2022-2023学年山东省潍坊市高密康成中学高三数学文上学期期末试题含解析

2022-2023学年山东省潍坊市高密康成中学高三数学文上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 以下命题正确的是（   ） （A）当从1，2，3，4，5中任取两个数和为偶数时，则所取这两个数分别为偶数的概率为 （B）线性相关的两个变量的回归方程为，则变量成正相关，相关系数为 （C）“若，则或”的逆命题为假命题 （D）复数，则 参考答案： A 略 2. 设则“且”是“”的 （    ） A. 充分而不必要条件             B．必要而不充分条件 C．充分必要条件　　　　　　　　 D．即不充分也不必要条件 参考答案： A 略 3. 设，集合，则（    ） A．           B．          C．           D． 参考答案： C 4. 一种电子计时器显示时间的方式如图所示，每一个数字都在固定的全等矩形“显示池”中显示，且每个数字都由若干个全等的深色区域“”组成．已知在一个显示数字8的显示池中随机取一点A，点A落在深色区域内的概率为．若在一个显示数字0的显示池中随机取一点B，则点B落在深色区域的概率为（   ） A．              B．           C.              D． 参考答案： B 5. 已知向量，满足||=1，||=2，且（+）⊥，则向量与的夹角为(     ) A．30° B．60° C．120° D．150° 参考答案： C 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】平面向量及应用． 【分析】由便得到，而根据已知，即可求得，求出cos，从而得到向量的夹角． 【解答】解：由已知条件得； ∴； ∴向量与的夹角为120°． 故选C． 【点评】考查两非零向量垂直的充要条件，以及数量积的运算，向量夹角的概念． 6. 三棱锥的四个顶点均在半径为2的球面上,且，平面平面，则三棱锥的体积的最大值为（   ）   A．4                  B．3                 C．             D． 参考答案： B 考点：球的内接几何体. 7. 设，则二项式展开式中的项的系数为     A．-20               B．20               C．-160             D．160 参考答案： 8. 若{an}是公差为的等差数列，它的前10项和为，则的值为（　　　　） A. 10 B. 10.5 C. 20 D. 20.5 参考答案： A 【分析】 由是公差为的等差数列,前10项和为,列式求出, 又,故求出即可. 【详解】∵是公差为的等差数列,它的前10项和为, ∴,解得, ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查等差数列中前5项和的求法,等差数列的性质等基础知识与运算求解能力,是基础题． 9. 如图,是一个几何体的三视图，侧视图和正视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的侧面积                               （   ） A．6 B． C．24 D．3 参考答案： C 10. 已知函数的导函数的图像如图所示，若为锐角三角形，则一定成立的是 （  ）                 A．   B． C．  D． 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 下面语句执行后输出的结果P的值为__________.       P=1; For i=1 to  6  p=p2; Next   输出P 参考答案： 64 略 12. 已知分别是椭圆（）的左、右焦点，过作垂直于轴的直线交椭圆于A、B两点，若为锐角三角形，则椭圆的离心率的范围是     ▲     . 参考答案：  答案：  13. （x++2）3的展开式中，x2的系数是　  　（用数字作答）． 参考答案： 6 【考点】二项式系数的性质． 【分析】先把三项式写成二项式，求得二项式展开式的通项公式，再求一次二项式的展开式的通项公式，令x的幂指数等于2，求得r、m的值，即可求得x2项的系数． 【解答】解（x++2）3=[（x+）+2]3 的展开式的通项公式为Tr+1=C3r23﹣r（x+）r． 对于（x+）r，通项公式为Tm+1=Crm?xr﹣2m． 令r﹣2m=2，根据0≤m≤r，r、m为自然数，求得r=2，m=0， x++2）3的展开式中，x2的系数是C322C20=6 故答案为：6 　 14. 过点P的直线交圆C：于A, B两点，C为圆心，则的最小值为_______． 参考答案： 答案：-4 15. 中，，，三角形面积，          参考答案： 略 16. ．A、B、C三所学校共有高三学生1500人，且A、B、C三所学校的高三学生人数成等差数列，在一次联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三学生中抽取容量为120的样本，进行成绩分析，则应从B校学生中抽取_________人． 参考答案： 40 略 17. 