =20-       ………………………………………………………………4分 （2）  代入得          ………….………………………………6分 ，         …………………………………7分 ∵OMON 得出： ∴ ∴  ………… ………………………………………………………8分 （3）设圆心为      半径 圆的方程   ………………………………12分 21. 如图, 是正方形，平面，，. (Ⅰ) 求证：； (Ⅱ) 求面FBE和面DBE所形成的锐二面角的余弦值.    参考答案： (Ⅰ)证明： 因为平面， 所以.      ……………………1分 因为是正方形， 所以， 所以平面,  …………………3分 从而       ……………………4分 (Ⅱ)解：因为两两垂直， 所以建立空间直角坐标系如图所示. …………5分 设，可知. ……………………6分 则 ,，，，，， 所以，，                   ………………7分 设平面的法向量为，则，即， 令，则.                             …………………10分 因为平面，所以为平面的法向量， ， 所以  …………………………12分 所以面FBE和面DBE所形成的锐二面角的余弦值为.  …………13分 22. 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的个数是(     ) （1）AC⊥BE． （2）若P为AA1上的一点，则P到平面BEF的距离为． （3）三棱锥A﹣BEF的体积为定值． （4）在空间与DD1，AC，B1C1都相交的直线有无数条． （5）过CC1的中点与直线AC1所成角为40°并且与平面BEF所成角为50°的直线有2条． A．0 B．1 C．2 D．3 参考答案： A 考点：命题的真假判断与应用；棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；点、线、面间的距离计算． 专题：空间位置关系与距离． 分析：根据题意，依次分析：如图可知BE?平面BB1D1D，AC⊥BE，进而判断出（1）正确； 根据AA1∥BB1，判断出AA1∥平面BB1DD1，即AA1∥平面BEF，计算出A1到平面BEF的距离，即可判断出（2）项； 设AC，BD交于点O，AO⊥平面BB1D1D，可分别求得S△BEF和AO，则三棱锥A﹣BEF的体积可得判断（3）项正确； 再利用正方体中线线，线面的位置关系，即可判定（4）和（5）项正确． 解答： 解：对于（1），∵AC⊥平面BB1D1D，又BE?平面BB1D1D，∴AC⊥BE．故（1）正确． 对于（2），∵AA1∥BB1，AA1?平面BB1DD1，BB1?平面BB1DD1， ∴AA1∥平面BB1DD1，即AA1∥平面BEF， 又∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1， A1到平面BEF的距离为A1到B1D1的距离， ∴若P为AA1上的一点，则P到平面BEF的距离为，故（2）正确； 对于（3），∵S△BEF==， 设AC，BD交于点O，AO⊥平面BB1D1D，AO=， ∴VA﹣BEF==，故（3）正确； 对于（4）在正方体中，AA1∥DD1，AD∥B1C1， 则AC，AA1，AD相交于A点，故空间中与DD1，AC，B1C1都相交的直线有无数条． 故（4）正确； 对于（5）由于过CC1的中点与直线AC1所成角为40°的直线有2条． 并且这两条直线与平面BEF所成角为50°，故（5）正确； 故答案为：A． 点评：本题考查直线与平面平行的判定，考查线面垂直，考查线面角、线线角，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．