河北省邯郸市槐桥中学高三数学文测试题含解析

河北省邯郸市槐桥中学高三数学文测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 抛物线：的焦点坐标是（   ） A.        B.         C.        D. 参考答案： B 2. 等差数列前项和为，若，，则（  ）    A．15                     B．30                   C．31                          D．64 参考答案： A 略 3. （文）执行如图3所示的程序框图，如果输入a＝4，那么输出的n的值为(　　) A.2  B.3 C.4  D.5 参考答案： B 4. 已知集合，，，则= A．     B．    C．        D． 参考答案： D 略 5. 已知平面向量，，若与共线，则 A．             B．            C．         D． 参考答案： D 6. 在复平面内，复数对应的点位于 (A)第一象限　 （B） 第二象限　  （C） 第三象限　   （D） 第四象限 参考答案： A 7. 函数的定义域为 A．    B．    C．     D． 参考答案： A 8. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的为（　　） A．y=lnx3 B．y=﹣x2 C．y=﹣ D．y=x|x| 参考答案： D 【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断． 【分析】根据奇函数、偶函数的定义，反比例函数的单调性，以及二次函数、分段函数的单调性便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项． 【解答】解：A．y=lnx3的定义域为（0，+∞），不关于原点对称，不是奇函数； ∴该选项错误； B．y=﹣x2是偶函数，不是奇函数，∴该选项错误； C.在定义域内没有单调性，∴该选项错误； D．y=x|x|的定义域为R，且（﹣x）|﹣x|=﹣x|x|； ∴该函数在定义域内为奇函数； ； ∴该函数在定义域内是增函数； ∴该选项正确． 故选D． 9. 设复数z=1+i，则z2－2z=        (         ) A、－3                   B、3 C、－3i               D、3i 参考答案： 答案：A 10. 已知全集U=R，集合，则集合等于                （   ） A.                 B. C.                 D. 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在中，若,，则        .  参考答案： 3 因为，，所以，即，因为，所以，所以。 12. 设为定义在区间上的函数.若对上任意两点和实数，总有，则称为上的严格下凸函数。若为上的严格下凸函数，其充要条件为：对任意有成立（是函数导函数的导函数），则以下结论正确的有 ________________________. ①，是严格下凸函数. ②设且，则有 ③若是区间上的严格下凸函数，对任意，则都有 ④是严格下凸函数 参考答案： ①④ 略 13. 某空间几何体的三视图如下，则它的表面积______________. 参考答案： 略 14. 已知，，且 ，则         .  参考答案： 由，，，则， 所以.   15. 设M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，，则=　     　． 参考答案： 2 【考点】向量在几何中的应用． 【分析】根据向量加法的平行四边形形法则和减法的三角形法则，可得以AB、AC为邻边的平行四边形ABDC为矩形，可得AM是Rt△ABC斜边BC上的中线，可得=，结合题中数据即可算出的值． 【解答】解：∵ ∴以AB、AC为邻边作平行四边形，可得对角线AD与BC长度相等 因此，四边形ABDC为矩形 ∵M是线段BC的中点， ∴AM是Rt△ABC斜边BC上的中线，可得= ∵，得2=16，即=4 ∴==2 故答案为：2 16. 由5个元素的构成的集合M={4，3，﹣1，0，1}，记M的所有非空子集为M1，M2，…，Mn，每一个Mi（i=1，2，…，31）中所有元素的积为mi（若集合中只有一个元素时，规定其积等于该元素本身），则m1+m2+…+m33=　　． 参考答案： ﹣1 考点： 集合中元素个数的最值． 专题： 计算题；集合；二项式定理． 分析： 方法一：若非空子集中含有元素0，则其所有元素的积为0；从而转化为集合{4，3，﹣1，1}的所有非空子集中所有元素的积的和，再一一列举求和即可； 方法二：由二项式的推导思想可知，m1+m2+…+m31=（1+4）（1+3）（1﹣0）（1﹣1）（1+1）﹣1=﹣1． 解答： 解：方法一：若非空子集中含有元素0， 则其所有元素的积为0， 所以可转化为集合{4，3，﹣1，1}的所有非空子集中所有元素的积的和， ①当子集中有1个元素时， 4+3+1﹣1=7， ②当子集中有2个元素时， 4×3+4×（﹣1）+4×1+3×（﹣1）+3×1+（﹣1）×1=11， ③当子集中有3个元素时， +++=﹣7， ④当子集中有4个元素时， 4×（﹣1）×3×1=﹣12； 故m1+m2+…+m31=7+11﹣7﹣12=﹣1； 方法二：由题可得， m1+m2+…+m31=（1+4）（1+3）（1﹣0）（1﹣1）（1+1）﹣1 =﹣1． 故答案为：﹣1． 点评： 本题考查了集合的子集的求法及二项式的应用，属于基础题． 17. 将一块边长为6cm的正方形纸片，先按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形，然后将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个正四棱锥模型（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心的四棱锥），将该四棱锥如图2放置，若其正视图为正三角形，则其体积为　　cm3． 