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2022-2023学年贵州省贵阳市乌当区水田中学高一数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数y=的图象与函数y=2sinπx(﹣2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )
A.2 B.4 C.6 D.8
参考答案:
D
【考点】3M:奇偶函数图象的对称性;H1:三角函数的周期性及其求法;H2:正弦函数的图象.
【分析】的图象由奇函数的图象向右平移1个单位而得,所以它的图象关于点(1,0)中心对称,再由正弦函数的对称中心公式,可得函数y2=2sinπx的图象的一个对称中心也是点(1,0),故交点个数为偶数,且每一对对称点的横坐标之和为2.由此不难得到正确答案.
【解答】解:函数,y2=2sinπx的图象有公共的对称中心(1,0),作出两个函数的图象如图
当1<x≤4时,y1<0
而函数y2在(1,4)上出现1.5个周期的图象,
在和上是减函数;
在和上是增函数.
∴函数y1在(1,4)上函数值为负数,且与y2的图象有四个交点E、F、G、H
相应地,y1在(﹣2,1)上函数值为正数,且与y2的图象有四个交点A、B、C、D
且:xA+xH=xB+xG═xC+xF=xD+xE=2,故所求的横坐标之和为8
故选D
2. 为了研究某班学生的脚长x(单位厘米)和身高y(单位厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,设其回归直线方程为.已知,,.该班某学生的脚长为24,据此估计其身高为( )
A.160 B.163 C.166 D.170
参考答案:
B
由已知.
3. 下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是 ( )
A. B. C. D
参考答案:
A
略
4. 如图,M是△ABC的边AB的中点,若,, 则
A. B. C. D.
参考答案:
B
5. 已知Sn是等差数列{an}的前n项和,则2(a1+a3+a5)+3(a8+a10)=36,则S11=( )
A.66 B.55 C.44 D.33
参考答案:
D
【考点】85:等差数列的前n项和.
【分析】利用等差数列的通项公式与性质与求和公式即可得出.
【解答】解:由等差数列的性质可得:2(a1+a3+a5)+3(a8+a10)=36,∴6a3+6a9=36,即a1+a11=6.
则S11==11×3=33.
故选:D.
6. 函数 和函数 的图象画在同一个坐标系中,得到的图象只可能是下面四个图象中的
参考答案:
D
7. 函数是上的偶函数,则的值是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
8. 在△ABC中,若,则△ABC是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
参考答案:
D
9. 下列命题中错误的是 ( )
A.如果平面⊥平面,那么平面内一定存在直线平行于平面
B.如果平面不垂直于平面,那么平面内一定不存在直线垂直于平面
C.如果平面⊥平面,平面⊥平面,,那么⊥平面
D.如果平面⊥平面,那么平面内所有直线都垂直于平面
参考答案:
D
10. 如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为( )
A.9π B.18π C.27π D.54π
参考答案:
B
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;由三视图求面积、体积.
【分析】由已知中的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的圆锥,代入圆锥体积公式,可得答案.
【解答】解:由已知中的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的圆锥,
圆锥的底面直径为6,故底面半径r=3,
圆锥的高h=6,
故圆锥的体积V==18π,
故选:B
【点评】本题考查的知识点是圆锥的体积和表面积,简单几何体的三视图,难度中档.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. ks5u
等差数列中,,,则数列的前9项的和等于
参考答案:
99
12. 若函数f(x)=,则f(log23)=( )
A.3 B.4 C.16 D.24
参考答案:
D
【考点】对数的运算性质;函数的周期性;函数的值.
【分析】先根据对数函数的性质判断log23的范围,代入相应的解析式求解,再判断所得函数值的范围,再代入对应解析式求解,利用对数的恒等式“=N”进行求解.
【解答】解:∵log23<4,∴f(log23)=f(log23+3),
∵log23+3>4,∴f(log23+3)===24.
故选D.
13. 在锐角三角形ABC,A、B、C的对边分别为a、b、c,,则____
参考答案:
5
14. D、C、B在地面同一直线上,DC=100米,从D、C两地测得A的仰角分别为和,则A点离地面的高AB等于 .米.
参考答案:
略
15. (5分)已知点A(4,﹣2)和点B(2,4),则线段AB的垂直平分线方程为 .
参考答案:
x﹣3y=0
考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系.
专题: 直线与圆.
分析: 由中点公式和斜率公式以及垂直关系可得直线的斜率和过的定点,可得点斜式方程,化为一般式即可.
