湖南省郴州市临武县第三中学高三数学理上学期期末试题含解析

湖南省郴州市临武县第三中学高三数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设函数与函数的图象恰有3个不同的交点，则实数的取值范围为（    ） A．     B．     C．      D． 参考答案： C 试题分析：易，在时，不合题意，因此只能有，注意的函数定义域是，由题意方程有三个不同的解，即有三个解，也可理解为直线与函数的三个交点．考虑函数，由知，当时，，当时，，因此在时，取得极大值也是最大值，而，因此当和时，递减，当时，递增，因此要使方程有三个解，则，即．故选C． 考点：函数的零点． 【名师点睛】解决由函数零点（方程根）的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．常见的方法和技巧有： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化为求函数值域问题加以解决． （3）数形结合：先对解析式变形，在同一坐标系中画出函数的图象，然后观察求解．此时需要根据零点个数命合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍． 2. 已知点,,,，则向量在方向上的投影为（   ） （A） （B）        （C）     （D） 参考答案： A 略 3. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 A. 3              B. 5                 C. 7                D. 9 参考答案： B 4. 已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S-ABC的体积为                                                                                                              （　　）       A．3                 B．2                C．                                          D．1 参考答案： C 略 5. 已知复数z满足（1+i）z=（1﹣i）2，则z的共轭复数的虚部为（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1 参考答案： D 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数． 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出，则答案可求． 【解答】解：由（1+i）z=（1﹣i）2， 得． ∴， ∴z的共轭复数的虚部为1． 选D． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题． 6. 当时，函数的最小值为（　　） A． B． C．1 D． 参考答案： B 【考点】三角函数的最值． 【分析】根据三角恒等变换化简函数f（x）为正弦型函数，根据求出函数f（x）的最小值． 【解答】解：函数 =sin+（1+cos）﹣ =（sin+cos） =sin（+）， 当时， +∈[，]， ∴sin（+）∈[，1]； ∴函数f（x）=sin（﹣）的最小值为． 故选：B． 【点评】本题考查了三角恒等变以及正弦型函数的图象与性质的应用问题，是基础题． 7. 已知函数的周期为4，且当时， 其中．若方程恰有5个实数解，则的取值范围为    (  )   A．     B．     C．     D． 参考答案： B 8. 下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为(　　) A．y＝cos 2x，x∈R B．y＝log2|x|，x∈R且x≠0 D．y＝x3＋1，x∈R 参考答案： B 略 9. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形， 则该几何体的体积为          （    ） A．        B．         C．         D．   参考答案： B 略 10. 已知直线m和平面，若，则“”是“”的（   ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件         D.既不充分也不必要条件 参考答案： A 因为，若，根据平面垂直的判定可得，所以“”是“”的充分条件 当，若，则或或m与β相交，所以为不必要条件 即“”是“”的充分不必要条件 所以选A   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N+，Sn=（﹣1）nan++n﹣3且（t﹣an+1）（t﹣an）＜0恒成立，则实数t的取值范围是　　． 参考答案： （﹣，） 【考点】数列递推式． 【分析】由数列递推式求出首项，写出n≥2时的递推式，作差后对n分偶数和奇数讨论，求出数列通项公式，可得函数an=﹣1（n为正奇数）为减函数，最大值为a1=﹣，函数an=3﹣（n为正偶数）为增函数，最小值为a2=，再由（t﹣an+1）（t﹣an）＜0恒成立求得实数t的取值范围． 【解答】解：由Sn=（﹣1）nan++n﹣3，得a1=﹣； 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（﹣1）nan++n﹣3﹣（﹣1）n﹣1an﹣1﹣﹣（n﹣1）+3 =（﹣1）nan+（﹣1）nan﹣1﹣+1， 若n为偶数，则an﹣1=﹣1，∴an=﹣1（n为正奇数）； 若n为奇数，则an﹣1=﹣2an﹣+1=2（﹣1）﹣+1=3﹣， ∴an=3﹣（n为正偶数）． 