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江苏省连云港市中英文学校高一数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 对于函数y=f(x),如果存在区间[a,b],同时满足下列条件:①f(x)在[a,b]内是单调的;②当定义域是[a,b]时,f(x)的值域也是[a,b],则称[a,b]是该函数的“对称区间”。
已知函数存在“对称区间”,则实数 m的取值范围是
A.(0,1)B. C.(0,2) D.(1,3)
参考答案:
A
2. 已知,是奇函数,直线与函数f(x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为,则( )
A. f(x)在上单调递减 B. f(x)在上单调递减
C. f(x)在上单调递增 D. f(x)在上单调递增
参考答案:
A
【分析】
首先整理函数的解析式为,由函数为奇函数可得,由最小正周期公式可得,结合三角函数的性质考查函数在给定区间的单调性即可.
【详解】由函数的解析式可得:,
函数为奇函数,则当时:.令可得.
因为直线与函数的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为
结合最小正周期公式可得:,解得:.
故函数的解析式为:.
当时,,函数在所给区间内单调递减;
当时,,函数在所给区间内不具有单调性;
据此可知,只有选项A的说法正确.
故选A.
【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用,考查了三角函数的周期性、单调性,三角函数解析式的求解等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3. 若函数的定义域为,值域为,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
4. 下列函数中,函数图象关于y轴对称,且在(0,+)上单调递增的是
A. B. C. D.
参考答案:
B
5. 若集合M={-1 , 0 , 1},N={x| x(x -1) = 0},则M∪N=( )
A.{-1 , 1 } B. {-1,0} C. {-1 , 0 , 1} D. {0 , 1}
参考答案:
C
略
6. 设则在下列区间中,使函数有零点的区间是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
7. 若函数的图像与轴有公共点,则的取值范围是
A. B. C. D.
参考答案:
B
8. 已知向量,且∥,则tanα=( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示;同角三角函数间的基本关系.
【分析】根据题设条件,由∥,知,由此能求出tanα.
【解答】解:∵向量,
且∥,
∴,
∴tanα==.
故选A.
9. 在 则这个三角形一定是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形
参考答案:
B
10. 函数的定义域是( )
A.(0,+∞) B.(0,1)∪(1,+∞) C.(0,1) D.(1,+∞)
参考答案:
B
由解,得x>0且x≠1.
∴函数f(x)= +lgx的定义域是(0,1)∪(1,+∞).
故选:B.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设,则的值为__________.
参考答案:
12. 一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图
如图所示,则该几何体的体积为 .
参考答案:
略
13. 若x>0,则函数f(x)=+x的最小值为 .
参考答案:
2
【考点】基本不等式.
【分析】由x>0,直接运用基本不等式,计算即可得到最小值.
【解答】解:x>0,则函数f(x)=+x≥2=2,
当且仅当x=时,f(x)取得最小值2.
故答案为:2.
14. (3分)若函数在区间(a,b)上的值域是(2,+∞),则logab= .
参考答案:
3
考点: 函数的值域.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 画函数=的图象,结合图象,使得在区间(a,b)上的值域是(2,+∞),求出a与b的值,在计算logab.
解答: 函数=,图象如下图:
不难验证f(8)==2,
∴函数图象上点A的坐标为(8,2)
要使函数在区间(a,b)上的值域是(2,+∞),则a=2、b=8
∴logab=log28=3
故答案为:3
点评: 本题主要考查函数的值域,结合图象解决是解决的关键.
15. 若实数x是1,3,5,x,7,9,13这7个数据的中位数,且l,2, ,l-m这4个数据的平均数为l,下面给出关于函数 b的四个命题:
1 函数f(x)的图象关于原点对称;
2 函数f(x)在定义域内是递增函数;
3 函数 f(x)的最小值为124;
④函数f(x)的零点有2个.
其中正确命题的序号是__________(填写所有正确命题的序号)
参考答案:
②③
16. 与终边相同的角,则
参考答案:
17. 设是等差数列的前n项和,已知与的等比中项为,与的等差中项为1,则等差数列的通项为 .
参考答案:
an=1或an=
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 某工厂生产甲、乙两种产品所得利润分别为P和Q(万元),它们与投入资金m(万元)的关系有经验公式,,今将150万元资金投入生产甲、乙两种产品,并要求对甲、乙两种产品的投资金额不低于25万元.
