福建省漳州市武安中学高一数学文下学期期末试题含解析

福建省漳州市武安中学高一数学文下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 要使g（x）=3x+1+t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为（　　） A．t≤﹣1 B．t＜﹣1 C．t≤﹣3 D．t≥﹣3 参考答案： C 【考点】指数函数的图象变换． 【分析】函数g（x）=3x+1+t是由指数函数y=3x平移而来的，根据条件作出其图象，由图象来解． 【解答】解：指数函数y=3x过定点（0，1）， 函数g（x）=3x+1+t过定点（0，3+t）且为增函数，要使g（x）=3x+1+t的图象不经过第二象限， 只须函数g（x）=3x+1+t与y轴的交点的纵坐标小于等于0即可， 如图所示， 即图象不过第二象限，则3+t≤0 ∴t≤﹣3， 则t的取值范围为：t≤﹣3． 故选C． 2. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题中错误的是（   ） A．若，则∥            B．若∥，∥，则∥ C．若∥，则∥ D．若是异面直线，∥，∥，则∥ 参考答案： C 略 3. 圆心为（1，2）且过原点的圆的方程是（　　） A．（x﹣1）2+（y﹣2）2=2 B．（x+1）2+（y+2）2=2 C．（x﹣1）2+（y﹣2）2=5 D．（x+1）2+（y+2）2=5 参考答案： C 【考点】圆的标准方程． 【分析】由题意求出圆的半径，代入圆的标准方程得答案． 【解答】解：由题意可知，圆的半径为r=． ∴圆心为（1，2）且过原点的圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣2）2=5． 故选：C． 4. 判断下列各命题的真假： （1）向量的长度与向量的长度相等； （2）向量与向量平行，则与的方向相同或相反； （3）两个有共同起点的而且相等的向量，其终点必相同； （4）两个有共同终点的向量，一定是共线向量； （5）向量和向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上； (6）有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中假命题的个数为（　　） A、2个　　B、3个　　C、4个　　D、5个   参考答案： C 5. 已知函数的最大值为4,最小值为0,最小正周期为，直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是（      ）          A.           B. C.        D. 参考答案： D 略 6. （5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，点O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任一点，则异面直线OP与AM所成的角的大小为（） A． 30° B． 60° C． 90° D． 120° 参考答案： C 考点： 异面直线及其所成的角． 专题： 空间角． 分析： 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线OP与AM所成的角的大小． 解答： 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴， 建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，A1P=t（0≤t≤1）， A（2，0，0），M（0，0，1） O（1，1，0），P（2，t，2）， =（﹣2，0，1），=（1，t﹣1，2）， ∴=﹣2+0+2=0， ∴异面直线OP与AM所成的角的大小为90°． 故选：C． 点评： 本题考查异面直线OP与AM所成的角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法合理运用． 7. 已知a，b∈R，且ab0，则在①≥ab；②≥2；③ab≤；④≤这四个不等式中，恒成立的个数为 A. 1            B. 2            C. 3            D. 4   参考答案： C 8. 己知向量a=(2,1), b=(-3,4)，则a-b=（   ） （A）（5，）   （B）（1，）      （C）（5，3）     （D）（，3） 参考答案： A 9. 如图，己知||=5，||=3，∠AOB为锐角，OM平分∠AOB，点N为线段AB的中点， =x+y，若点P在阴影部分（含边界）内，则在下列给出的关于x、y的式子中，①x≥0，y≥0；②x﹣y≥0；③x﹣y≤0；④5x﹣3y≥0；⑤3x﹣5y≥0．满足题设条件的为（　　） A．①②④ B．①③④ C．①③⑤ D．②⑤ 参考答案： B 【考点】向量的线性运算性质及几何意义． 【专题】平面向量及应用． 【分析】利用向量共线定理，及三角形法则，将向量表示出来，的系数对应等于x，y．由此即可解题 【解答】解：设线段OP与AB的交点为C， 则由向量共线定理知：存在实数λ，，其中λ＞0， ∴ = =， ∵共线， ∴存在实数μ，使得， ∵N为AB的中点， ∴μ' 又∵||=5，||=3，OM平分∠AOB， ∴由正弦定理知，AM=BM ∴AC≤AM=AB， 故， ∴ = = ∴x=λ（1﹣μ），y=λμ， ∴x≥0，y≥0； ∴x﹣y=λ（1﹣2μ）≤0； ∴5x﹣3y=λ（5﹣8μ）≥0． 故选：B． 