江苏省连云港市中英文学校高一数学理测试题含解析

江苏省连云港市中英文学校高一数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 对于函数y=f(x)，如果存在区间[a，b]，同时满足下列条件：①f(x)在[a，b]内是单调的；②当定义域是[a，b]时，f(x)的值域也是[a，b]，则称[a，b]是该函数的“对称区间”。 已知函数存在“对称区间”，则实数 m的取值范围是 A．（0，1）B.　C．（0，2） D．（1，3） 参考答案： A 2. 已知，是奇函数，直线与函数f(x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（   ） A. f(x)在上单调递减 B. f(x)在上单调递减 C. f(x)在上单调递增 D. f(x)在上单调递增 参考答案： A 【分析】 首先整理函数的解析式为，由函数为奇函数可得，由最小正周期公式可得，结合三角函数的性质考查函数在给定区间的单调性即可. 【详解】由函数的解析式可得：， 函数为奇函数，则当时：.令可得. 因为直线与函数的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为 结合最小正周期公式可得：，解得：. 故函数的解析式为：. 当时，，函数在所给区间内单调递减； 当时，，函数在所给区间内不具有单调性； 据此可知，只有选项A的说法正确. 故选A. 【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用，考查了三角函数的周期性、单调性，三角函数解析式的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3. 若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（  ） A．         B．         C．            D．   参考答案： B 4. 下列函数中，函数图象关于y轴对称，且在（0，+）上单调递增的是     A. B. C. D. 参考答案： B 5. 若集合M={-1 , 0 , 1}，N={x| x(x -1) = 0},则M∪N=（    ） A．{-1 , 1 }   B. {-1，0}    C. {-1 , 0 , 1}    D. {0 , 1} 参考答案： C 略 6. 设则在下列区间中，使函数有零点的区间是（    ） A.         B.           C.         D.   参考答案： D 略 7. 若函数的图像与轴有公共点，则的取值范围是       A．        B．      C．     D． 参考答案： B 8. 已知向量，且∥，则tanα=（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；同角三角函数间的基本关系． 【分析】根据题设条件，由∥，知，由此能求出tanα． 【解答】解：∵向量， 且∥， ∴， ∴tanα==． 故选A． 9. 在  则这个三角形一定是（　　）     A.锐角三角形        B.钝角三角形       C.直角三角形        D.等腰三角形 参考答案： B 10. 函数的定义域是（   ） A．(0,+∞)        B．(0,1)∪(1,+∞)      C．(0,1)       D．(1,+∞) 参考答案： B 由解，得x＞0且x≠1． ∴函数f（x）= +lgx的定义域是（0，1）∪（1，+∞）． 故选：B．   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设，则的值为__________． 参考答案： 12. 一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图 如图所示,则该几何体的体积为        . 参考答案： 略 13. 若x＞0，则函数f（x）=+x的最小值为　　． 参考答案： 2 【考点】基本不等式． 【分析】由x＞0，直接运用基本不等式，计算即可得到最小值． 【解答】解：x＞0，则函数f（x）=+x≥2=2， 当且仅当x=时，f（x）取得最小值2． 故答案为：2． 14. （3分）若函数在区间（a，b）上的值域是（2，+∞），则logab=         ． 参考答案： 3 考点： 函数的值域． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 画函数=的图象，结合图象，使得在区间（a，b）上的值域是（2，+∞），求出a与b的值，在计算logab． 解答： 函数=，图象如下图： 不难验证f（8）==2， ∴函数图象上点A的坐标为（8，2） 要使函数在区间（a，b）上的值域是（2，+∞），则a=2、b=8 ∴logab=log28=3 故答案为：3 点评： 本题主要考查函数的值域，结合图象解决是解决的关键． 15. 若实数x是1，3，5，x，7，9，13这7个数据的中位数，且l，2， ，l-m这4个数据的平均数为l，下面给出关于函数　b的四个命题： 1         函数f(x)的图象关于原点对称； 2         函数f(x)在定义域内是递增函数； 3         函数　f(x)的最小值为124； ④函数f(x)的零点有2个． 其中正确命题的序号是__________（填写所有正确命题的序号） 参考答案： ②③ 16. 