已知数列满足，则的值为 参考答案： 5 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，，，B1C的中点为O，若线段A1C1上存在点P使得PO⊥平面AB1C． （1）求AB； （2）求二面角A - B1C - A1的余弦值． 参考答案： （1）；（2）． （1）方法一：设的长为，依题意可知，，两两垂直，分别以，，的方向为，，轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示． 则，，，，，， 因此，，． 设，易求得点的坐标为， 所以． 因为平面，所以． 解之得，所以的长为． 方法二：如图，在平面内过点作的垂线分别交和于，，连接， 在平面内过点作的垂线交于，连接． 依题意易得，，，，，五点共面． 因为平面，所以．① 在中，，，因此为线段靠近的三等分点． 由对称性知，为线段靠近的三等分点，因此，． 代入①，得． （2）由（1）方法一可知，是平面的一个法向量且，． 设平面的法向量为，则可以为． ． 因为二面角为锐角，故所求二面角的余弦值为． 19. 已知函数的图象的一部分如右图所示．       (I)求函数的解析式；    ( II)求函数的最小正周期和最值。 参考答案： 略 20. 某学校高一、高二、高三三个年级共有名教师，为调查他们的备课时间情况，通过分层 抽样获得了名教师一周的备课时间，数据如下表(单位：小时)： (1)试估计该校高三年级的教师人数； (2)从高一年级和高二年级抽出的教师中，各随机选取一人，高一年级选出的人记为甲，高二年级选出的人记为乙，假设所有教师的备课时间相对独立，求该周甲的备课时间不比乙的备课时间长的概率； (3)再从高一、高二、高三三个年级中各随机抽取一名教师，他们该周的备课时间分别是(单位：小时)，这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为，表格中的数据平均数记为，试判断与的大小. (结论不要求证明) 参考答案： (1) 抽出的位教师中，来自高三年级的有名，根据分层抽样方法，高三年级的教师共有  (人). (2) 设事件为 “ 甲是现有样本中高一年级中的第个教师 ”, , 事件 “ 乙是现有样本中高二年级中的第个教师 ” ，,由题意知：, .设事件为“ 该周甲的备课时间比乙的备课时间长 ” . 由题意知，，所以 ， 故. (3)， ，三组总平均值，新加入的三个数的平均数为，比小，故拉低了平均值，. 本题主要考查分层抽样、相互独立性事件同时发生的概率、平均数，考查了分析问题与解决问题的能力.(1)由分层抽样法易得结论；(2)由相互独立性事件同时发生的概率公式求解即可；(3)由平均数公式求解可得结论. 21. 如图1，直角梯形ABCD中，，，；如图2，将图1中沿AC起，点D在平面ABC上的正投影G在△ABC内部，点E为AB的中点，连接BD，ED，三棱锥D-ABC的体积为． （1）求证：； （2）求点B到平面ACD的距离． 参考答案： （1）见解析；（2） 【分析】 （1）在图1中作的中点，在图1、图2中取的中点，可证面，从而得到要证明的线线垂直. （2）先计算，再利用可得到平面的距离为. 【详解】证明：（1）在直角梯形中，，， 在图1中作的中点，在图1、图2中取的中点， 连结， 则均为等腰直角三角形， 所以，， 又，故面， 又面，∴． 解：（2）∵面，面，面， ∴， ∵，∴，∴在的中垂线上， ∴垂直平分， ∵为中点，∴三点共线， 由，得是等腰直角三角形， ， 设到平面的距离为， 则由，得， ∴点到平面的距离． 【点睛】线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化. 点到平面的距离的计算可以利用面面垂直或线面垂直得到点到平面的距离，可以根据等积法把点到平面的距离归结为一个容易求得的几何体的体积（有时体积已知）.   22. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2b﹣c）cosA=acosC． （]）求角A的大小； （2）设=（0，﹣1），=（cosB，2cos2）．试求|+|的最小值． 参考答案： 【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理；余弦定理． 【分析】（1）根据正弦定理便可由（2b﹣c）cosA=acosC得，（2sinB﹣sinC）cosA=sinAcosC，由两角和的正弦公式便可得到2sinBcosA=sinB，从而得出，这便得出； （2）先得出，从而得出=，带入2B=（B+C）+（B﹣C），2C=（B+C）﹣（B﹣C），利用两角和差的余弦公式便可以化简成，从而看出B=C时，取到最小值，并可求出该最小值． 【解答】解：（1）根据正弦定理，b=2rsinB，c=2rsinC，a=2rsinA，带入（2b﹣c）cosA=acosC得： （4rsinB﹣2rsinC）cosA=2rsinAcosC； ∴（2sinB﹣sinC）cosA=sinAcosC； ∴2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB； ∴； ∴； （2）； ∴； ∴； ∴ = = = = =； ∴cos（B﹣C）=1，即B=C时，取最小值．