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江西省九江市定山中学2022年高三数学文期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 如图,在平面斜坐标系XOY中,,平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标这样定义:若(其中分别是X轴,Y轴同方向的单位向量)。则P点的斜坐标为(x,y),向量的斜坐标为(x,y)。有以下结论:
①若,P(2,-1)则
②若P(,Q,则
③若(,,则
④若,以O为圆心,1为半径的圆的斜坐标方程为
其中正确的结论个数为 ( )
A、1 B、2 C、3 D、4
参考答案:
C
2. 执行图中的程序框图(其中表示不超过的最大整数),则
输出的值为
. . . .
参考答案:
.
每次循环的结果分别为:,;,;
,;,;,;
,,这时,输出.故选.
【解题探究】本题考查程序框图的运算和对不超过的最大整数的理解.要得到该程序运行后输出的的值,主要依据程序逐级运算,并通过判断条件调整运算的续与结束,注意执行程序运算时的顺序.
3. 秦九韶是我国南宋时代的数学家,其代表作《数书九章》是我国13世纪数学成就的代表之一,秦九韶利用其多项式算法,给出了求高次代数方程的完整算法,这一成就比西方同样的算法早五六百年,如图是该算法求函数f(x)=x3+x+1零点的程序框图,若输入x=﹣1,c=1,d=0.1,则输出的x的值为( )
A.﹣0.6 B.﹣0.69 C.﹣0.7 D.﹣0.71
参考答案:
C
【考点】程序框图.
【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的x的值,即可得出结论.
【解答】解:x=﹣1,f(﹣1)=﹣1<0,c>d,x=﹣1+1=0,
第二次循环,x=0,f(0)=1>0,x=0﹣1=﹣1,c=0.1=d,x=﹣0.9
第3次循环,x=﹣0.9,f(﹣0.9)<0,x=﹣0.8,
第3次循环,x=﹣0.8,f(﹣0.8)<0,x=﹣0.7,
第4次循环,x=﹣0.7,f(﹣0.7)<0,x=﹣0.6,
第5次循环,x=﹣0.6,f(﹣0.6)>0,x=﹣0.7,c=0.01<d
停止循环,输出﹣0.7,
故选C.
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,正确依次写出每次循环得到的x的值是解题的关键,属于基本知识的考查.
4. 将函数的图象F向右平移,再向上平移3个单位,得到图象F′,若F′的一条对称轴方程是,则的一个可能取值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
将函数的图象F向右平移,得到函数的图像,再向上平移3个单位,得到函数的图像F′,因为F′的一条对称轴方程是,所以,所以,因为的一个可能取值是,选B。
5. 中国古代十进制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造.据史料推测,算筹最晚出现在春秋晚期战国初年,算筹记数的方法是:个位、百位、万位……的数按纵式的数码摆出;十位、千位、十万位……的数按横式的数码摆出.如7738可用算筹表示为.
1-9这9个数字的纵式与横式的表示数码如上图所示,则的运算结果可用算筹表示为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
6. 函数f(x)= cosx- cos(x+)的最大值为 ( )
A.2 B. C.1 D.
参考答案:
C
略
7. 已知函数的定义域为R,且满足下列三个条件:
①对任意的x1,x2∈[4,8],当x1<x2时,都有 >0;
②f(x+4)=﹣f(x);
③y=f(x+4)是偶函数;
若a=f(6),b=f(11),c=f(2017),则a,b,c的大小关系正确的是( )
A.a<b<c B.b<a<c C.a<c<b D.c<b<a
参考答案:
B
【考点】抽象函数及其应用.
【分析】根据题意,由①分析可得函数f(x)在区间[4,8]上为增函数,由②分析可得函数f(x)的周期为8,由③分析可得函数f(x)的图象关于直线x=﹣4和x=4对称,进而分析可得a=f(6),b=f(11)=f(3)=f(5),c=f(2017)=f(252×8+1)=f(1)=f(7),结合函数在[4,8]上的单调性,分析可得答案.
【解答】解:根据题意,
若对任意的x1,x2∈[4,8],当x1<x2时,都有>0,则函数f(x)在区间[4,8]上为增函数,
若f(x+4)=﹣f(x),则f(x+8)=﹣f(x+4)=f(x),即函数f(x)的周期为8,
若y=f(x+4)是偶函数,则函数f(x)的图象关于直线x=﹣4对称,又由函数的周期为8,则函数f(x)的图象也关于直线x=4对称,
a=f(6),b=f(11)=f(3)=f(5),c=f(2017)=f(252×8+1)=f(1)=f(7),
又由函数f(x)在区间[4,8]上为增函数,
则有b<a<c;
故选:B.