与终边相同的角，则         参考答案： 17. 设是等差数列的前n项和，已知与的等比中项为，与的等差中项为1，则等差数列的通项为              . 参考答案： an=1或an=  三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 某工厂生产甲、乙两种产品所得利润分别为P和Q（万元），它们与投入资金m（万元）的关系有经验公式，，今将150万元资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投资金额不低于25万元． （1）设对乙产品投入资金x万元，求总利润y（万元）关于x的函数关系式及其定义域； （2）如何分配使用资金，才能使所得总利润最大？最大利润为多少？ 参考答案： （1）根据题意，对乙种商品投资x（万元），对甲种商品投资（150﹣x）（万元）（25≤x≤125）．所以  …4分 其定义域为[25，125]                                       ………6分 （2）令，因为x∈[25，125]，所以t∈[5，5]， 有                                    ………10分              当时函数单调递增，当时函数单调递减，   ………12分 所以当t=6时，即x=36时，ymax=203                        ………14分 答：当甲商品投入114万元，乙商品投入36万元时，总利润最大为203万 元．                                                      ……15分 19. 如图,在四棱锥P- ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧面 底面ABCD,且. （1）求证:平面平面 （2）求:点B到面PDC的距离 参考答案： (1)见证明；(2) 【分析】 （1）要证面面垂直，先证线线垂直，利用面面垂直的判定定理证明之。 （2）求点到面的距离一般利用等体积法，本题利用可求出。 【详解】（1）证明:因为平面平面, 平面面 为正方形,, 平面,所以平面. 又平面,所以 又,所以是等腰直角三角形,且, 即 ,又, 且面,所以面 又面, 所以面面 （2）取中点，连接，， 平面平面，平面平面 平面，,线段为三棱锥的高  ， 三棱锥的体积 ，即 所以，即点到面的距离是 【点睛】本题考查面面垂直的判定定理，以及利用等体积法求点到面的距离。 20. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA=asinB． （1）求角A的大小； （2）若a=1，求△ABC面积的最大值． 参考答案： 【考点】HP：正弦定理． 【分析】（1）根据正弦定理化简可得sinAsinB=sinBcosA，结合sinB≠0，可求tanA，由范围0＜A＜π，可求A的值． （2）由已知利用余弦定理，基本不等式可求bc≤2，进而利用三角形面积公式即可计算得解． 【解答】解：（1）在△ABC中，∵ asinB=bcosA． 由正弦定理，得： sinAsinB=sinBcosA， ∵0＜B＜π，sinB≠0． ∴sinA=cosA，即tanA=． ∵0＜A＜π， ∴A=． （2）∵由a=1，A=， ∴由余弦定理，1=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc，得：bc≤2，当且仅当b=c等号成立， ∴△ABC的面积S=bcsinA≤（2+）×=，即△ABC面积的最大值为． 21. 如图，在四棱锥P‐ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点． 求证：（1）PB∥平面AEC； （2）平面PCD⊥平面PAD． 参考答案： （1）详证见解析；（2）详证见解析. 【分析】 （ 1）可通过连接交于，通过中位线证明和平行得证平面． （ 2）可通过正方形得证，通过平面得证，然后通过线面垂直得证面面垂直． 【详解】（ 1）证明： 连交于O, 因为四边形是正方形 , 所以 , 连，则是三角形的中位线, , 平面，平面 所以平面 .         （2）因为平面 , 所以 ,              因为是正方形，所以, 所以平面,                    所以平面平面. 【点睛】证明线面平行可通过线线平行得证，证明面面垂直可通过线面垂直得证． 22. （12分）（2015秋?余姚市校级期中）已知函数f（x）=a﹣ （1）若该函数为奇函数，求a； （2）判断f（x）在R上的单调性，并证明你的结论． 参考答案： 【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】（1）直接根据函数为奇函数，利用f（0）=0，即可求解a的值； （2）首先，判断该函数为R上的增函数，然后，利用单调性的定义进行证明． 【解答】解：（1）∵函数为奇函数， ∴f（0）=0， ∴a﹣1=0， ∴a=1， ∴a的值为1． （2）根据（1）得 f（x）=1﹣， ∴该函数为R上的增函数，证明如下： 任设x1，x2∈R，且x1＜x2， f（x1）﹣f（x2）=1﹣1+， =， ∵x1＜x2， ∴， ∴f（x1）﹣f（x2）＜0， ∴该函数为R上的增函数． 【点评】本题重点考查了函数为奇函数的概念、函数单调性的定义等知识，属于中档题．