湖北省武汉市马房山中学高一数学理期末试题含解析

湖北省武汉市马房山中学高一数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若，则等于（    ） A．       B．               C．               D． 参考答案： C 2. 对任意正实数x，y，下列不等式恒成立的是 A．                B．       C．               D． 参考答案： C 由已知，，选C 3. 已知是奇函数,是偶函数,且,,则等于                                                              （  　） A、4 B、3 C、2　　　　  　D、1 参考答案： B 4. 设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，4}，N={1，3，5}，则N∩（?UM）等于（　　） A．{1，3} B．{1，5} C．{3，5} D．{4，5} 参考答案： C 【考点】交、并、补集的混合运算． 【分析】根据补集与交集的定义，求出?UM与N∩（?UM）即可． 【解答】解：全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，4}，N={1，3，5}， ∴?UM={2，3，5}， ∴则N∩（?UM）={3，5}． 故选：C． 5. 定义实数集R的子集M的特征函数为．若A，B?R，对任意x∈R，有如下判断： ①若A?B，则fA（x）≤fB（x）；      ②fA∩B（x）=fA（x）?fB（x）； ③；               ④fA∪B（x）=fA（x）+fB（x）． 其中正确的是　　．（填上所有满足条件的序号） 参考答案： ①②③ 【考点】命题的真假判断与应用． 【专题】综合题；转化思想；综合法；简易逻辑． 【分析】根据题中特征函数的定义，利用集合的交集、并集和补集运算法则，对各项中的运算加以验证，可得①②③都可以证明它们的正确性，而④可通过反例说明它不正确．由此得到本题答案． 【解答】解：由题意，可得 对于A，因为A?B，可得x∈A则x∈B， ∵fA（x）=，fB（x）=， 而CRA中可能有B的元素，但CRB中不可能有A的元素 ∴fA（x）≤fB（x）， 即对于任意x∈R，都有fA（x）≤fB（x）故①正确 对于C，fA∩B（x）==?=fA（x）?fB（x）， 故②正确 对于③，=，结合fA（x）的表达式，可得=1﹣fA（x），故③正确 对于④，fA∪B（x）= 当某个元素x在A中但不在B中，由于它在A∪B中，故fA∪B（x）=1， 而fA（x）=1且fB（x）=0，可得fA∪B（x）≠fA（x）?fB（x） 由此可得④不正确． 故答案为：①②③． 【点评】本题给出特征函数的定义，判断几个命题的真假性，着重考查了集合的运算性质和函数对应法则的理解等知识，属于中档题． 6. 已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（?UA）∪B为（　　） A．{1，2，4} B．{2，3，4} C．{0，2，4} D．{0，2，3，4} 参考答案： C 【考点】交、并、补集的混合运算． 【分析】根据补集和并集的定义，写出（?UA）∪B即可． 【解答】解：全集U={0，1，2，3，4}， 集合A={1，2，3}，B={2，4}， 则?UA={0，4}， 所以（?UA）∪B={0，2，4}． 故选：C． 7. 如果一条直线垂直于一个平面内的①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边，则能保证该直线与平面垂直的是(　　) A. ①③　　　   　  B. ②              C. ②④              D. ①②④ 参考答案： A 8. 函数的一个单调递增区间可以是（    ） A．      B．       C．        D． 参考答案： A 略 9. 已知实数满足，则的最大值为（   ） A. 8 B. 2 C. 4 D. 6 参考答案： D 【分析】 设点，根据条件知点均在单位圆上，由向量数量积或斜率知识，可发现，对目标式子进行变形，发现其几何意义为两点到直线距离之和有关. 【详解】设，， 均在圆上，且，设的中点为，则点到原点的距离为， 点在圆上，设到直线的距离分别为， ， ，. 【点睛】利用数形结合思想，发现代数式的几何意义，即构造系数，才能看出目标式子的几何意义为两点到直线距离之和的倍. 10. 图中的图象所表示的函数的解析式为（　　） A．y=|x﹣1|（0≤x≤2） B．y=﹣|x﹣1|（0≤x≤2） C．y=﹣|x﹣1|（0≤x≤2） D．y=1﹣|x﹣1|（0≤x≤2） 参考答案： B 【考点】函数的图象与图象变化． 【分析】求已知图象函数的解析式，常使用特殊值代入排除法． 【解答】解：由已知函数图象易得： 点（0，0）、（1、）在函数图象上 将点（0，0）代入可排除A、C 将（1、）代入可排除D 故选B． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 某几何体是由一个正方体去掉一个三棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积是___ 参考答案： 6 【分析】 先作出几何体图形，再根据几何体的体积等于正方体的体积减去三棱柱的体积计算. 