山东省聊城市三槐堂中学2022年高一数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在△ABC中，若sin2A＋sin2B=sin2C，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．不能确定
C．钝角三角形 D．直角三角形
参考答案：
D
2. 下列各组函数中是同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
参考答案：
D
3. 下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是（ ）
A．y=﹣x+1 B．y= C．y=x2﹣4x+5 D．y=
参考答案：
B
【考点】函数单调性的判断与证明．
【分析】本题考查的是对不同的基本初等函数判断在同一区间上的单调性的问题．在解答时，可以结合选项逐一进行排查，排查时充分考虑所给函数的特性：一次函数性、幂函数性、二次函数性还有反比例函数性．问题即可获得解答．
【解答】解：由题意可知：
对A：y=﹣x+1，为一次函数，易知在区间（0，2）上为减函数；
对B：y=，为幂函数，易知在区间（0，2）上为增函数；
对C：y=x2﹣4x+5，为二次函数，开口向上，对称轴为x=2，所以在区间（0，2）上为减函数；
对D：y=，为反比例函数，易知在（﹣∞，0）和（0，+∞）为单调减函数，所以函数在（0，2）上为减函数；
综上可知：y=在区间（0，2）上为增函数；
故选B．
4. 不等式的解集是（ ）
A．[－3，] B．[－，3]
C．[，1)∪(1，3] D．[－，1)∪(1，3]
参考答案：
D
【考点】其他不等式的解法．
【分析】本题为选择题，可考虑用排除法，也可直接求解．
【解答】解：本小题主要考查分式不等式的解法．易知x≠1排除B；由x=0符合可排除C；
由x=3排除A，故选D．也可用分式不等式的解法，将2移到左边直接求解
故选D
5. 已知的三边，面积满足,且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
D
6. 设x、y满足约束条件，则的最大值为（ ）
A. 0 B. 2
C. 3 D. 4
参考答案：
C
【分析】
作出不等式组所表示的可行域，平移直线，观察直线在轴上的截距最大时对应的最优解，再将最优解代入目标函数可得出结果.
【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图中的阴影部分区域表示：
联立，得，可得点的坐标为.
平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即，故选：C.
【点睛】本题考查简单线性规划问题，一般作出可行域，利用平移直线结合在坐标轴上截距取最值来取得，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
7. 一组数据的方差是，将这组数据中的每一个数据都乘以2，所得到的一组数据的方差是（）
A. B. C． D．
参考答案：
C
略
8. （5分）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x﹣1）的定义域为（）
A． （﹣1，1） B． （0，） C． （﹣1，0） D． （，1）
参考答案：
B
考点： 函数的定义域及其求法．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 原函数的定义域，即为2x﹣1的范围，解不等式组即可得解．
解答： ∵原函数的定义域为（﹣1，0），
∴﹣1＜2x﹣1＜0，即 ，
解得0＜x＜．
∴函数f（2x﹣1）的定义域为（0，）．
故选B．
点评： 考查复合函数的定义域的求法，注意变量范围的转化，属简单题．
9. 设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，+∞）时，f（x）是增函数，则f（﹣2），f（1），f（﹣3）的大小关系是（ ）
A．f（1）＞f（﹣3）＞f（﹣2） B．f（1）＞f（﹣2）＞f（﹣3） C．f（1）＜f（﹣3）＜f（﹣2） D．f（1）＜f（﹣2）＜f（﹣3）
参考答案：
D
【考点】函数单调性的性质；函数奇偶性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】先利用偶函数的性质，将函数值转化到同一单调区间[0，+∞）上，然后比较大小．
【解答】解：因为f（x）是偶函数，所以f（﹣3）=f（3），f（﹣2）=f（2）．
又因为函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，
故f（3）＞f（2）＞f（1）．
即f（﹣3）＞f（﹣2）＞f（1）．
故选D
【点评】本题考查了函数的单调性在比较函数值大小中的应用，要注意结合其它性质考查时，一般先将不同区间上的函数值转化到同一单调区间上再比较大小．
10. 已知等差数列的公差不为零，中的部分项构成等比数列，其中则等于（ ）
(A) (B) (C) (D)都不对
参考答案：
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 幂函数的图象过点，则的解析式是_____________________.
