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湖南省常德市澧县太青乡中学高一数学文月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若tan(α+β)=3,tan(α﹣β)=5,则tan2α=( )
A.
B.
﹣
C.
D.
﹣
参考答案:
B
2. 函数的增区间是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
3. 函数的值域是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
4. 下面有四个命题:
(1)集合中最小的数是;
(2)若不属于,则属于;
(3)若则的最小值为;
(4)的解可表示为;
其中正确命题的个数为( )
A.个 B.个 C.个 D.个
参考答案:
A 解析:(1)最小的数应该是,(2)反例:,但
(3)当,(4)元素的互异性
5. 一个长方体的长、宽、高分别为3、4、5,则这个长方体的对角线长是( )
A.12 B.10 C. D.
参考答案:
C
【考点】棱柱的结构特征.
【分析】根据长方体的特征,利用长方体的对角线公式可求.
【解答】解:由题意,长方体的对角线长是
故选C.
6. 已知,则的值是
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
7. 若函数,则函数定义域为
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
8. 函数的单调递增区间是
A. B.
C. D.
参考答案:
C
略
9. 从一批产品中取出三件,设A=“三件产品全不是次品”,B=“三件产品全是次品”,C=“三件产品不全是次品”,则下列结论正确的是( )
A. A与C互斥 B. B与C互斥
C. 任两个均互斥 D. 任两个均不互斥
参考答案:
B
考点: 互斥事件与对立事件.
专题: 阅读型.
分析: 事件C包括三种情况,一是有两个次品一个正品,二是有一个次品两个正品,三是三件都是正品,即不全是次品,把事件C同另外的两个事件进行比较,看清两个事件能否同时发生,得到结果.
解答: 解:由题意知事件C包括三种情况,
一是有两个次品一个正品,二是有一个次品两个正品,三是三件都是正品,
∴事件C中不包含B事件,
事件C和事件B不能同时发生,
∴B与C互斥,
故选B.
点评: 本题考查互斥事件和对立事件,是一个概念辨析问题,注意这种问题一般需要写出事件所包含的所有的结果,把几个事件进行比较,得到结论.
10. 函数的定义域为
A、 B、 C、 D、
参考答案:
A
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知是两个相互垂直的单位向量,则 .
参考答案:
12. 如图,在四边形ABCD中,已AB=1,BC=2,CD=3,∠ABC=120°,∠BCD=90°,则边AD的长为__________。
参考答案:
13. 向量满足,,则向量的夹角的余弦值为_____.
参考答案:
【分析】
通过向量的垂直关系,结合向量的数量积求解向量的夹角的余弦值.
【详解】向量,满足,,
可得:,,
向量的夹角为,
所以.
故答案为:.
【点睛】本题考查向量的数量积的应用,向量的夹角的余弦函数值的求法.考查计算能力.属于基础题.
14. 已知中, ,则的最小值为___________
参考答案:
略
15. 已知函数的图象与函y=g(x)的图象关于直线y=x对称,令h(x)=g(1﹣x2),则关于h(x)有下列命题:
①h(x)的图象关于原点对称;
②h(x)为偶函数;
③h(x)的最小值为0;
④h(x)在(0,1)上为增函数.
其中正确命题的序号为 .(将你认为正确的命题的序号都填上)
参考答案:
②③④
【考点】指数函数的图象与性质;对数函数的图象与性质.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】先根据函数f(x)=的图象与函数g(x)的图象关于直线y=x对称,求出函数g(x)的解析式,然后根据奇偶性的定义进行判定,根据复合函数的单调性进行判定可求出函数的最值,从而得到正确选项.
【解答】解:∵函数f(x)=的图象与函数g(x)的图象关于直线y=x对称,
∴g(x)=
∵h(x)=g(1﹣x2)=,x∈(﹣1,1)
而h(﹣x)==h(x)
则h(x)是偶函数,故①不正确,②正确
该函数在(﹣1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增
∴h(x)有最小值为0,无最大值
故选项③④正确,
故答案为:②③④
【点评】本题主要考查了反函数,以及函数的奇偶性、单调性和最值,同时考查了奇偶函数图象的对称性,属于中档题.
16. 若△ABC的三边长分别为10cm, 10cm, 16cm, 则△ABC的内切圆的半径为______________cm.
参考答案:
略
17. (3分)函数y=sin(ωx﹣)(ω>0)的最小正周期为π,则ω的值为 .
参考答案:
2
考点: 正弦函数的图象.
专题: 三角函数的图像与性质.
分析: 根据三角函数的周期公式求出ω即可.
解答: ∵函数y=sin(ωx﹣)(ω>0)的最小正周期为π,
∴周期T==π,解得ω=2,
故答案为:2.
点评: 本题主要考查三角函数周期的应用,要求熟练掌握三角函数的周期公式.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设求的最小值
参考答案:
解析:设解之得
于是所求式
19. 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知=.
(1)求的值
(2)若cosB=,b=2,求△ABC的面积S.
参考答案:
【考点】HR:余弦定理;HP:正弦定理.
【分析】(1)由正弦定理,三角形内角和定理,两角和的正弦函数公式化简已知可得sinC=2sinA,即可得解=2.
(2)由正弦定理可求c=2a,由余弦定理解得a=1,从而c=2.利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值,进而利用三角形面积公式即可计算得解.
【解答】(本题满分为12分)
解:(1)由正弦定理,则=,
所以=,
即(cosA﹣2cosC)sinB=(2sinC﹣sinA)cosB,化简可得sin(A+B)=2sin(B+C).
因为A+B+C=π,所以sinC=2sinA.
因此=2.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
(2)由=2,得c=2a,由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB,及cosB=,b=2,
得4=a2+4a2﹣4a2×.解得a=1,从而c=2.
因为cosB=,且sinB==,
因此S=acsinB=×1×2×=.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
20. (12分)已知
(1)若,求的值;
(2)若,求的值。
参考答案:
解:(1)…………3分
…………6分
(2)……ks5u…8分
…………10分
又……11分
………………12分
略
21. 在△ABC中,内角A、B、C所对边长分别为、、,已知.
(1)若△ABC的面积等于,求、的值;
(2)若,求△ABC的面积.
参考答案:
(1)∵,∴ ①
又,∴ ②
由①②得, …………………………………………6′
(2)∵
∴,即
∴或
当,即时,又,,∴,∴
当,即时,又,,∴正三角形面积
∴△ABC的面积或 …………………………………………12′
略
22. 现需要设计一个仓库,由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱ABCD - A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.
(1)若,,则仓库的容积是多少?
(2)若正四棱锥的侧棱长为6m,当PO1为多少时,下部的正四棱柱侧面积最大,最大面积是多少?
参考答案:
(1)(2)当为时,下部分正四棱柱侧面积最大,最大面积是.
【分析】
(1)直接利用棱锥和棱柱的体积公式求解即可;
(2)设,下部分的侧面积为,由已知正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.可以求出的长,利用正四棱锥的侧棱长,结合勾股定理,可以求出的长,由正方形的性质,可以求出的长,这样可以求出的表达式,利用配方法,可以求出的最大值.
【详解】(1),则,
.
,
故仓库的容积为.
(2)设,下部分的侧面积为,
则,
,,
,
设,
当即时,,
答:当为时,下部分正四棱柱侧面积最大,最大面积是.
【点睛】本题考查了棱锥、棱柱的体积计算,考查了求正四棱柱侧面积最大值问题,考查了配方法,考查了数学运算能力.
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