【详解】几何体如图所示： 去掉的三棱柱的高为2，底面面积是正方体底面积的 ， 所以三棱柱的体积： 所以几何体的体积： 【点睛】本题考查三视图与几何体的体积.关键是作出几何体的图形，方法：先作出正方体的图形，再根据三视图“切”去多余部分. 12. （5分）已知α为实数，函数f（x）=x2+2ax+1在区间[0，1]上有零点，则α的取值范围       ． 参考答案： a≤﹣1 考点： 函数零点的判定定理；二次函数的性质． 专题： 计算题；函数的性质及应用． 分析： f（x）=x2+2ax+1在区间[0，1]上有零点可化为方程x2+2ax+1=0在区间[0，1]上有根；由二次方程的根判断即可． 解答： ∵f（x）=x2+2ax+1在区间[0，1]上有零点， ∴方程x2+2ax+1=0在区间[0，1]上有根； ∴△=4a2﹣4≥0， 故a≤﹣1或a≥1； ①当a≤﹣1时，﹣a≥1； 故f（0）?f（1）≤0； 解得，a≤﹣1； ②当a≥1，即﹣a≤﹣1时， 故f（0）?f（1）≤0； 无解； 综上所述，a≤﹣1； 故答案为：a≤﹣1． 点评： 本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于基础题． 13. 若f（tanx）=sin2x，则f（﹣1）的值是　  　． 参考答案： ﹣1 【考点】函数解析式的求解及常用方法． 【分析】令tanx=﹣1，则有x=kπ﹣或x=kπ+，从而解得sin2x=﹣1可得到结果． 【解答】解：令tanx=﹣1 ∴x=kπ﹣或x=kπ+ ∴sin2x=﹣1 即：f（﹣1）=﹣1 故答案为：﹣1 　 14. 用秦九韶算法计算当时, __ 参考答案：       83 15. 函数f(x)=的值域为______________。 参考答案： 16. 过两点A(2,－1)，B(3,1)的直线的斜率为          ． 参考答案： 2 由题意得，过点A,B的直线的斜率为 ．   17. 设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是            ； 参考答案： 2； 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知tanα，是关于x的方程x2﹣kx+k2﹣3=0的两实根，且3π＜α＜π，求cos（3π+α）﹣sin（π+α）的值． 参考答案： 【考点】同角三角函数基本关系的运用． 【分析】根据题意，由韦达定理表示出两根之和列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出两根之和，联立求出tanα与的值，根据α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα与cosα的值，所求式子利用诱导公式化简后将各自的值代入计算即可求出值． 【解答】解：由已知得：tanα?=k2﹣3=1， ∴k=±2， 又∵3π＜α＜π， ∴tanα＞0，＞0， ∴tanα+=k=2＞0（k=﹣2舍去）， ∴tanα==1， ∴sinα=cosα=﹣=﹣， ∴cos（3π+α）﹣sin（π+α）=sinα﹣cosα=0． 19. (本小题满分10分)解关于x的不等式．     参考答案： 20. 写出下列各命题的否命题和命题的否定： （1），若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则是等比数列。   参考答案： 解析： （1）否命题：，若，则；命题的否定：，若，则    （2）否命题：若，则；命题的否定：若，则；    （3）否命题：若，则；命题的否定：，若，则；       （4）否命题：若，则不是等比数列。命题的否定：，若，则不是等比数列。 21. 已知函数，  （） （1）若在上单减，求的取值范围. （2）求的解析式. （3）当时，求函数的值域. 参考答案： 解：（1）∵的对称轴是，开口向上， ∴在上单减，在上单增 若在上单减，则，∴ （2） (3) 当时， 其定义域为R， 设 ∵  ∴ 而是增函数  ∴  ∴函数的值域是 略 22. 如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、CD和SC的中点．求证： （1）直线EG∥平面BDD1B1； （2）平面EFG∥平面BDD1B1． 参考答案： 【考点】LS：直线与平面平行的判定；LU：平面与平面平行的判定． 【分析】（1）连结SB，由已知得EG∥SB，由此能证明直线EG∥平面BDD1B1． （2）连结SD，由已知得FG∥SD，从而FG∥平面BDD1B1，又直线EG∥平面BDD1B1，由此能证明平面EFG∥平面BDD1B1． 【解答】证明：（1）如图，连结SB， ∵E、G分别是BC、SC的中点， ∴EG∥SB， 又SB?平面BDD1B1，EG不包含于平面BDD1B1， ∴直线EG∥平面BDD1B1． （2）如图，连结SD， ∵F，G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD， 又SD?平面BDD1B1，FG不包含于平面BDD1B1， ∴FG∥平面BDD1B1， 又直线EG∥平面BDD1B1，且直线EG?平面EFG，直线FG?平面EFG， EG∩FG=G， ∴平面EFG∥平面BDD1B1．