函数an=﹣1（n为正奇数）为减函数，最大值为a1=﹣， 函数an=3﹣（n为正偶数）为增函数，最小值为a2=， 若（t﹣an+1）（t﹣an）＜0恒成立， 则a1＜t＜a2，即﹣＜t＜． 故答案为：（﹣，）． 【点评】本题考查数列递推式，考查了数列通项公式的求法，体现了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，是中档题． 12. 集合A＝{x∈R||x－2|≤5}中的最小整数为__________． 参考答案： -3 13. 已知复数（其中是虚数单位），满足，则实数              ，         ． 参考答案： 2   ,   14. 正方体的8个顶点中，有4个恰是正四面体的顶点，则正方体与正四面体的表面积之比为　　． 参考答案： ：1 【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积． 【分析】作图分析． 【解答】解：如图：设正方体的棱长为a， 则正方体的表面积为S=6a2； 正四面体的边长为 则其表面积为4?sin60°=2a2； 则面积比为6a2：2a2=：1． 故答案为：：1． 【点评】考查了学生的空间想象力． 15. 设f(x)＝lg，则的定义域为__________________ 参考答案： （-4，-1）（1,4）. 略 16. 已知是三个不重合的平面，给下出列四个命题： ①若； ②若直线； ③存在异面直线； ④若 其中所有真命题的序号是            。 参考答案： ①③④ 17. 从的映射，则的原象为            . 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题14分） 如图①，一条宽为1km的两平行河岸有三个工厂、、，工厂与、的直线距离都是2km，与河岸垂直，为垂足．现要在河岸上修建一个供电站，并计划铺设地下电缆和水下电缆，从供电站向三个工厂供电．已知铺设地下电缆、水下电缆的费用分别为2万元/km、4万元/km． （Ⅰ）已知工厂与之间原来铺设有旧电缆（原线路不变），经改造后仍可使用，旧电缆的改造费用是0.5万元/km．现决定将供电站建在点处，并通过改造旧电缆修建供电线路，试求该方案总施工费用的最小值； （Ⅱ）如图②，已知供电站建在河岸的点处，且决定铺设电缆的线路为、、，若，试用表示出总施工费用（万元）的解析式,并求总施工费用的最小值． 参考答案： （1）（1）过作于，地下电缆的最短线路为    该方案总费用为（万元） （2），， 则     设  则     由得    列表    , 则      此时 因此施工总费用的最小值为万元，其中 19. 已知函数. （Ⅰ）求函数的最大值，并求使； （Ⅱ）设函数. 参考答案： 解：（Ⅰ） ………………………………………1分 …………………………………………………2分 ……………………………………………………………………3分 Z），即Z时，.…………………5分   此时，对应的x的集合为.……………………………………6分 （Ⅱ）  .………………………………………………………………7分 列表： 0 0 0 0                                                       ………10分 略 20. （本小题满分12分）如图甲，直角梯形中，，∥，为中点，在上，且∥，已知，现沿把四边形折起如图乙，使平面。 ()求证：∥平面；       (Ⅱ)求与平面所成角的正弦值。 参考答案： 21. 已知椭圆C：，直线与椭圆C相交于A、B两点，（其中O为坐标原点）。 （1）   试探究：点O到直线AB的距离是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由； （2）   求的最小值。 （3）   参考答案： （Ⅰ）点到直线的距离是定值.      设， ①当直线的斜率不存在时，则由椭圆的对称性可知，，. ∵，即，也就是，代入椭圆方程解得：. 此时点到直线的距离.         ………………………2分 ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 与椭圆联立， 消去得：， ，，               ………………………3分 因为，所以， 所以，           ………………………4分 代入得：， 整理得，                            ………………………5分 到直线的距离. 综上所述，点到直线的距离为定值.         ………………………6分 （Ⅱ）（法一：参数法）设，，设直线的斜率为，则的方程为，的方程为，  解方程组，得，   同理可求得， 故……………9分 令，则， 令，所以，即………………………………………………………………11分 当时，可求得，故，故的最小值为，最大值为2. ……………………………………………………………………13分 法二：（均值不等式法）由（Ⅰ）可知，到直线的距离. 在中，，故有， 即，             ………………………9分 而（当且仅当时取等号） 代入上式可得：， 即，（当且仅当时取等号）.   ………………11分 故的最小值为.                ………………………13分 法三：（三角函数法）由（Ⅰ）可知，如图，在中，点到直线的距离 .  设，则，故，.……9分 所以，，…………11分 显然，当，即时，取得最小值，最小值为.  …………13分 22. （本小题满分12分）在锐角中，角所对边分别为，已知. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，求的值. 参考答案： 解: （Ⅰ）在锐角中，由可得, 则    （Ⅱ） 由得,                   又由余弦定理得,可解得