山西省忻州市代县第五中学2022年高一数学理月考试题含解析

山西省忻州市代县第五中学2022年高一数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知等比数列{an}满足anan+1=4n，则其公比为（　　） A．±4B．4C．±2D．2 参考答案： D 【考点】等比数列的通项公式． 【分析】由已知得q2===4， =4，由此能求出公比． 【解答】解：∵等比数列{an}满足anan+1=4n， ∴q2===4， ∴=4， ∴q＞0，∴q=2． 故选：D． 2. 若函数为R上的增函数，则实数a的取值范围是（    ） A．          B． C．            D． 参考答案： A ∵函数 在上为增函数， ∴，解得。 ∴实数的取值范围是。选A。   3. 设是R上的偶函数, 且在上递增, 若，那么x的取值范围是 （   ） A．   B．    C．    D． 参考答案： A 4. 要得到函数的图象，只需将函数的图象  (    ) A. 向右平移个单位               B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位               D. 向左平移个单位 参考答案： A 5. 过点（2，3）的直线L被两平行直线L1：2x﹣5y+9=0与L2：2x﹣5y﹣7=0所截线段AB的中点恰在直线x﹣4y﹣1=0上，则直线L的方程为（　　） A．5x﹣4y+11=0 B．4x﹣5y+7=0 C．2x﹣3y﹣4=0 D．以上结论都不正确 参考答案： B 【考点】两条直线的交点坐标；中点坐标公式；直线的一般式方程． 【专题】计算题． 【分析】设AB的中点C（a，b），由线段AB的中点恰在直线x﹣4y﹣1=0上，知a﹣4b﹣1=0，由点C到两平行直线的距离相等，知|2a﹣5b+9|=|2a﹣5b﹣7|，故b=﹣1，a=4b+1=﹣3．由此能求出L的直线方程． 【解答】解：设AB的中点C（a，b）， ∵线段AB的中点恰在直线x﹣4y﹣1=0上， ∴a﹣4b﹣1=0，a=4b+1 ∵点C到两平行直线的距离相等， ∴|2a﹣5b+9|=|2a﹣5b﹣7|， 把a=4b+1代入，得 |2（4b+1）﹣5b+9|=|2（4b+1）﹣5b﹣7| ∴|3b+11|=|3b﹣5| 3b+11=﹣3b+5 ∴b=﹣1，a=4b+1=﹣3 ∵直线L过点（2，3）和点（﹣3，﹣1）， ∴kL== ∴L的直线方程：4x﹣5y+7=0． 故选B． 【点评】本题考查直线方程的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意点到直线的距离公式的灵活运用． 6. （5分）已知函数y=﹣x3﹣3x+5零点所在区间为（） A． （0，1） B． （1，2） C． （﹣1，0） D． （2，3） 参考答案： B 考点： 二分法求方程的近似解． 专题： 计算题；函数的性质及应用． 分析： 易知函数y=﹣x3﹣3x+5在R上连续且单调递减，从而由函数的零点的判定定理判断即可． 解答： 易知函数y=﹣x3﹣3x+5在R上连续且单调递减， f（1）=﹣1﹣3+5=1＞0，f（2）=﹣8﹣6+5=﹣9＜0； 故f（1）?f（2）＜0， 故函数f（x）=﹣x3﹣3x+5的零点所在的区间为（1，2）； 故选：B． 点评： 本题考查了函数的零点的判定定理的应用，属于基础题． 7. 若，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D．∪（1，+∞） 参考答案： D 【考点】指、对数不等式的解法． 【专题】分类讨论；分类法；不等式的解法及应用． 【分析】把不等式化为等价的loga＜logaa，讨论a的取值，利用函数y=logax的单调性，求出a的取值范围． 【解答】解：不等式等价于loga＜logaa， 当a＞1时，函数y=logax是增函数， 解得a＞，应取a＞1； 当0＜a＜1时，函数y=logax是减函数， 解得a＞，应取0＜a＜； 综上，实数a的取值范围是（0，）∪（1，+∞）． 故选：D． 【点评】本题考查了对数函数的单调性问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是基础题目． 8. 下列四个命题： ①平行于同一平面的两条直线相互平行 ②平行于同一直线的两个平面相互平行 ③垂直于同一平面的两条直线相互平行 ④垂直于同一直线的两个平面相互平行    其中正确的有 A．4个　　  　B.3个　　  　C.2个　　       　D.1个 参考答案： C 略 9. 将函数y＝sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为（　）． A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sinx D．y＝sin 参考答案： D 略 10. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为BC中点，则=（　　） A．﹣3 B．0 C．﹣1 D．1 参考答案： C 【分析】利用向量的运算法则和数量积的计算公式即可得出． 【解答】解：∵在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°， ∴==2． 又E为BC中点，∴． ∴=====﹣1， 故选C． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0，要使过定点A（1，2）作圆的切线有两条，则a的取值范围是　　． 参考答案： （﹣，） 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，过定点A（1，2）作圆的切线有两条，点A必在圆外，推出不等式，然后解答不等式即可． 【解答】解：将圆的方程配方得（x+）2+（y+1）2=，圆心C的坐标为（﹣，﹣1），半径r=， 条件是4﹣3a2＞0，过点A（1，2）所作圆的切线有两条，则点A必在圆外，即＞． 