解答: ∵点A(4,﹣2)和点B(2,4),
∴AB的中点为(3,1),
由斜率公式可得kAB==﹣3,
∴由垂直关系可得所求直线的斜率为,
∴所求直线的方程为y﹣1=(x﹣3)
化为一般式可得x﹣3y=0
故答案为:x﹣3y=0
点评: 本题考查直线的一般式方程和垂直关系,属基础题.
16. 若命题“,使得”是假命题,则实数的取值范围为__________.
参考答案:
[-1,3]
若命题“,使得”是假命题,
则对,都有,
∴,
即,
解得,
即实数的取值范围为[-1,3].
17. 若数列满足,且有一个形如的通项公式,其中、均为实数,且,,则________, .
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数.
⑴判断函数的奇偶性,并证明;
⑵利用函数单调性的定义证明:是其定义域上的增函数.
参考答案:
解:(1)为奇函数.
的定义域为,
又
为奇函数.
(2) 任取、,设,
, 又,
.在其定义域R上是增函数.
略
19. 已知函数满足;
(1)若方程有唯一解,求的值;
(2)若函数在区间上不是单调函数,求实数的取值范围.
参考答案:
(1)…………………8分
(2)…………………13分
20. (本小题满分16分)已知函数(a是常数)是奇函数.
(1)求实数a的值;
(2)求函数的值域;
(3)设函数,求的值.
参考答案:
解:(1)由函数是奇函数,得对任意,.即
解得. …………………… ……………………5分
(2)由(1)知,因为,所以,则.所以函数的值域为.……………………10分
(3)因为函数是奇函数,所以对任意,,即,所以,所以
.…………16分
21. 为了了解初三女生身高情况,某中学对初三女生身高情况进行了一次测量,所得数据整理后列出了频率分布表如下:
组 别
频数
频率
145.5~149.5
1
0.02
149.5~153.5
4
0.08
153.5~157.5
20
0.40
157.5~161.5
15
0.30
161.5~165.5
8
0.16
165.5~169.5
m
n
合 计
M
N
(1)求出表中m,n,M,N所表示的数分别是多少?
(2)画出频率分布直方图;
(3)全体女生中身高在哪组范围内的人数最多?
参考答案:
【分析】(1)由频率的意义知,N=1,n=1﹣(0.02+0.08+0.40+0.30+0.16),由第一组的频率和频数,可求得m=2,M=1+4+20+15+8+2,从而得到结论.
(2)频率分布直方图如图.
(3)由频率分步表可得全体女生中身高在153.5~157.5这一组范围内的人数最多.
【解答】解:(1)由频率的意义知,N=1,…
n=1﹣(0.02+0.08+0.40+0.30+0.16)=0.04,…
由第一组的频率和频数,可求得m=2,M=1+4+20+15+8+2=50.…
∴m=2,n=0.04,M=50,N=1.…
(2)频率分布直方图如图.
…
(3)由频率分步表可得全体女生中身高在153.5~157.5这一组范围内的人数最多,为20人.…
【点评】本题主要考查频率分步表、频率分步直方图的应用,属于基础题.
22. 若,设其定义域上的区间().
(1)判断该函数的奇偶性,并证明;
(2)当时,判断函数在区间()上的单调性,并证明;
(3)当时,若存在区间(),使函数f(x)在该区间上的值域为,求实数m的取值范围.
参考答案:
(1)奇函数,证明见解析;(2)在()为增函数,证明见解析;(3)
【分析】
(1)首先求出函数的定义域,再根据定义法证明函数的奇偶性;
(2)利用定义法证明函数的单调性,按照:设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可;
(3)由(1)得,当时,在为减函数,故若存在定义域,,使值域为,则有,从而问题可转化为,是方程的两个解,进而问题得解.
【详解】解:(1)因为
由解得或,即的定义域为,关于原点对称.
为奇函数.
(2)在()为增函数;
证明:的定义域为,则?.
设,,则,且,,
,
即,
因为时,所以,即,
所以在()为增函数.
(3)由(1)得,当时,在()为递减函数,
若存在定义域(),使值域为,
则有
,是方程在上的两个相异的根,
即,
即在上的两个相异的根,
令,
则在有2个零点,
解得
即当时,,
当时,方程组无解,即()不存在.
【点睛】本题主要考查函数奇偶性的证明以及函数单调性和值域的关系,结合对数函数的性质转化为一元二次方程,利用根的分布是解决本题的关键,考查学生的转化能力,属于难题.
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