2022年北京西城区裕中中学 高一数学文期末试题含解析

2022年北京西城区裕中中学 高一数学文期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. （5分）已知向量，，若，则实数x的值为（） A． 9 B． ﹣9 C． 1 D． ﹣1 参考答案： D 考点： 数量积判断两个平面向量的垂直关系． 专题： 计算题． 分析： 由可得=1×3+3x=0，从而可求x 解答： ∵ ∴=1×3+3x=0 ∴x=﹣1 故选D 点评： 本题主要考查了向量的数量积的性质的应用，属于基础试题 2. 已知一个等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则第项为（    ） A. 30 B. 29 C. 28 D. 27 参考答案： B 【分析】 分别用a1，a2n+1表示出奇数项之和与所有项之和，两者相比等于进而求出n． 【详解】解：∵奇数项和， ∵数列前2n+1项和 ∴ ∴n＝9 ∴n+1＝10 又因为， 所以===2 =29 故选：B． 【点睛】本题主要考查等差数列中的求和公式．熟练记忆并灵活运用求和公式，是解题的关键． 3. 在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=3，∠DAB=，点E在BC上，且，F为CD边的中点，则?=（　　） A．． B．﹣1 C．1 D．2 参考答案： D 【考点】向量在几何中的应用． 【分析】建立平面直角坐标系，求出、的坐标进行计算即可， 【解答】以AB为x轴，以A为原点建立平面直角坐标系，如图， 则A（0，0），B（4，0），C（，），D（，），E（5，），F（，）． ），，∴． 故选：D． 4. 已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边长，b和c是关于x的方程x2﹣9x+25cosA=0的两个根（b＞c），且，则△ABC的形状为（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 参考答案： C 【分析】由已知：（sinB+sinC+sinA）（sinB+sinC﹣sinA）=sinBsinC，利用正弦定理可得b2+c2﹣a2=bc，进而利用余弦定理求cosA，从而可求sinA的值，由方程x2﹣9x+25cosA=0，可得x2﹣9x+20=0，从而b，c，利用余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA=9，可求得a，直接判断三角形的形状即可． 【解答】（本题满分为12分） 解：由已知：（sinB+sinC+sinA）（sinB+sinC﹣sinA）=sinBsinC， ∴sin2B+sin2C﹣sin2A=sinBsinC， 由正弦定理：∴b2+c2﹣a2=bc，… 由余弦定理cosA==，… ∴sinA=，… 又∵由（1）方程x2﹣9x+25cosA=0即x2﹣9x+20=0，则b=5，c=4，… ∴a2=b2+c2﹣2bccosA=9，∴a=3，… ∴b2=c2+a2，三角形是直角三角形… 5. （理）已知函数y=的图象与函数y=logax（a＞0且a≠1）的图象交于点P（x0，y0），如果x0≥2，那么a的取值范围是（　　） A．[2，+∞） B．[4，+∞） C．[8，+∞） D．[16，+∞） 参考答案： D 【考点】对数函数的图象与性质． 【分析】由已知中函数的图象与函数y=logax（a＞0且a≠1）的图象交于点P（x0，y0），如果x0≥2，我们根据指数不等式的性质，求出y0的范围，进而结合点P（x0，y0）也在函数y=logax的图象上，再由对数函数的性质，构造关于a的不等式，解不等式即可得到答案． 【解答】解：由已知中函数的图象与函数y=logax（a＞0且a≠1）的图象交于点P（x0，y0）， 由指数函数的性质，若x0≥2 则0＜y0≤ 即0＜logax0≤ 由于x0≥2 故a＞1 且≥x0≥2 故a≥16 即a的取值范围为[16，+∞） 故选D 6. 过点（2，0）且与直线x﹣2y﹣1=0平行的直线方程是（　　） 　 A． x﹣2y﹣2=0 B． x﹣2y+2=0 C． 2x﹣y﹣4=0 D． x+2y﹣2=0 参考答案： A 7. 如图，执行程序框图后，输出的结果为        A．8                     B．10        C．12                   D．32 参考答案： B 8. 某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20，45）岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是（　　） A．31.6岁 B．32.6岁 C．33.6岁 D．36.6岁 参考答案： C 【考点】用样本的频率分布估计总体分布；众数、中位数、平均数． 【专题】概率与统计． 【分析】由于在频率分布直方图中，中位数使得直方图左右两侧频率相等，故中位数右侧的频率为0.50．由残缺的频率分布直方图可求[35，45）段上的频率是0.40＜0.50，[30，45）岁之间频率是0.75＞0.50，可知中位数在区间[30，35）内，再根据频率即可求出中位数． 【解答】解：由图知，抽到的司机年龄都在[30，35）岁之间频率是0.35； 抽到的司机年龄都在[35，40）岁之间频率是0.30； 抽到的司机年龄都在[40，45）岁之间频率是0.10． 由于在频率分布直方图中，中位数使得左右频率相等，故中位数右侧的频率为0.50． 