河北省保定市永宁中学2022-2023学年高三数学文联考试题含解析

河北省保定市永宁中学2022-2023学年高三数学文联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知集合，，则 （    ） A.         B.      C.      D. 参考答案： C 略 2. 如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点， ＝x＋y，且＝2，则    (　　)                              A．x＝，y＝                 B．x＝，y＝ C．x＝，y＝                D．x＝，y＝ 参考答案： A 3. 双曲线:的左顶点为，右焦点为，过点作一条直线与双曲线的右支交于点，连接分别与直线：交于点，则（    ） A．         B．        C．         D． 参考答案： C 4. 已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，抛物线与双曲线C有相同的焦点．设P为抛物线与双曲线C的一个交点，且,则双曲线C的离心率为（  ） A. 或 B. 或3 C. 2或 D. 2或3 参考答案： D 【分析】 不妨设在第一象限，过作直线的垂线，垂足为，利用可设，，且有，，从而利用焦半径公式得到，从中解出可得双曲线的离心率. 【详解】不妨设在第一象限且，则，， 过作直线（抛物线的准线）的垂线，垂足为， 则，故， 因为直角三角形，故可设， 且， 所以，解得或， 若，则， ； 若，则，； 综上，选D. 【点睛】离心率的计算关键在于构建的一个等量关系，构建时可依据圆锥曲线的几何性质来转化，有两个转化的角度：（1）利用圆锥曲线的定义转化为与另一个焦点；（2）利用圆锥曲线的统一定义把问题转化为与曲线上的点到相应准线的距离.   5. 指数函数y=ax，当x＞1（或x＜﹣1）时，恒有y＞2，则a的取值范围是(     ) A．（，1）∪（1，2） B．（0，）∪（1，2） C．（1，2） D．（0，）∪（2，+∞） 参考答案： D 【考点】函数的值域． 【专题】分类讨论；综合法；函数的性质及应用． 【分析】根据条件，可讨论a，用上指数函数的单调性：a＞1时，便有ax＞a，或ax＜a﹣1，从而可以得到a＞2，同样的方法，当0＜a＜1时，再求出一个a的范围，最后对求得的a的范围求并集便可得出a的取值范围． 【解答】解：∵x＞1或x＜﹣1时，恒有y＞2； ∴①当a＞1时，ax＞a或ax＜a﹣1，则a＞2； ②当0＜a＜1时，ax＜a或ax＞a﹣1，则a﹣1＞2，0＜a＜； ∴a的取值范围为． 故选D． 【点评】考查指数函数的单调性，以及单调性的定义，要理解题意． 6. 给定空间中的直线l及平面，条件“直线l与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直的                                                                     [答] (     )． A．充分非必要条件   B．必要非充分条件　C．充要条件　　D．非充分非必要条件 参考答案： B 7. 已知p、q是简单命题，则“p∧q是真命题”是“?p是假命题”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 【考点】命题的否定；复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】由p∧q为真命题，知p和q或者同时都是真命题，由?p是假命题，知p是真命题．由此可知“p∧q是真命题”是“?p是假命题”的充分不必要条件． 【解答】解：∵p∧q为真命题， ∴p和q或者同时都是真命题， 由?p是假命题，知p是真命题． ∴“p∧q是真命题”推出“?p是假命题”， 反之不能推出． 则“p∧q是真命题”是“?p是假命题”的充分而不必要条件． 故选A． 8. （2013?黄埔区一模）若z=cosθ+isinθ（θ∈R，i是虚数单位），则|z﹣2﹣2i|的最小值是（　　） 　 A． B． C． D． 参考答案： D 略 9. 设 ,，，…，,n∈N，则（　） A、sinx　    B、－sinx　      C、cosx　      D、－cosx 参考答案： A 10. 某几何体的三视图如右所示，若该几何体的外接球的表面积为，则正视图中(    ) A.            B.             C.            D. 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知实数x，y满足的最小值为___________． 参考答案： 5 解析： 由题意可得可行域为如图所示（含边界），，即， 则在点处取得最小值. 联立解得：. 代入得最小值5.   12. （5分）如图是一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图，如果主视图、左视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为　　． 参考答案： ∵主视图、左视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形， 俯视图对应的四边形为正方形， ∴几何体为底面边长为2，高为的正四棱锥 则V== 故答案为： 13. 圆心为椭圆的右焦点，且与直线相切的圆方程是____． 参考答案： 14. 