江西省新余市洞村中学2022-2023学年高三数学文期末试卷含解析

江西省新余市洞村中学2022-2023学年高三数学文期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且，动点的轨迹为，已知圆过定点，圆心在轨迹上运动，且圆与轴交于、两点，设，，则的最大值为(    ) A．                B．           C．                  D． 参考答案： B 2. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 A．          B． C．1           D． 参考答案： A 三棱锥如下图所示： CD＝1，BC＝2，CD⊥BC， 且三棱锥A－BCD的高为1 底面积SBCD＝＝1， 所以，V＝ 3. 若对任意的实数t，函数在R上是增函数，则实数a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 参考答案： C 4. 若两个分类变量x和y的列联表为：   y1 y2 合计 x1 10 45 55 x2 20 30 50 合计 30 75 105 则x与y之间有关系的可能性为(     ) A．0.1% B．99.9% C．97.5% D．0.25% 参考答案： C 考点：独立性检验的应用． 专题：计算题；概率与统计． 分析：由列联表中的数据代入公式查表求解即可． 解答： 解：代入公式K2=≈6.11 查表可得，P（K2≥5.024）=0.025； 故1﹣0.025=97.5%； 故选：C． 点评：本题考查了独立性检验的应用，属于基础题． 5. 过双曲线的一个焦点向其一条渐近线作垂线，垂足为，与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为（     ） A.2   B. C. D. 参考答案： A  【知识点】双曲线的简单性质．H6 如图因为，所以A为线段FB的中点， ∴∠2=∠4，又∠1=∠3，∠2+∠3=90°，所以∠1=∠2+∠4=2∠2=∠3． 故∠2+∠3=90°=3∠2∠2=30°∠1=60°． ∴．故选：A． 【思路点拨】先由，得出A为线段FB的中点，再借助于图象分析出其中一条渐近线对应的倾斜角的度数，找到a，b之间的等量关系，进而求出双曲线的离心率． 6. 若是真命题，是假命题，则（　　） A．是真命题     B．是假命题    C．是真命题     D．是真命题 参考答案： D 7. 双曲线的实轴长是(　　) A．2            B．2          C．4        D．4 参考答案： 【知识点】双曲线方程及其简单几何性质。H6 【答案解析】C   解析：双曲线方程可变形为，所以. 故选C. 【思路点拨】先把双曲线化成标准方程，再求出实轴长。 【答案】 【解析】 8. 若, 对任意实数都有，, 则实数的值为   （      ） A．或0 B．0或1 C． D． 参考答案： A 由可得关于直线对称， 因为且函数周期为， 所以，所以或 9. 一平面截一球得到直径为cm的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm，则该球的体积是 A．12 cm3     B. 36cm3        C．cm3     D．cm3 参考答案： B 10. 如图,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有5种颜色可供使用,则不同的染色方法总数为(　　) (A)60         (B)480       (C)420        (D)70、 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知两向量与满足||=4，||=2，且（+2）?（+）=12，则与的夹角为　　． 参考答案： 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】根据，进行数量积的运算，便可由求出的值，进而求出向量的夹角． 【解答】解：根据条件： =； ∴； 又； ∴与的夹角为． 故答案为：． 【点评】本题考查数量积的运算及计算公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角． 12. 平面向量，则向量在向量方向上的投影为            ． 参考答案： 13. 设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f(x+3)=，且当x∈时，f（x）=2x，则f的值是　． 参考答案： 【考点】抽象函数及其应用；函数的值． 【分析】由偶函数的定义，可得f（﹣x）=f（x），将x换为x+3，可得f（x+6）=f（x），可得函数为6为周期的函数，f=f（0.5）=﹣，由解析式即可得到． 【解答】解：∵， ∵f（x）的周期为6， ∴f=f（19×6﹣0.5）=f（﹣0.5） =f（0.5）=f（﹣2.5+3） =． 故答案为：． 　 14. 