2022-2023学年河南省焦作市温县第四高级中学高三数学文期末试题含解析

2022-2023学年河南省焦作市温县第四高级中学高三数学文期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知直线ax+by+c=0与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，且，则的值是（　　） A． B． C． D．0 参考答案： A 【考点】向量在几何中的应用；直线和圆的方程的应用． 【专题】计算题． 【分析】直线与圆有两个交点，知道弦长、半径，不难确定∠AOB的大小，即可求得?的值． 【解答】解：取AB的中点C，连接OC，，则AC=，OA=1 ∴sin =sin∠AOC== 所以：∠AOB=120° 则?=1×1×cos120°=． 故选A． 【点评】本题主要考查了直线和圆的方程的应用，以及向量的数量积公式的应用，同时考查了计算能力，属于基础题． 2. 复数z满足z（1+i）=|1﹣i|，则复数z的虚部是（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣ D． 参考答案： C 【考点】复数代数形式的混合运算． 【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出． 【解答】解：∵z（1+i）=|1﹣i|，∴z（1+i）（1﹣i）=（1﹣i），∴z=﹣i， 则复数z的虚部是﹣， 故选：C． 3. 从（其中）所表示的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为（    ）        A．                         B．                          C．                         D． 参考答案： B 一一列举可知方程表示的圆锥曲线方程有7个，其中焦点在x轴上的双曲线方程有4个，所以所求概率为． 4. 已知为第二象限角，且，则的值是（    ） A．        B．        C．        D． 参考答案： D 5. 设满足，则 A.有最小值2，最大值3        B.有最小值2，无最大值    C. 有最大值3，无最小值      D.既无最大值，也无最小值 参考答案： B 6. 在双曲线：中，，分别为的左、右焦点，为双曲线上一点且满足，则（   ） A．108 B．112 C．116 D．120 参考答案： C 7. 已知数列{an}满足an+1﹣an=2，a1=﹣5，则|a1|+|a2|+…+|a6|=（　　） A．9 B．15 C．18 D．30 参考答案： C 【考点】数列的求和． 【分析】利用等差数列的通项公式可得an．及其数列{an}的前n项和Sn．令an≥0，解得n，分类讨论即可得出． 【解答】解：∵an+1﹣an=2，a1=﹣5，∴数列{an}是公差为2的等差数列． ∴an=﹣5+2（n﹣1）=2n﹣7． 数列{an}的前n项和Sn==n2﹣6n． 令an=2n﹣7≥0，解得． ∴n≤3时，|an|=﹣an． n≥4时，|an|=an． 则|a1|+|a2|+…+|a6|=﹣a1﹣a2﹣a3+a4+a5+a6=S6﹣2S3=62﹣6×6﹣2（32﹣6×3）=18． 故选：C． 【点评】本题考查了分类讨论方法、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 8. 已知是非零向量且满足则的形状是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形   D．等边三角形 参考答案： D 9. 已知，，则（     ） A．1     B．    C．    D． 参考答案： C 试题分析：因为，所以，故选C. 考点：向量的坐标运算. 10. 不等式≥2的解集为(     ) A．[﹣1，0） B．[﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1] D．（﹣∞，﹣1]∪（0，+∞） 参考答案： A 【考点】其他不等式的解法． 【分析】本题为基本的分式不等式，利用穿根法解决即可，也可用特值法． 【解答】解：????﹣1≤x＜0 故选A 【点评】本题考查简单的分式不等式求解，属基本题．在解题中，要注意等号． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为 * *  *  * . 参考答案： 12. 计算__________． 参考答案： 31 原式 ． 13. 在中，，，是的外心，若，则 . 参考答案： 14. 已知，求 （1）的值； （2）的值。 参考答案： 解：（1）法一：由已知sinα=2cosα，∴原式=； 法二：∵，∴cosα≠0，∴原式==。 （2）== = 略 15. 如果复数的实部和虚部相等，则实数等于      。 参考答案： 答案:     16. 不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为____________ 参考答案： 17. 设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数T使得对任意的，有x+TD，且f（x+T）≥f（x），则称函数f（x）为M上的T高调函数．   （1）现给出下列命题：①函数f（x）=为（0，+）上的T高调函数；②函数f（x）=sinx为R上的2高调函数；③如果定义域为 [-l，）的函数f（x）=x2为[-1，）上的m高调函数，那么实数m的取值范围是[2，+∞）．