化简得a2+a+9＞0． 由4﹣3a2＞0，a2+a+9＞0， 解之得﹣＜a＜，a∈R． 故a的取值范围是（﹣，）． 【点评】本题考查圆的切线方程，直线和圆的方程的应用，考查一元二次不等式的解法，逻辑思维能力，是中档题． 12. 现要用一段长为的篱笆围成一边靠墙的矩形菜园（如图所示），则围成的菜园最大面积是___________________． 参考答案：   13. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则b=_______. 参考答案： 1 试题分析：，由得 考点：正弦定理解三角形 14. f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）=sin2x+cosx，则x＜0时f（x）=　　． 参考答案： sin2x﹣cosx 考点： 函数奇偶性的性质．3259693 专题： 计算题． 分析： 设x＜0，则﹣x＞0，适合x＞0时的解析式，求得f（﹣x）再由f（x）为奇函数，求得f（x）． 解答： 解：设x＜0，则﹣x＞0， 又因为x＞0时，f（x）=sin2x+cosx 的以f（﹣x）=cosx﹣sin2x 又因为f（x）为奇函数， 所以f（x）=﹣f（﹣x）=sin2x﹣cosx 故答案为：sin2x﹣cosx 点评： 本题主要利用奇偶性来求对称区间上的解析式，注意求哪个区间上的解析式，要在哪个区间上取变量． 15. 如图，将一条宽为3的矩形长条纸带一角折起，使顶点A落在BC边上（落点为）.设△的面积为y，，则函数的表达式为（写出定义域）           .   参考答案： （） 略 16. 如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中正确的是          ． ①EF∥平面ABCD； ②平面平面； ③三棱锥的体积为定值； ④存在某个位置使得异面直线AE与BF成角30°. 参考答案： ①②③④ 由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=，知： 在①中，由EF∥BD，且EF?平面ABCD，BD?平面ABCD，得EF∥平面ABCD，故①正确； 在②中，连接BD，由AC⊥BD，AC⊥DD1，可知AC⊥面BDD1B1， 而BE?面BDD1B1，BF?面BDD1B1，∴AC⊥平面BEF， ∵AC?平面ACF，∴面ACF⊥平面BEF，故②正确； 在③中，三棱锥E﹣ABF的体积与三棱锥A﹣BEF的体积相等， 三棱锥A﹣BEF的底面积和高都是定值，故三棱锥E﹣ABF的体积为定值，故③正确； 在④中，令上底面中心为O，当E与D1重合时，此时点F与O重合， 则两异面直线所成的角是∠OBC1，可求解∠OBC1=300， 故存在某个位置使得异面直线AE与BF成角30°，故④正确． 故答案为：①②③④.   17. 已知函数，若，且，则的取值范围是　  ▲ 　． 参考答案： (3,+∞) 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (12分) 已知函数． (1)求函数的定义域；(2)判断函数的奇偶性，并说明理由． 参考答案： （2）  函数f(x)是偶函数，理由如下： 由（1）知，函数f(x)的定义域关于原点对称， 且 故函数f(x)为奇函数． 19. 从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi（单位：千元）与月储蓄yi（单位：千元）的数据资料，算得，，，． 附：线性回归方程y=bx+a中，，，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为． （1）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a； （2）判断变量x与y之间是正相关还是负相关； （3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄． 参考答案： （Ⅰ）由题意可知n=10，===8，===2，…2分 故=720-10×82=80， =184-10×8×2=24， …4分 故可得b═=0.3，a==2-0.3×8=-0.4， 故所求的回归方程为：y=0.3x-0.4；…6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知b=0.3＞0，即变量y随x的增加而增加，故x与y之间是正相关；…9分 （Ⅲ）把x=7代入回归方程可预测该家庭的月储蓄为y=0.3×7-0.4=1.7（千元）．…12分 20. 已知函数f（x）=log2． （Ⅰ）判断f（x）奇偶性并证明； （Ⅱ）用单调性定义证明函数g（x）=在函数f（x）定义域内单调递增，并判断f（x）=log2在定义域内的单调性． 参考答案： 【考点】奇偶性与单调性的综合． 【分析】（Ⅰ）由＞0，求得函数f（x）的定义域为（﹣1，1），关于原点对称，再根据f（﹣x）=﹣f（x），可得函数f（x）为奇函数． （Ⅱ）设﹣1＜x1＜x2＜1，求得 g（x1）﹣g（x2）＜0，可得g（x）在（﹣1，1）内为增函数．令g（x）=t，则f（x）=log2t，故本题即求函数t在（﹣1，1）内的单调性相同，由此得出结论． 【解答】解：（Ⅰ）由＞0，求得﹣1＜x＜1，故函数f（x）的定义域为（﹣1，1）， 再根据f（﹣x）==﹣log2=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数． （Ⅱ）设﹣1＜x1＜x2＜1，∵g（x1）﹣g（x2）=﹣=， ∵﹣1＜x1＜x2＜1，∴x1﹣x2＜0，1﹣x1＞0，1﹣x2＞0，∴g（x1）＜g（x2）， ∴g（x）=在（﹣1，1）内为增函数． 令g（x）=t，则f（x）=log2t，故f（x）在定义域内的单调性与t的单调性相同， 由于t在定义域（﹣1，1）内但地递增，故f（x）在定义域（﹣1，1）内