一个总体分为甲、乙两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为的样本.已知乙层中每个个体被抽到的概率都为,则总体中的个体数为        . 参考答案： 试题分析：因为分层抽样中每个个体被抽到的概率相等，故总体中的个体数为. 考点：分层抽样. 15. 数列{an}中，Sn是其前n项的和,若a1＝1，an+1＝Sn（n≥1），则an＝　    　 参考答案： 16. 如图,若程序框图输出的S是126,则判断框①中应为  ▲   。 参考答案： 17. 在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．已知a+c=2b，sinB=sinC，则cosC=           ． 参考答案： 考点：余弦定理的应用． 专题：解三角形． 分析：利用已知条件求出，a、b、c的关系，然后利用余弦定理求解即可． 解答： 解：在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．已知a+c=2b， sinB=sinC，由正弦定理可得：b=， ∴a=b， 由余弦定理可得：cosC===． 故答案为：． 点评：本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图所示，已知正三棱锥S-ABC，D为BC中点，过点A作截面AEF交SB，SC分别于点E，F，且E，F分别为SB，SC的中点． （1）证明：EF⊥平面SAD； （2）若，，求三棱锥的体积． 参考答案： （1）证明：∵为中点，∴， ∵，∴平面， 又∵，分别为，的中点， ∴， ∴平面． （2）解：在中，，，故（为底面中心）， 又由．   19. （本小题共12分） 已知函数是定义在上的偶函数，且时，. （1）求的值； （2）设的值域为，函数的定义域为.若，求实数 的取值范围. 参考答案： （1）函数是定义在上的偶函数， 则.…………2分 又时，， 所以， 故.……………5分 20. 已知椭圆过点P（2，1）． （1）求椭圆C的方程，并求其离心率； （2）过点P作x轴的垂线l，设点A为第四象限内一点且在椭圆C上（点A不在直线l上），点A关于l的对称点为A'，直线A'P与C交于另一点B．设O为原点，判断直线AB与直线OP的位置关系，并说明理由． 参考答案： （1）见解析；（2）见解析 【分析】 （1）将点代入椭圆方程，求出，结合离心率公式即可求得椭圆的离心率；（2）设直线，，设点的坐标为，，分别求出，，根据斜率公式，以及两直线的位置关系与斜率的关系即可得结果. 【详解】（1）由椭圆方程椭圆 过点P（2，1），可得． 所以， 所以椭圆C的方程为+=1，离心率e==， （2）直线AB与直线OP平行．证明如下： 设直线，， 设点A的坐标为（x1，y1），B（x2，y2）， 由得， ∴，∴ 同理，所以， 由， 有， 因为A在第四象限，所以，且A不在直线OP上． ∴， 又，故， 所以直线与直线平行． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了斜率和直线平行的关系，是中档题． 21. （文）在等比数列{an}中，a1＞0，n∈N*，且a5－a4＝8，又a2、a8的等比中项为16. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝log4an，数列{bn}的前n项和为Sn，求和。 参考答案： (1)设数列{an}的公比为q，由题意可得a5＝16，又a5－a4＝8，则a4＝8，∴q＝2. ∴an＝2n -1, n∈N*. (2)∵bn＝log42n -1＝，由1=1, 得b1=0, 数列{bn}为等差数列， ∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝.   ∵＝， ∴＝. 22. 已知F1、F2为椭圆C：的左、右焦点，离心率为，且椭圆C的上顶点到左、右顶点的距离之和为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点F1的直线l交椭圆于A、B两点，若以AB为直径的圆过F2，求直线l的方程. 参考答案： （1）（2）：. 【分析】 （1）由已知可知和，再根据，求椭圆方程； （2）分斜率和两种情况讨论，当时，设直线：，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，，，若满足条件有，写成坐标表示的形式，求. 【详解】（1）设椭圆的焦距为，椭圆的离心率为，所以，即，又，所以，由椭圆的上顶点到椭圆的左、右顶点的距离之和为，所以，即，解得，所以，故椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，.设，. 若直线斜率为0时，弦为椭圆长轴，故以为直径的圆不可能过，所以不成立； 若直线斜率不为0时，设直线：，代入椭圆方程得： ，易知且，. 故以为直径的圆过，则有， ∴ ，∴. 综上可知，：. 【点睛】本题考查椭圆方程和直线与椭圆位置关系的综合问题，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.