【点评】本题主要考察了平面向量的共线定理以及向量的三角形法则，并涉及到了正弦定理，难度较大，属于难题． 10. （5分）圆（x+2）2+（y+1）2=1关于直线y=x﹣1对称的圆的方程为（） A． x2+（y﹣3）2=1 B． x2+（y+3）2=1 C． （x﹣3）2+y2=1 D． （x+3）2+y2=1 参考答案： B 考点： 圆的标准方程． 专题： 直线与圆． 分析： 根据圆的对称的性质求出对称圆的圆心即可． 解答： 圆（x+2）2+（y+1）2=1的圆心为C（﹣2，﹣1），半径r=1， 设圆心C（﹣2，﹣1）关于直线y=x﹣1对称的点的坐标为（a，b）， 则满足，解得a=﹣3，b=0，即对称圆的圆心为（﹣3，0）， 则对称圆的方程为x2+（y+3）2=1， 故选：B 点评： 本题主要考查圆的方程的求解，利用圆的对称性求出圆心坐标是解决本题的关键． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在区间[0,10]中任意取一个数，则它与3之和大于10的概率是______． 参考答案：   12. 已知函数为奇函数，且当时，则当时，的解析式为_____________.    参考答案： 略 13. 已知圆C：,则过点的圆的切线方程是______. 参考答案： 14. 已知垂直平行四边形所在平面，若，平行则四边形一定是           . 参考答案： 菱形 15. 化简： =            . 参考答案： 16. 满足｛x，y｝∪B＝｛x，y，z｝的集合B的个数是____． 参考答案： 4 17. 在中，，，，则__________． 参考答案： 1 【考点】HR：余弦定理；GS：二倍角的正弦；HP：正弦定理． 【分析】利用余弦定理求出，，即可得出结论． 【解答】解：∵中，，，， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 己知· （1）求的值 （2）若是钝角，是锐角，且，求的值· 参考答案： 19. （本题满分14分）对于在区间上有意义的两个函数，若对于所有的，都有，则称和在区间上是接近的两个函数，否则称它们在区间上是非接近的两个函数. 现在给定区间，有两个函数． （1）若和在区间上都有意义，求的取值范围； （2）讨论和在区间上是否为接近的两个函数． 参考答案： 解：（1），…4分 （2）， 当时，，令， 则，，…8分 要使得， 则，                   ………………12分 所以当时，和在区间上是接近的两个函数 当时，和在区间上是非接近的两个函数     ……14分 20. 若，，，. （1）求的值； （2）求值. 参考答案： (1)；(2). 试题分析：（1）由，结合角的范围得,由即可得解； （2）由，结合角的范围得，由即可得解. 试题解析： (1)由，得. 因为，所以. . (2)由，得. 因为，所以. 点睛：这个题目考查了三角函数中的配凑角，诱导公式的应用，给值求值的题型. 一般这种题目都是用已知角表示未知角，再根据两角和差公式得到要求的角，注意角的范围问题，角的范围通常是由角的三角函数值的正负来确定的. 21. （12分）已知函数f（x）=x2+2x． （1）求f（m﹣1）+1的值； （2）若x∈，求f（x）的值域； （3）若存在实数t，当x∈，f（x+t）≤3x恒成立，求实数m的取值范围． 参考答案： 考点： 二次函数的性质；函数恒成立问题． 专题： 函数的性质及应用． 分析： （1）将x=m﹣1，代入可得f（m﹣1）+1的值； （2）由f（x）的图象与性质，讨论a的取值，从而确定f（x）在上的增减性，求出f（x）的值域． （3）把f（x+t）≤3x转化为（x+t）2+2（x+t）≤3x，即u（x）=x2+（2t﹣1）x+t2+2t，在x∈恒小于0问题，考查u（x）的图象与性质，求出m的取值范围． 解答： （1）∵函数f（x）=x2+2x， ∴f（m﹣1）+1=（m﹣1）2+2（m﹣1）+1=m2； （2）∵f（x）=x2+2x的图象是抛物线，开口向上，对称轴是x=﹣1， ∴当﹣2＜a≤﹣1时，f（x）在上是减函数， f（x）max=f（﹣2）=0，f（x）min=f（a）=a2+2a， ∴此时f（x）的值域为：； 当﹣1＜a≤0时，f（x）在上先减后增， f（x）max=f（﹣2）=0，f（x）min=f（﹣1）=﹣1， ∴此时f（x）的值域为：； 当a＞0时，f（x）在上先减后增， f（x）max=f（a）=a2+2a，f（x）min=f（﹣1）=﹣1， ∴此时f（x）的值域为：． （3）若存在实数t，当x∈，f（x+t）≤3x恒成立， 即（x+t）2+2（x+t）≤3x， ∴x2+（2t﹣1）x+t2+2t≤0； 设u（x）=x2+（2t﹣1）x+t2+2t，其中x∈ ∵u（x）的图象是抛物线，开口向上， ∴u（x）max=max{u（1），u（m）}； 由u（x）≤0恒成立知 ； 化简得 ； 令g（t）=t2+2（1+m）t+m2﹣m， 则原题转化为存在t∈，使得g（t）≤0； 即当t∈时，g（t）min≤0； ∵m＞1时，g（t）的对称轴是t=﹣1﹣m＜﹣2， ①当﹣1﹣m＜﹣4，即m＞3时，g（t）min=g（﹣4）， ∴， 解得3＜m≤8； ②当﹣4≤﹣1﹣m＜﹣2，即1＜≤3时，g（t）min=g（﹣1﹣m）=﹣1﹣3m， ∴， 解得1＜m≤3； 综上，m的取值范围是（1，8]． 点评： 本题考查了二次函数在闭区间上的最值问题的应用，解题时应讨论对称轴在区间内？在区间左侧？区间右侧？从而确定函数的最值． 22. 如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点 不同于点），且为的中点。 求证：（1）平面平面；      （2）直线平面。 参考答案： 略