已知关于x的方程x2-2tx+t2-1=0在区间(-2,4)上有两个实根，则实数t的取值范围为________________. 参考答案： 略 15. 函数的递增区间是______. 参考答案： 令，则函数在定义域上单调递减，由得，或，当时，单调递减，根据复合函数的单调性可知，此时函数单调递增，所以函数的递增区间为。 16. 已知函数f（x）=3x2+2x+1，若f（x）dx=2f（a）（a＞0）．则a=        ． 参考答案： 【考点】定积分． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】根据定积分的计算法则，计算即可，再代入值构造方程，解得a的值 【解答】解：f（x）dx=（3x2+2x+1）dx=（x3+x2+x）|=4， ∴2f（a）=2（3a2+2a+1）=4 解得a=，a=﹣1（舍去）， 故答案为： 【点评】本题主要考查了定积分的计算和方程的解法，属于基础题 17. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的俯视图的面积为　   　，该三棱锥的体积为　    　． 参考答案： ，． 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】该三棱锥的俯视图为腰长为1等腰直角三角形，即可得出面积与体积． 【解答】解：该三棱锥的俯视图为腰长为1等腰直角三角形，其面积==， 该三棱锥的体积V==． 故答案为：，． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18.         在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB//CD，AB⊥BC，AB=2BC=2CD，E是PA的中点。    （I）求证：DE//平面PBC；    （II）求证：AD⊥PB。 参考答案： 略 19. （本小题共13分） 我市某苹果手机专卖店针对苹果6S手机推出无抵押分期付款购买方式，该店对最近购买苹果6S手机的100人进行统计（注：每人仅购买一部手机），统计结果如下表所示： 付款方式 分1期 分2期 分3期 分4期 分5期 频数 35 25 10 已知分3期付款的频率为,请以此人作为样本估计消费人群总体，并解决以下问题： （Ⅰ）求，的值； （Ⅱ）求“购买手机的3名顾客中（每人仅购买一部手机），恰好有1名顾客分4期付款”的概率； （Ⅲ）若专卖店销售一部苹果6S手机，顾客分1期付款(即全款)，其利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为1500元；分4期或5期付款，其利润为2000元．用表示销售一部苹果6S手机的利润，求的分布列及数学期望． 参考答案： 【知识点】概率综合 【试题解析】（Ⅰ）由题意得， 所以， 又，所以． （Ⅱ）设事件为“购买一部手机的3名顾客中，恰好有1名顾客分4期付款”， 由题意得：随机抽取一位购买者，分期付款的概率为， 所以． （Ⅲ）记分期付款的期数为，依题意得，，，，， 因为可能取得值为元，元，元， 并且易知， ， ， 所以的分布列为 所以的数学期望 20. （本小题满分13分）某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米(精确到0.1米)以上的为合格.把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30 ，第6小组的频数是7 。 (I) 求这次铅球测试成绩合格的人数； (II) 用此次测试结果估计全市毕业生的情况.若从今年的高中毕业生中随机抽取两名，记表示两人中成绩不合格的人数，求的分布列及数学期望； (III) 经过多次测试后，甲成绩在8～10米之间，乙成绩在9.5～10.5米之间，现甲、乙各投掷一次，求甲比乙投掷远的概率. 参考答案： (I)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，　　　    　 ∴此次测试总人数为(人).                          …………（2分） ∴第4、5、6组成绩均合格，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36(人)………（4分） (II)=0,1,2,此次测试中成绩不合格的概率为,∴～.…………（5分） ，， .　　　　　　　　                      …………（7分） 所求分布列为 X 0 1 2 P                              …………（9分） (III)设甲、乙各投掷一次的成绩分别为、米，则基本事件满足的区域为 ，                    …………（10分） 事件“甲比乙投掷远的概率”满足的区域为，如图所示. ∴由几何概型.     …………（13分） 21. 设数列的前项和为，且， （1）求数列的通项公式； （2）设求证： 参考答案： 解：（1）当时，． 当时，，此式对也成立． ． （2）证明：设，则． 所以是首项为0，公差为的等差数列．　 略 22. （本题满分12分）一个袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取3个球，记随机变量为取出3球中白球的个数，已知． （Ⅰ）求袋中白球的个数； （Ⅱ）求随机变量的分布列及其数学期望． 参考答案： （Ⅰ）设袋中有白球个，则， …4分 即，解得． …7分 （Ⅱ）随机变量的分布列如下： …11分 0 1 2 3       ． …14分