2022-2023学年广西壮族自治区柳州市第二十中学高三数学文联考试卷含解析

2022-2023学年广西壮族自治区柳州市第二十中学高三数学文联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图，半径为2的⊙与直线相切于点，射线从出发绕点逆时针方向旋转到，旋转过程中，交⊙于点，设为，弓 形 的面积为，那么的图象大致是                                               参考答案： D 2. 已知定义在R上的函数的导函数，若的极大值为，极小值为，则函数的图象有可能是 参考答案： C 3. （5分）（2013?兰州一模）若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3}，N={1，4}，则集合N∩（?UM）等于（　　） 　 A． {1，2，3，4} B． {1，4，5，6} C． {1，4，5} D． {1，4} 参考答案： D 略 4. 已知集合，则的真子集个数为（     ） A．   3        B．    6        C．    7        D．8 参考答案： 5. 已知函数有零点，则实数的取值范围是（     ）   A、 B、   C、 D、 参考答案： B 6. 某校高二（1）班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信息，可确定被抽测的人数及分数在[90,100]内的人数分别为（　　） A. 20，2 B. 24，4 C. 25，2 D. 25，4 参考答案： C 由频率分布直方图可知，组距为的频率为，由茎叶图可知的人数为2，设参加本次考试的总人数为，则所以，根据频率分布直方图可知内的人数与的人数一样，都是，故选C. 7. 已知函数①，②，则下列结论正确的是(     ) （A）两个函数的图象均关于点成中心对称 （B）①的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，再向右平移个单位即得② （C）两个函数在区间上都是单调递增函数 （D）两个函数的最小正周期相同 参考答案： C 略 8. 将函数的图象向右平移 个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，所得新图象的函数解析式是 （    ）       参考答案： D 9. 已知满足，若目标函数的最小值为5，则的最大值为 A.5              B.8           C.10          D.20 参考答案： C 10. 已知向量，若，则实数的值为 A．              B．           C．              D． 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. △ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=4，c=5，B=2C，点D为边BC上一点，且BD=6，则△ADC的面积位　　． 参考答案： 10 【考点】正弦定理． 【分析】由已知利用二倍角的正弦函数公式，正弦定理可求cosC，利用二倍角的余弦函数公式可求cosB=cos2C的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值，由余弦定理可得BC2﹣6BC﹣55=0，解得BC，可求DC的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解． 【解答】解：∵b=4，c=5，B=2C， ∴由正弦定理可得： ==，可得：cosC=， ∴cosB=cos2C=2cos2C﹣1=，sinC==， ∴在△ABC中，由余弦定理可得：（4）2=52+BC2﹣2×， 整理可得：BC2﹣6BC﹣55=0，解得：BC=11或﹣5（舍去）， ∴DC=BC﹣BD=11﹣6=5， ∴S△ADC=AC?DC?sinC==10． 故答案为：10． 12. 等比数列{an}中，a2=2，a5=16，那么数列{an}的前6项和S6=　   　． 参考答案： 63 13. 设变量x，y满足 ，则z=2x-y的最大值为_________. 参考答案： 7 略 14. 已知等比数列{an}中，a2a4=a5，a4=8，则公比q=　 　，其前4项和S4=　 　． 参考答案： 2，15 【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式． 【分析】设等比数列{an}的公比为q，由a2a4=a5，a4=8，可得q2=a2q3， =8，解得a2，q，利用求和公式即可得出． 【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a2a4=a5，a4=8， ∴q2=a2q3， =8，解得a2=q=2． ∴a1=1． 其前4项和S4==15． 故答案为：2，15． 　 15. 设等差数列的前项和为，若，则满足的正整数      ． 参考答案： ． 依题意，，，则 ，，，所以，即满足的正整数．故填． 【解题探究】本题考查数列的前项和与通项关系的应用．解题首先由得到，的符号，进而推理出． 16. 已知a=dx，在二项式（x2﹣）5的展开式中，含x的项的系数为　     ． 参考答案： ﹣10 【考点】二项式系数的性质；定积分． 