【点评】本题考查抽象函数的应用,关键是依据题意,分析函数的单调性和周期性.
8. 已知全集U=R,集合A={x|<0},B={x|x≥1},则集合{x|x≤0}等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
9.
4.已知直线,平面,且,那么“”是“”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
参考答案:
D
略
10. 已知i为虚数单位,则复数=( )
A.2+i B.2﹣i C.﹣1﹣2i D.﹣1+i
参考答案:
C
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【专题】数系的扩充和复数.
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.
解:=,
故选:C.
【点评】本题考查复数复数代数形式的乘除运算,是基础的计算题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(1)=0,则不等式<0的解集为________.
参考答案:
(-1,0)∪(0,1)
12. 若圆上有且只有两个点到直线的距离等于1,则半径r的取值范围是 .
参考答案:
(4,6)
平面内到直线的距离等于1的点在与已知直线平行,且距离等于1的两条平行线上,故只需圆与两条平行线有两个公共点即可,由图知,当时满足题意.
13. 不等式对任意恒成立的实数的
取值范围是 .
参考答案:
略
14. 的展开式中第4项的值是-40,则 。
参考答案:
15. 曲线y=2lnx在点(1,0)处的切线方程为__________.
参考答案:
y=2x–2
由 ,得
则曲线 在点(1,0)处的切线的斜率为 ,
则所求切线方程为 ,即 .
16. ,若,则 .
参考答案:
17. 定义在R上的奇函数满足则= .
参考答案:
【答案解析】-2解析:解:由条件,又因为函数为奇函数,所以=-2
【思路点拨】由条件可知函数的周期为3,再根据奇函数的性质可知结果.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数的定义域为,若在上为增函数,则称为“一阶比增函数”;若在上为增函数,则称为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为,所有“二阶比增函数”组成的集合记为. [来源:Z_xx_k.Com](Ⅰ)已知函数,若且,求实数的取值范围;
(Ⅱ)已知,且的部分函数值由下表给出,
求证:;
(Ⅲ)定义集合
请问:是否存在常数,使得,,有成立?若存在,求出的最小值;若不存在,说明理由.
参考答案:
解:(Ⅰ)且即在上是增函数,
而在不是增函数,而当是增函数时,
不是增函数时,,综上 .
(Ⅱ) 且,则
,同理,则有
,,又,
而,,.
(Ⅲ)
对任意,存在常数,使得,对成立.先证明对成立,假设存在,使得,记.
是二阶比增函数,即是增函数,时,,,
一定可以找到一个,使得,这与对,矛盾.
对成立. 即任意,对成立.
下面证明在上无解:假设存在,使得,一定存在,
,这与上面证明的结果矛盾,在上无解.
综上,对任意,对成立,存在,任意,
有成立,..
略
19. (本小题满分14分)
已知函数的导函数为偶函数,且曲线在点年的切线的斜率为2-c。
(1)确定的值;
(2)当c=1时,判断f(x)的单调性;
(3)若f(x)有极值,求c的取值范围。
参考答案:
(1)对求导得, , …………1分
由为偶函数,知, …………2分
即,所以. …………3分
又
解得. …………4分
(2)当时,,那么
…………6分
故在上为增函数. …………7分
(3)由(1)知,
而当时,等号成立. …………8分
下面分三种情况进行讨论.
当时,对任意,此时无极值; ……9分
当时,对任意,此时无极值; …10分
当时,令方程有两根,
…………11分
所以有两个根
当时,;当时,,
从而在处取得极小值. …………13分
综上,若有极值,则的取值范围为. …………14分
20. (14分)已知函数,设曲线在点处的切线与轴的交点为,其中为正实数
(1)用表示;
(2),若,试证明数列为等比数列,并求数列的通项公式;
参考答案:
解析:(1)由题可得,所以在曲线上点处的切线方程为
,即 -----------------2分
令,得,即
由题意得,所以 -----------------4分
(2)因为,所以
即,所以数列为等比数列故 ---8分
(3)当时,
当时,
所以数列的通项公式为,故数列的通项公式为
①
①的 ②
①
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