广东省广州市侨联中学高三数学理期末试题含解析

广东省广州市侨联中学高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知P(x，y)为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2X—y的最大 值是   A．0    B．2    C．2    D．6 参考答案： D【知识点】简单的线性规划问题E5 由作出可行域如图， 由图可得A（a，-a），B（a，a），由S△OAB=?2a?a=4，得a=2． ∴A（2，-2），化目标函数z=2x-y为y=2x-z， ∴当y=2x-z过A点时，z最大，等于2×2-（-2）=6． 【思路点拨】由约束条件作出可行域，求出使可行域面积为4的a值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案． 2. 执行如图所示的程序框图，输出n的值为（　　） A．19 B．20 C．21 D．22 参考答案： B 【考点】EF：程序框图． 【分析】模拟执行如图所示的程序框图知该程序的功能是 计算S=1+2+3+…+n≥210时n的最小自然数值，求出即可． 【解答】解：模拟执行如图所示的程序框图知， 该程序的功能是计算S=1+2+3+…+n≥210时n的最小自然数值， 由S=≥210，解得n≥20， ∴输出n的值为20． 故选：B． 3. 函数　　（　　）   A.在 上递增，在上递减 B.在上递增，在上递减 C.在上递增，在上递减 D.在上递增，在上递减 参考答案： A 略 4. “”是“”的（    ）        A．充分不必要条件        B．必要不充分条件        C．充要条件              D．既不是充分条件也不是必要条件 参考答案： A 略 5. “1＜a＜2”是“对任意的正数x，2”的（　　） A、充分不必要条件　　B、必要不充分条件 C、充要条件　　　　　D、既不充分也不必要条件 参考答案： A 故选A. 6. 若，则实数m的值为(     ) A．﹣ B．﹣2 C．﹣1 D．﹣ 参考答案： D 考点：定积分． 专题：导数的概念及应用． 分析：求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和积分下限作差，由积分值为0求得m的值． 解答： 解：∵=， ∴m=﹣． 故选：D． 点评：本题考查了定积分，关键是求出被积函数的原函数，是基础题． 7. 若O是△ABC所在平面内一点，且满足，则△ABC一定是（    ）   A．等边三角形 B．直角三角形     C．等腰三角形     D．等腰直角三角形 参考答案： B 8. 已知命题：抛物线的准线方程为；命题：若函数为偶函数，则关于对称．则下列命题是真命题的是 A．                B．             C．       D． 参考答案： D 略 9. 如图,正方体中，点在侧面及其边界上运动，并且总是保持，则动点的轨迹是      A．线段                       B．线段 C．中点与中点连成的线段 D．中点与中点连成的线段 参考答案： A 略 10. 在中，为边上任意一点，为的中点，，则的值为（   ） A、                 B、                C、                D、 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是AC1、A1B1的中点．点在正方体的表面上 运动，则总能使MP 与BN 垂直的点所构成的轨迹的周长等于            ． 参考答案： 略 12. 从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为      ． 参考答案： 13.              . 参考答案： 14. 已知函数，，对于任意的都能找到，使得，则实数的取值范围是               ． 参考答案： 15. 如果是二次函数, 且的图象开口向上,顶点坐标为（1,）, 那么曲线任一点处的切线的倾斜角的取值范围是       . 参考答案： 略 16. 函数的图像大致如下图，有两条平行于轴的渐近线和，平行于轴的切线方程为，则=             ．   参考答案： 略 17. 已知是定义在上且周期为的函数,当时，.若函数在区间上有个零点(互不相同)，则实数的取值范围是_________. 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）如图，在四棱柱中，侧面⊥底面，，底面为直角梯形，其中 ，O为中点。 （Ⅰ）求证：平面 ； （Ⅱ）求锐二面角A—C1D1—C的余弦值。 参考答案： （Ⅰ）证明：如图，连接，     …………..1分 则四边形为正方形，       …………..2分 ，且   故四边形为平行四边形，…………..3分 ，            …………..4分 又平面，平面   ……..5分 平面                 …………..6分 （Ⅱ）为的中点，，又侧面⊥底面，故⊥底面，…………..7分 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的坐标系，则 ，…………..8分 ，…………..9分 设为平面的一个法向量，由，得， 令，则………..10分 又设为平面的一个法向量，由，得，令 ，则，………..11分 则，故所求锐二面角A—C1D1—C的余弦值为………..12分 19. （本小题满分12分） 在直角坐标系xOy中，椭圆C1：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．F2也是抛物线C2：的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且｜MF2｜=． （Ⅰ）求C1的方程； （Ⅱ）平面上的点N满足，直线l∥MN，且与C1交于A，B两点，若，求直线l的方程． 参考答案： 解：（Ⅰ）由：知． 设，在上，因为，所以，得，． 在上，且椭圆的半焦距，于是 消去并整理得  ， 解得（不合题意，舍去）． 故椭圆的方程为． （Ⅱ）由知四边形是平行四边形，其中心为坐标原点， 因为，所以与的斜率相同， 故的斜率．设的方程为． 由  消去并化简得  ． 设，，，． 因为，所以．  ． 所以．此时， 故所求直线的方程为，或．   略 20. 已知△ABC的三内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，设向量. (I）求B； (II）若，求△ABC的面积。 参考答案： （I）∵ ∴ 由余弦定理得： 又∵∴ (II）∵，由正弦定理得：       ∴∴       ∴a＜b   ∴A＜B       ∴ ∴        ∴ABC= 21. （本小题满分12分）已知函数（其中、），是奇函数 （1）求的表达式。 （2）讨论的单调性，并求在上的最值。 参考答案： 解：（1） 由为奇函数可得： 令 ， 当   时， 当 时， 当   时， 当上时，为减函数；   当上时，为增函数；   当上时，为减函数 当上时，的最大值，最小值只能在，，处取得。 又，， 因此，，       略 22. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥AD，AD=CD=2AB=2，E，F分别为PC，CD的中点，DE=EC． （1）求证：平面ABE⊥平面BEF； （2）设PA=a，若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角，求a的取值范围． 参考答案： 【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定． 【分析】（1）由题目给出的条件，可得四边形ABFD为矩形，说明AB⊥BF，再证明AB⊥EF，由线面垂直的判定可得AB⊥面BEF，再根据面面垂直的判定得到平面ABE⊥平面BEF； （2）以A点为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间坐标系，利用平面法向量所成交与二面角的关系求出二面角的余弦值，根据给出的二面角的范围得其余弦值的范围，最后求解不等式可得a的取值范围． 【解答】证明：如图， （1）∵AB∥CD，CD⊥AD，AD=CD=2AB=2，F为CD的中点， ∴ABFD为矩形，AB⊥BF． ∵DE=EC，∴DC⊥EF，又AB∥CD，∴AB⊥EF ∵BF∩EF=F，∴AB⊥面BEF，又AE?面ABE， ∴平面ABE⊥平面BEF． （2）解：∵DE=EC，∴DC⊥EF，又PD∥EF，AB∥CD，∴AB⊥PD 又AB⊥PD，所以AB⊥面PAD，AB⊥PA． 以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间坐标系， 则B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，a），C（2，2，0），E（1，1，） 平面BCD的法向量， 设平面EBD的法向量为， 由?，即，取y=1，得x=2，z= 则． 所以． 因为平面EBD与平面ABCD所成锐二面角， 所以cosθ∈，即． 由得： 由得：或． 所以a的取值范围是．