江西省吉安市八都中学2022年高三数学理联考试卷含解析

江西省吉安市八都中学2022年高三数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 三棱椎A—BCD的三视图为如图所示的三个直角三角形，则三棱锥A—BCD的表面积为          A．2+2                    B．4+4                    C．               D．2+2 参考答案： A 2. 已知实数满足不等式组  则目标函数的最小值与最大值的积为 A．       B．       C．       D． 参考答案： A 3. 200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速超过60km/h的汽车数量为 （A）65辆 （B）76辆（C）88 辆 （D）辆95 参考答案： B 4. 棱长为a的正方体的外接球的体积为                                        （    ）     A．         B．         C．        D． 参考答案： 答案:D 5. 若，则实数m得取值范围是 A．        B.        C.          D. 参考答案： C 6. 榫卯（）是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式. 我国的北京紫禁城，山西悬空寺，福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构. 图中网格小正方形的边长为1，粗实线画出的是一种榫卯构件中榫的三视图，则其体积与表面积分别为 A．         B． C.          D． 参考答案： C 依题意，该几何体由一个长方体和一个圆柱体拼接而成，故其体积；表面积. 7. 已知，则a，b，c的大小关系是 A． B． C． D． 参考答案： D 8. 若x>1,则函数的最小值为（             ） A．16      B．8     C．4    D．非上述情况 参考答案： B 略 9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的体积为（   ） A． B． C． D．2 参考答案： B 10. 如图，已知等于 A． B． C． D． 参考答案： C ,选C. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若x，y满足约束条件则的最小值为          ． 参考答案： －2 由x，y满足约束条件,作出可行域如图: 联立，解得B（0，1）． 化目标函数z=x﹣2y为y=x﹣z， 由图可知，当直线y=x﹣z过B（0，1）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为：0﹣2×1=﹣2． 故答案为：﹣2．   12. 设函数f（x）=，若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是__________． 参考答案： 考点：导数的运算． 专题：导数的概念及应用． 分析：画出函数f（x）的图象，由 f（f（a））≤2，可得 f（a）≥﹣2，数形结合求得实数a的取值范围． 解答：解：∵函数f（x）=，它的图象如图所示： 由f（f（a））≤2，可得 f（a）≥﹣2． 由f（x）=﹣2，可得﹣x2=﹣2，x≥0，解得x=， 故当f（f（a））≤2时，则实数a的取值范围是a≤； 故答案为： 点评：本题主要考查分段函数的应用，不等式的解法，关键得到f（a）≥﹣2．结合图形得到a的范围，体现了数形结合的数学思想，属于中档题． 13. 若点P（m+1,n-1）在不等式表示的可行域内，则的取值 范围是             参考答案： 14. 已知函数，当时，有最大值13，则=          ． 参考答案：            15.            16.①②④ 15. 展开式中的系数是　　　　　　　　　.（用数字作答） 参考答案： 10 展开式的通项为，由，得，所以，即的系数是10. 16. 设全集U=R，集合A={x|x≥2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则（?UA）∩B=　　． 参考答案： {﹣1，0，1} 【考点】交、并、补集的混合运算． 【专题】计算题． 【分析】由全集U=R，以及A，找出不属于A的部分，求出A的补集，找出A补集与B的公共部分，即可确定出所求的集合． 【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|x≥2}， ∴CuA={x|x＜2}， 又B={﹣1，0，1，2，3}， 则（CuA）∩B={﹣1，0，1}． 故答案为：{﹣1，0，1} 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键． 17. 已知数列{an}为等差数列，其前9项和为S9=54，则a5=　    　． 参考答案： 6 【考点】等差数列的前n项和． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】由等差数列的求和公式以及等差数列的性质可得S9=9a5=54，解方程可得． 【解答】解：由题意和等差数列的求和公式以及等差数列的性质可得 前9项和S9===9a5=54， ∴a5=6． 故答案为：6． 【点评】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质，属基础题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 某地十万余考生的成绩近似地服从正态分布，从中随机地抽取了一批考生的成绩，将其分成6组：第一组[40,50)，第二组[50,60) ,…，第六组[90,100]，作出频率分布直方图，如图所示： （1）用每组区间的中点值代表该组的数据，估算这批考生的平均成绩和标准差（精确到个位）； （2）以这批考生成绩的平均值和标准差作为正态分布的均值和标准差，设成绩超过93分的为“优”，现在从总体中随机抽取50名考生，记其中“优”的人数为，是估算的数学期望． 参考答案： （1）根据题意，计算平均数为 ； （2）依题意 ， ； ， 19. （本题满分12分） 已知定义在R上的奇函数f（x）＝在x＝1处取得极值2. （1)求函数f（x）的单调区间； （2）设A(x0，y0）为f（x）图象上任意一点，直线l与f（x）的图象相切于点A，求直线l的斜率k的取值范围． 参考答案： 20. （本题满分18分）设为正整数，规定：， 已知． （1）解不等式：≤； （2）设集合{0，1，2}，对任意，证明：； （3）探求； （4）若集合{，[0，2]}，证明：中至少包含有8个元素． 参考答案： （1）①当0≤≤1时，由≤得，≥．∴≤≤1． ②当1＜≤2时，因≤恒成立．∴1＜≤2． 由①，②得，≤的解集为{|≤≤2}． （2）∵，，， ∴当时，；   当时，；   当时，． 即对任意，恒有． （3），，，   ，…… 一般地，（N）． . （4）由（1）知，，∴．则．∴． 由（2）知，对，或1，或2，恒有，∴．则0，1，2． 由（3）知，对，，， ，恒有，∴，，，． 综上所述，，0，1，2，，，，．∴中至少含有8个元素． 21. 已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率为双曲线y2﹣=1离心率的一半，直线y=x被椭圆E截得的线段长为．直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆E交于A，B两个相异点，且=λ． （1）求椭圆E的方程； （2）是否存在实数m，使+λ=4？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由． 参考答案： 【考点】KL：直线与椭圆的位置关系． 【分析】（1）由双曲线的离心率求得椭圆的离心率，求得a=2b，将y=x代入椭圆方程，由2××=，即可求得a的值，求得椭圆方程； （2）当m=0时，O，P重合，λ=1显然成立，当m≠0时求得λ=3，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，求得k2=，m2≠1，由△＞0，即可求得m的取值范围． 【解答】解：（1）设椭圆的方程为（a＞b＞0），双曲线双曲线y2﹣=1离心率e=， 由椭圆的离心率e===，则a=2b， 将y=x代入椭圆，解得：x=±， ∴2××=，解得：a=2， ∴椭圆E的方程为； （2）假设存在实数m，使+λ=4成立， 由题意可得P（0，m）， 当m=0时，O，P重合，λ=1显然成立， 当m≠0时，由=λ，可得﹣=λ（﹣），则+λ=（1+λ）， ∴λ=3， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由=3，可得x1=﹣3x2① ，整理得：（k2+4）x2+2kmx+m2﹣4=0， ∴x1+x2=﹣，x1x2=，② 由①②可得：m2k2+m2﹣k2﹣4=0，则k2=，m2≠1， 由△=（2km）2﹣4（k2+4）（m2﹣4）＞0，则k2+4﹣m2＞0， ∴k2+4﹣m2=+4﹣m2=＞0，则1＜m2＜4， 解得：﹣2＜m＜﹣1或1＜m＜2， 综上可得：m的取值范围是（﹣2，﹣1）∪（1，2）∪{0}． 【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆位置关系，考查韦达定理，向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题． 22. 如图直三棱柱的侧棱长为，，且，点分别是棱上的动点，且． (1)求证：无论在何处，总有 ； (2)当三棱锥的体积取得最大值时，异面直 线与所成角的余弦值. 参考答案： （Ⅰ）∵BB′C′C是正方形，∴B′C⊥BC′。　　 又∵AB⊥BC，BB′⊥AB，∴AB⊥平面BB′C′C。 ∴B′C⊥AB，∴B′C⊥平面ABC′， 又∵C′E平面ABC′，∴B′C⊥C′E。　 （Ⅱ）设三棱锥B′—EBF的体积为。当时取等号。 故当即点E，F分别是棱AB，BC上的中点时，体积最大，则|cos∠A′FE|为所求；。 略