【分析】求定积分求得a的值，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1求出r的值，即可求得含x的项的系数． 【解答】解：a=dx=（2x﹣x2）=2﹣1=1，二项式（x2﹣）5 =（ x2﹣）5， ∴二项式（x2﹣）5的展开式的通项公式为Tr+1=?（﹣1）r?x10﹣3r， 令10﹣3r=1，求得r=3，含x的项的系数为﹣=﹣10， 故答案为：﹣10． 　 17. 已知均为单位向量，它们的夹角为，则               ． 参考答案：   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，正四面体中，为线段的中点，求异面直线与所成的角（结果用反三角函数值表示）。(12分) 参考答案： 取线段AB的中点N，连接MN、PN，M、N分别为线段BC、AB的中点， 则， 所以为异面直线与所成的角（或其补角）   5分 设正四面体的棱长为 等边三角形PBC中，M为BC的中点， 等边三角形PBA中，N为BA的中点，                                                        8分 三角形PMN中，         10分 得故异面直线与所成的角为           12分 19. （本题满分10分） 已知的最小正周期为.    （1）求的单调递增区间；    （2）求的最大值和最小值. 参考答案： 解：（1）由已知Ks5u                         （2） 所以，，有最大值1， ， 有最小值. 略 20. 在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=AB=BC=2，且点O为AC中点． （Ⅰ）证明：A1O⊥平面ABC； （Ⅱ）求三棱锥C1﹣ABC的体积． 参考答案： 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直的判定． 【分析】（Ⅰ）推导出A1O⊥AC，由此能证明A1O⊥平面ABC． （Ⅱ）推导出C1到平面ABC的距离等于A1到平面ABC的距离，从而，由此能求出三棱锥C1﹣ABC的体积． 【解答】（本小题满分12分） 证明：（Ⅰ）∵AA1=A1C，且O为AC的中点， ∴A1O⊥AC，… 又∵平面AA1C1C⊥平面ABC， 平面AA1C1C∩平面ABC=AC… 且A1O?平面AA1C1C， ∴A1O⊥平面ABC… 解：（Ⅱ）∵A1C1∥AC，A1C1?平面ABC，AC?平面ABC， ∴A1C1∥平面ABC， 即C1到平面ABC的距离等于A1到平面ABC的距离… 由（Ⅰ）知A1O⊥平面ABC且，… ∴三棱锥C1﹣ABC的体积： … 21. 某市的老城区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，老城区改造规划建筑用地区域可近似为半径是R的圆面．该圆的内接四边形ABCD是原老城区建筑用地，测量可知边界AB＝AD＝4万米，BC＝6万米，CD＝2万米． （I）请计算原老城区建筑用地ABCD的面积及圆面的半径R的值； （II）因地理条件的限制，边界AD、CD不能变更，而边界AB、BC可以调整．为了提高老城区改造建筑用地的利用率，请在上设计一点P，使得老城区改造的新建筑用地APCD的面积最大，并求出其最大值． 参考答案： 解： (1)因为四边形ABCD内接于圆，所以∠ABC＋∠ADC＝180°，连接AC，由余弦定理： AC2＝42＋62－2×4×6cos∠ABC ＝42＋22－2×2×4cos∠ADC. ∴cos∠ABC＝.∵∠ABC∈(0，π)，∴∠ABC＝60°. 则S四边形ABCD＝×4×6×sin60°＋×2×4×sin120°＝8(万平方米)． 在△ABC中，由余弦定理： AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC ＝16＋36－2×4×6×＝28，故AC＝2. 由正弦定理得，2R＝＝＝，∴R＝(万米)．......6分 (2)S四边形APCD＝S△ADC＋S△APC，    S△ADC＝AD·CD·sin120°＝2. 设AP＝x，CP＝y，则S△APC＝xy·sin60°＝xy. 又由余弦定理：AC2＝x2＋y2－2xycos60°＝x2＋y2－xy＝28. ∴x2＋y2－xy≥2xy－xy＝xy.     ∴xy≤28，当且仅当x＝y时取等号． ∴S四边形APCD＝2＋xy≤2＋×28＝9，    即当x＝y时面积最大，其最大面积为9万平方米．......12分 22. 已知椭圆C：（a>b>0）经过点(0, )，离心率为，经过椭圆C的右焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，点A、F、B在直线x＝4上的射影依次为D、K、E． （1）求椭圆C的方程； （2）若直线l交y轴于点M，且，当直线l的倾斜角变化时，探究λ＋μ是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；若不是，说明理由； （3）连接AE、BD，试探索当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于一定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由． 参考答案： ?3k(x2－1)＝2x2k(x1－1)－5k(x1－1)?2kx1x2－5k(x1＋x2)＋8k＝0 【注】：书写可证明：kBP－kDP＝···－···＝·······，证明值为0．