其中正确命题的序号是           ；   （2）如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0 时，f（x）=，且f（x）为R上的4高调函数，那么实数a的取值范围是            。 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB=BC=1，BB1=2，∠BCC1=． （1）求证：C1B⊥平面ABC； （2）设=λ（0≤λ≤1），且平面AB1E与BB1E所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值． 参考答案： 考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定． 专题：空间角． 分析：（1）由已知条件推导出AB⊥BC1，BC⊥BC1，由此能证明C1B⊥平面ABC． （2）以B为原点，BC，BA，BC1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．利用向量法能求出λ的值． 解答： （1）证明：AB⊥侧面BB1C1C，BC1?侧面BB1C1C，∴AB⊥BC1， 在△BCC1中，BC=1，CC1=BB1=2，∠BCC1=， 由余弦定理得：B=BC2+C﹣2BC?CC1?cos∠BCC1 =12+22﹣2×1×2×cos=3， ∴BC1=，…3 分 ∴BC2+B=C，∴BC⊥BC1， ∵BC∩AB=B，∴C1B⊥平面ABC．… （2）解：由（1）知，BC，BA，BC1两两垂直， 以B为原点，BC，BA，BC1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系． 则，．… ∴，∴，∴， 则． 设平面AB1E的法向量为， 则，∴， 令，则，∴．… ∵AB⊥侧面BB1C1C，∴=（0，1，0）是平面BEB1的一个法向量， ∴|cos＜＞|=||=， 两边平方并化简得2λ2﹣5λ+3=0， ∴λ=1或（舍去）．… ∴λ的值是1． 点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查满足条件的实数值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 19. （本小题满分12分） 在如图所示的几何体中，底面为菱形，，,且，平面，底面. （Ⅰ）求二面角的大小； （Ⅱ）在上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由. 参考答案： .解：（I）设与交于，如图所示建立空间直角坐标系，设，则，设则， ……2分    解得，……4分 ，设平面的法向量为， 则，令，  ……6分 又平面的法向量为 所以所求二面角的大小为…………………………………8分 （Ⅱ）设得 ……10分 ，，解得， 存在点使面此时…………12分 略 20. 在中，角的对边分别为，已知，，且.  1.求角的大小；  2.若，面积为，试判断的形状，并说明理由. 参考答案： 由  得    ，故,                ……2分 由正弦定理得                        ……4分                                          ……5分                           ……7分 2】. 由， 余弦定理得 整理得，     ． （其他解法,可根据【解1】的评分标准给分） （2）即    　……10分 又,                        ……12分 故   所以，为等边三角形．       ……14分 21. 已知数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为，． （Ⅰ）计算f（1），f（2），f（3）的值； （Ⅱ）比较f（n）与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论． 参考答案： 【考点】数列递推式；用数学归纳法证明不等式． 【分析】（1）此问根据通项公式计算出前n项的和．当n=1时，f（1）=s2；当n=2时，f（2）=s4﹣s1=a2+a3；当n=3时，f（3）=s6﹣s2．（2）当n=1时，≥1．当n≥2时，f（n）中没有a1，因此都小于1． 【解答】解：（Ⅰ）由已知，，； （Ⅱ）由（Ⅰ）知f（1）＞1，f（2）＞1；当n≥3时，猜想：f（n）＜1． 下面用数学归纳法证明： （1）由（Ⅰ）当n=3时，f（n）＜1； （2）假设n=k（k≥3）时，f（n）＜1，即，那么===， 所以当n=k+1时，f（n）＜1也成立．由（1）和（2）知，当n≥3时，f（n）＜1． 所以当n=1，和n=2时，f（n）＞1；当n≥3时，f（n）＜1． 22. “城中观海”是近年来国内很多大中型城市内涝所致的现象，究其原因，除天气因素、城市规划等原因外，城市垃圾杂物也是造成内涝的一个重要原因。暴雨会冲刷城市的垃圾杂物一起进入下水道，据统计，在不考虑其它因素的条件下，某段下水道的排水量V(单位：立方米／小时)是杂物垃圾密度x（单位：千克／立方米）的函数。当下水道的垃圾杂物密度达到2千克／立方米时，会造成堵塞，此时排水量为0；当垃圾杂物密度不超过0.2千克／立方米时，排水量是90立方米／小时；研究表明，时，排水量V是垃圾杂物密度x的一次函数。 （Ⅰ）当时，求函数V(x)的表达式； （Ⅱ）当垃圾杂物密度x为多大时，垃圾杂物量（单位时间内通过某段下水道的垃圾杂物量，单位：千克／小时）可以达到最大，求出这个最大值。 参考答案： 略