参考答案： 【考点】简单空间图形的三视图． 【分析】根据图形正四棱锥的正视图是正三角形，正视图的底面边长为a，高为a，正四棱锥的斜高为a，运用图1得出×6=a+，a=2，计算出a，代入公式即可． 【解答】解： ∵正四棱锥的正视图是正三角形，正视图的底面边长为a，高为a， ∴正四棱锥的斜高为a， ∵图1得出：∵将一张边长为6cm的纸片按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形 ∴×6=a+，a=2 ∴正四棱锥的体积是a2×a=cm3， 故答案为． 　 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，已知椭圆C：的右顶点为A，离心率为e，且椭圆C过点，以AE为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知动直线l（直线l不过原点且斜率存在）与椭圆C交于P，Q两个不同的点，且△OPQ的面积S=1，若N为线段PQ的中点，问：在x轴上是否存在两个定点E1，E2，使得直线NE1与NE2的斜率之积为定值？若存在，求出E1，E2的坐标；若不存在，说明理由． 参考答案： 【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；K3：椭圆的标准方程． 【分析】（1）由题意可知c=2e，根据椭圆的离心率公式，即可求得a，将E代入椭圆方程，即可求得椭圆方程； （2）将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式，由S=1，求得1+4k2=2m2，设两点坐标，利用斜率公式，即可求得两点坐标． 【解答】解：（1）连接EF，则EF⊥FA，则xF=c=2e，则c=，解得：a=2， 故点E（c，），代入椭圆方程：，解得：c=， b2=a2﹣c2=1， 故椭圆的方程：； （2）设直线l的方程为：y=kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2）， 则，整理得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2=4=0， x1+x2=﹣，x1x2=， 则丨PQ丨==， 原点到直线l的距离d=， ∴△OPQ的面积S△OPQ=丨PQ丨×d=×=1， 即2丨m丨=1+4k2，则1+4k2=2m2， 设N（x，y），则x==﹣=﹣，y===， 由①，②消去m，， 假设x轴上，存在两定点E1（s，0），E2（t，0），（s≠t） 那么直线NE1的斜率k1=，直线NE2的斜率k2=， 则k1k2==﹣， 当且仅当s+t=0，st=﹣2，k1k2=﹣，解得：s=，t=﹣， 即存在定点E1（，0），E2（﹣，0），满足题意． 19. 某单位共有10名员工，他们某年的收入如下表： 员工编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年薪（万元） 3 3.5 4 5 5.5 6.5 7 7.5 8 50 （1）从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于5万的人数记为，求的分布列和期望； （2）已知员工年薪收入与工作所限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪如下表： 工作年限 1 2 3 4 年薪（万元） 3.0 4.2 5.6 7.2 预测该员工第五年的年薪为多少？ 附：线性回归方程中系数计算公式和参考数据分别为： ，，其中为样本均值，，，（） 参考答案： （1）的分布列见解析，期望为；（2）预测该员工年后的年薪收入为8.5万元. 试题分析：（1）10人中年薪高于5万的有6人，的取值可能为0,1，2，由古典概型概率公式可计算出概率，得分布列，再由期望公式计算出期望；（2）由所给公式求出回归方程，代入可得预测值． 由线性回归方程为，可预测该员工年后的年薪收入为8.5万元. 考点：随机变量概率分布列，数学期望，线性回归方程． 20. 已知函数f（x）=ln（1+ax）﹣（a＞0） （1）当a=时，求f（x）的极值； （2）若a∈（，1），f（x）存在两个极值点x1，x2，试比较f（x1）+f（x2）与f（0）的大小 （3）求证e＞n!（n≥2，n∈N） 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用． 【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用． 【分析】（1）求出函数的定义域，求出导数，求得单调区间，即可得到极值； （2）求出导数，求得极值点，再求极值之和，构造当0＜t＜1时，g（t）=2lnt+﹣2，运用导数，判断单调性，即可得到结论； （3）当0＜t＜1时，g（t）=2lnt+﹣2＞0恒成立，即lnt+﹣1＞0恒成立，设t=（n≥2，n∈N），即ln+n﹣1＞0，即有n﹣1＞lnn，运用累加法和等差数列的求和公式及对数的运算性质，即可得证． 【解答】解：（1）f（x）=ln（1+x）﹣，定义域解得x＞﹣2， f′（x）=﹣=，即有（﹣2，2）递减，（2，+∞）递增， 故f（x）的极小值为f（2）=ln2﹣1，没有极大值． （2）f（x）=ln（1+ax）﹣（a＞0），x＞﹣， f′（x）=﹣= 由于＜a＜1，则a（1﹣a）∈（0，），﹣＜﹣ ax2﹣4（1﹣a）=0，解得x=±， f（x1）+f（x2）=ln[1+2]+ln[1﹣2]﹣﹣ 即f（x1）+f（x2）=ln[（1﹣2a）2]+ =ln[（1﹣2a）2]+﹣2                 设t=2a﹣1，当＜a＜1，0＜t＜1，则设f（x1）+f（x2）=g（t）=lnt2+﹣2， 当0＜t＜1时，g（t）=2lnt+﹣2， g′（t）=﹣=＜0 g（t）在0＜t＜1上递减，g（t）＞g（1）=0，即f（x1）+f（x2）＞f（0）=0恒成立， 综上述f（x1）+f（x2）＞f（0）； （3）证明：当0＜t＜1时，g（t）=2