而[35，45）段上的频率是0.40＜0.50，[30，45）岁之间频率是0.75＞0.50； 故中位数在区间[30，35）内，还要使其右侧且在[30，35）岁之间频率是0.10， 所以中位数是35﹣≈33.6． 故答案选C． 【点评】本题考查了由频率分布直方图得出中位数的内容，要掌握在频率分布直方图中，中位数使得直方图左右两侧频率相等，即使得直方图左右两侧面积相等． 9. 若是互不相同的直线，是平面，则下列命题中正确的是（    ） A.若则           B.若则 C.若则          D.若则 参考答案： C 10. 如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于（　　） 　 A． B． C． D． 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 定义在区间上的函数的图象与的图象的交点为, 过点作轴于点,直线与的图象交于点,则线段的长为_______  参考答案： 略 12. （5分）设向量=（sinα，cosα﹣y），=（﹣2，sinα），若，则y的最大值为         ． 参考答案： 2 考点： 三角函数的最值；平面向量共线（平行）的坐标表示． 专题： 三角函数的求值；平面向量及应用． 分析： 利用向量的平行，列出方程，得到y的表达式，通过三角函数的最值求解即可． 解答： 向量=（sinα，cosα﹣y），=（﹣2，sinα），， 所以sin2α+2（cosα﹣y）=0， 可得y=sin2α+2cosα=﹣cos2α+2cosα+1=﹣（cosα﹣1）2+2． ∴ymax=2． 故答案为：2． 点评： 本题考查向量的平行的充要条件，三角函数的最值的求法，考查计算能力． 13. 集合A={a﹣2，2a2+5a，12}且﹣3∈A，则a=　   　． 参考答案： 【考点】元素与集合关系的判断． 【分析】利用﹣3∈A，求出a的值，推出结果即可． 【解答】解：集合A={a﹣2，2a2+5a，12}且﹣3∈A， 所以a﹣2=﹣3，或2a2+5a=﹣3， 解得a=﹣1或a=， 当a=﹣1时a﹣2=2a2+5a=﹣3， 所以a=． 故答案为：． 14. 已知函数f（x）=，则f（lg2）+f（lg）=　   　． 参考答案： 2 【考点】函数的值． 【分析】利用对数函数F（x）=是奇函数以及对数值，直接化简求解即可． 【解答】解：函数f（x）=， 则f（lg2）+f（lg）=f（lg2）+f（﹣lg2） 令F（x）=， F（﹣x）=， ∴F（x）+F（（﹣x）=0 ∴F（x）==f（x）﹣1是奇函数， ∴f（lg2）﹣1+f（﹣lg2）﹣1=0 ∴f（lg2）+f（﹣lg2）=2， 即f（lg2）+f（lg）=2 故答案为：2 15. 已知点M（﹣1，0），N（2，5），设点M关于直线l：x﹣y=0的对称点为M′，则点M到直线M′N的距离是；若点P在直线l上运动，则|PM|+|PN|的最小值是        ． 参考答案： 2 考点：与直线关于点、直线对称的直线方程． 专题：直线与圆． 分析：先求出点M′的坐标，再用两点式求出直线M′N的方程，用点到直线的距离公式求得点M到直线M′N的距离．根据两个点关于直线对称的性质求得|PM|+|PN|取得最小值为|M′N|，计算求得结果． 解答： 解：如图所示： 点M（﹣1，0）关于直线l：x﹣y=0的对称点为M′（0，﹣1）， 故直线M′N的方程为 =，即 3x﹣y﹣1=0， 故点M到直线M′N的距离为 =． 由于|PM|+|PN|=|PM′|+|PN|，故当点P是M′N和直线l的交点时，|PM|+|PN|取得最小值时， 且此最小值为|M′N|=2， 故答案为：；2． 点评：本题主要考查求一个点关于直线的对称点的坐标，两个点关于直线对称的性质，用两点式求直线的方程，点到直线的距离公式，体现了数形结合的数学思想，属于中档题． 16. 设函数，给出四个命题： ①是偶函数；②是实数集上的增函数； ③，函数的图像关于原点对称；④函数有两个零点． 上述命题中，正确命题的序号是__________．（把所有正确命题的序号都填上） 参考答案： ②③ ①错，∵， ， ∴不是偶函数． ②∵， 由图象知在上单调递增，正确． ③时，， 关于原点对称，正确． ④若时， 只有一个零点，错误． 综上，正确命题为②③． 17. 如图，已知△ABC，∠C=90°，|CA|=|CB|=2，D是AB的中点，P是边AC上的一个动点，则的值为__________。 参考答案：  2 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 要使方程x＋px＋q = 0的两根a、b满足lg(a＋b) = lga＋lgb，试确定p和q应满足的关系． 参考答案： 解析：由已知得，  又lg(a＋b) = lga＋lgb，即a＋b = ab， 再注意到a＞0，b＞0，可得－p = q＞0， 所以p和q满足的关系式为p＋q = 0且q＞0． 19. 已知数列{an}，Sn是其前n项的和，且满足3an=2Sn+n（n∈N*） （Ⅰ）求证：数列{an+}为等比数列； （Ⅱ）记Tn=S1+S2+…+Sn，求Tn的表达式． 参考答案： 【考点】8E：数列的求和；8D：等比关系的确定． 【分析】（Ⅰ）由3an=2Sn+n，类比可得3an﹣1=2Sn﹣1+n﹣1（n≥2），两式相减，整理即证得数列{an+}是以为首项，3为公比的等比数列； （Ⅱ）由（Ⅰ）得an+=?3n?an=（3n﹣1），Sn=﹣，分组求和，利用等比数列与等差数列的求和公式，即可求得Tn的表达式． 【解答】（Ⅰ）证明：∵3an=2Sn+n， ∴3an﹣1=2Sn﹣1+n﹣1（n≥2）， 两式相减得：3（an﹣an﹣1）=2an+1（n≥2）， ∴an=3an﹣1+1（n≥2）， ∴an+=3（an﹣1