参考答案：
12. = .
参考答案：
略
13. 已知是奇函数，且，若，则__________．
参考答案：
令，由题可知，为奇函数，且，
∴，
∴，
故．
14. 已知平面内两个单位向量，的夹角为60°，，则的最小值为________．
参考答案：
【分析】
根据向量数量积运算法则可求得和，从而得到和，可得的几何意义为点到，的距离之和，从而利用对称求解出距离之和的最小值.
【详解】
的几何意义为点到，的距离之和
关于轴的对称点坐标为
本题正确结果：
【点睛】本题考查向量数量积和模长运算的应用问题，关键是能明确所求模长之和的几何意义，将所求问题转化为直线上动点到两定点距离之和的最小值的求解问题，从而利用对称的思想求得结果.
15. 的值为 ▲ ．
参考答案：
3
16. .
参考答案：
17. 函数的定义域为 ．
参考答案：
（0，1]
【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．
【专题】计算题．
【分析】根据偶次根式下大于等于0，对数的真数大于0建立不等式组，解之即可求出所求．
【解答】解：要使函数有意义则
由 ?0＜x≤1
故答案为：（0，1]．
【点评】本题主要考查了对数函数的定义域，以及根式函数的定义域和不等式组的解法，属于基础题．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．
（1）求证：PA∥面BDE；
（2）求证：平面PAC⊥平面BDE．
参考答案：
【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）连接OE，由中位线定理可知PA∥OE，故而PA∥面BDE；
（2）由BD⊥OP，BD⊥AC得出BD⊥平面PAC，从而得出平面PAC⊥平面BDE．
【解答】证明：（1）连接OE，
∵ABCD是正方形，O是正方形的中心，
∴O是AC的中点，又E是PC的中点，
∴OE∥PA，
又PA?平面BDE，OE?平面BDE，
∴PA∥面BDE．
（2）∵PO⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PO⊥BD，
∵ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
又PO?平面PAC，AC?平面PAC，PO∩AC=O，
∴BD⊥平面PAC，
又BD?平面BDE，
∴平面PAC⊥平面BDE．
19. 设是奇函数，当时，,求x<0时的解析式
参考答案：
解:设x<0,则-x>0
=-
f(x)是奇函数,,
f(x)= -
f(x)= 即x<0时，f(x)的解析式为f(x)=
略
20. 已知||=4，||=3，（2﹣3）?（2+）=61．
①与的夹角；
②求|+|和|﹣|．
参考答案：
【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量的模．
【分析】（1）根据平面向量的数量积求出夹角θ；
（2）由?的值，以及||与||的值，求出|+|与|﹣|的值．
【解答】解：（1）∵||=4，||=3，
∴（2﹣3）?（2+）=4﹣4?﹣3=61，
∴64﹣4?﹣27=61，
即﹣4?=24，
∴?=﹣6；
∴cosθ===﹣，
∴θ=120°；
（2）∵?=﹣6，
∴|+|=
=
=；
|﹣|=
=
=．
21. 定义在R上的函数，，当时，，且对任意实数，
有，
(1) 求证：； （2）求证：对任意的∈R，恒有>0；
（3）证明：是R上的增函数；（4）若，求的取值范围。、
参考答案：
（1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2∵ f(0)≠0 ∴ f(0)=1
（2）令a=x，b=-x则 f(0)=f(x)f(-x) ∴
由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0
∴ 又x=0时，f(0)=1>0 ∴ 对任意x∈R，f(x)>0
(3)任取x2>x1，则f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0
∴ ∴ f(x2)>f(x1) ∴ f(x)在R上是增函数
（4）f(x-2)·f(2x-x2)=f[x-2+(2x-x2)]=f(-x2+3x-2) 又1=f(0)，f(x)在R上递增
∴ 由f(3x-x2-2)>f(0)得：3x-x2-2>0 ∴ 1
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