(1)设对乙产品投入资金x万元,求总利润y(万元)关于x的函数关系式及其定义域;
(2)如何分配使用资金,才能使所得总利润最大?最大利润为多少?
参考答案:
(1)根据题意,对乙种商品投资x(万元),对甲种商品投资(150﹣x)(万元)(25≤x≤125).所以 …4分
其定义域为[25,125] ………6分
(2)令,因为x∈[25,125],所以t∈[5,5],
有 ………10分
当时函数单调递增,当时函数单调递减, ………12分
所以当t=6时,即x=36时,ymax=203 ………14分
答:当甲商品投入114万元,乙商品投入36万元时,总利润最大为203万
元. ……15分
19. 如图,在四棱锥P- ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧面 底面ABCD,且.
(1)求证:平面平面
(2)求:点B到面PDC的距离
参考答案:
(1)见证明;(2)
【分析】
(1)要证面面垂直,先证线线垂直,利用面面垂直的判定定理证明之。
(2)求点到面的距离一般利用等体积法,本题利用可求出。
【详解】(1)证明:因为平面平面, 平面面
为正方形,, 平面,所以平面.
又平面,所以
又,所以是等腰直角三角形,且,
即 ,又,
且面,所以面
又面, 所以面面
(2)取中点,连接,,
平面平面,平面平面
平面,,线段为三棱锥的高
,
三棱锥的体积 ,即
所以,即点到面的距离是
【点睛】本题考查面面垂直的判定定理,以及利用等体积法求点到面的距离。
20. 设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosA=asinB.
(1)求角A的大小;
(2)若a=1,求△ABC面积的最大值.
参考答案:
【考点】HP:正弦定理.
【分析】(1)根据正弦定理化简可得sinAsinB=sinBcosA,结合sinB≠0,可求tanA,由范围0<A<π,可求A的值.
(2)由已知利用余弦定理,基本不等式可求bc≤2,进而利用三角形面积公式即可计算得解.
【解答】解:(1)在△ABC中,∵ asinB=bcosA.
由正弦定理,得: sinAsinB=sinBcosA,
∵0<B<π,sinB≠0.
∴sinA=cosA,即tanA=.
∵0<A<π,
∴A=.
(2)∵由a=1,A=,
∴由余弦定理,1=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc,得:bc≤2,当且仅当b=c等号成立,
∴△ABC的面积S=bcsinA≤(2+)×=,即△ABC面积的最大值为.
21. 如图,在四棱锥P‐ABCD中,四边形ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.
求证:(1)PB∥平面AEC;
(2)平面PCD⊥平面PAD.
参考答案:
(1)详证见解析;(2)详证见解析.
【分析】
( 1)可通过连接交于,通过中位线证明和平行得证平面.
( 2)可通过正方形得证,通过平面得证,然后通过线面垂直得证面面垂直.
【详解】( 1)证明: 连交于O,
因为四边形是正方形 ,
所以 ,
连,则是三角形的中位线, ,
平面,平面
所以平面 .
(2)因为平面 ,
所以 ,
因为是正方形,所以,
所以平面,
所以平面平面.
【点睛】证明线面平行可通过线线平行得证,证明面面垂直可通过线面垂直得证.
22. (12分)(2015秋?余姚市校级期中)已知函数f(x)=a﹣
(1)若该函数为奇函数,求a;
(2)判断f(x)在R上的单调性,并证明你的结论.
参考答案:
【考点】函数奇偶性的性质;函数单调性的判断与证明.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】(1)直接根据函数为奇函数,利用f(0)=0,即可求解a的值;
(2)首先,判断该函数为R上的增函数,然后,利用单调性的定义进行证明.
【解答】解:(1)∵函数为奇函数,
∴f(0)=0,
∴a﹣1=0,
∴a=1,
∴a的值为1.
(2)根据(1)得
f(x)=1﹣,
∴该函数为R上的增函数,证明如下:
任设x1,x2∈R,且x1<x2,
f(x1)﹣f(x2)=1﹣1+,
=,
∵x1<x2,
∴,
∴f(x1)﹣f(x2)<0,
∴该函数为R上的增函数.
【点评】本题重点考查了函数为奇函数的概念、函数单调性的定义等知识,属于中档题.
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