湖北省襄阳市第三十一中学高二数学理月考试卷含解析

湖北省襄阳市第三十一中学高二数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在△ABC中，其中有两解的是（   ）   A. a=8,b=16,A=30°          B. a=30,b=25,A=150°                C  a=72,b=50,A=135°        D. a=18,b=20,A=60° 参考答案： C 2. 已知（为常数）在上有最小值，那么此函数在上的最大值为(      ) A． B． C． D． 参考答案： D 3. 若P是平面 a 外一点，A为平面 a 内一点，为平面a 的一个法向量，则点P到平面a的距离是 A．      B．       C．       D． 参考答案： C 略 4. 已知点在椭圆上，则的最大值是（   ） A、          B、            C、           D、 参考答案： C 略 5. 过双曲线左焦点F1的弦AB长为6，则△ABF2（F2为右焦点）的周长是（　　） A．12 B．14 C．22 D．28 参考答案： D 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】由双曲线方程求得a=4，由双曲线的定义可得 AF2+BF2 =22，△ABF2的周长是（ AF1 +AF2 ）+（ BF1+BF2 ）=（AF2+BF2 ）+AB，计算可得答案． 【解答】解：由双曲线的标准方程可得 a=4，由双曲线的定义可得 AF2﹣AF1=2a，BF2 ﹣BF1=2a，∴AF2+BF2 ﹣AB=4a=16，即AF2+BF2 ﹣6=16，AF2+BF2 =22． △ABF2（F2为右焦点）的周长是 （ AF1 +AF2 ）+（ BF1+BF2 ）=（AF2+BF2 ）+AB=22+6=28． 故选  D． 【点评】本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出AF2+BF2 =22 是解题的关键． 6. 在△ABC中，若sinC=2cosAsinB，则此三角形必是 （　　） A．等腰三角形 B．正三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 参考答案： A 【考点】三角形的形状判断． 【分析】由三角形的内角和定理及诱导公式得到sinC=sin（A+B），利用两角和与差的正弦函数公式化简，代入已知的等式中，整理后，再利用两角和与差的正弦函数公式变形，得到sin（A﹣B）=0，由A和B都为三角形的内角，得到A﹣B的范围，利用特殊角的三角函数值得到A﹣B=0，即A=B，从而得到三角形必是等腰三角形． 【解答】解：由A+B+C=π，得到C=π﹣（A+B）， ∴sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B），又sinC=2cosAsinB， ∴sin（A+B）=2cosAsinB， 即sinAcosB+cosAsinB=2cosAsinB， 整理得sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B）=0， 又A和B都为三角形的内角，∴﹣π＜A﹣B＜π， ∴A﹣B=0，即A=B， 则此三角形必是等腰三角形． 故选A 7. 若x＞2m2-3的充分不必要条件是-1＜x＜4，则实数m的取值范围是（　　） A. [-3，3]            B. （-∞，-3]∪[3，+∞） C. （-∞，-1]∪[1，+∞）     D. [-1，1] 参考答案： D -1＜x＜4是x＞2m2-3的充分不必要条件， ∴-1≥2m2-3，解得-1≤m≤1． 故选：D．   8. 在复平面内，复数（是虚数单位）对应的点位于（   ）      A．第一象限        B．第二象限            C．第三象限            D．第四象限 参考答案： C 9. 已知全集，集合，则=    （A）          （B）  （C）           (D) 参考答案： B 10. 线性回归方程必经过的点是(     ). A.（0,）      B.       C.    D. 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若直线与抛物线交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，则此直线的斜率是______________. 参考答案： 2 略 12. 已知下列命题： ①命题“”的否定是“”； ②已知为两个命题，若为假命题，则为真命题； ③“”是“”的充分不必要条件； ④“若则且”的逆否命题为真命题. 其中 真命题的序号是__________．（写出所有满足题意的序号） 参考答案： ② 【分析】 ①写出命题“”的否定，即可判定正误； ②由为假命题，得到命题都是假命题，由此可判断结论正确； ③由时，不成立，反之成立，由此可判断得到结论； ④举例说明原命题是假命题，得出它的逆否命题也为假命题． 【详解】对于①中，命题“”的否定为“”，所以不正确； 对于②中，命题满足为假命题，得到命题都是假命题，所以都是真命题，所以为真命题，所以是正确的； 对于③中，当时，则不一定成立，当时，则成立，所以是成立的必要不充分条件，所以不正确； 对于④中，“若则且”是假命题，如时， 所以它的逆否命题也是假命题，所以是错误的； 故真命题的序号是②． 【点睛】本题主要考查了命题的否定，复合命题的真假判定，充分与必要条件的判断问题，同时考查了四种命题之间的关系的应用，试题有一定的综合性，属于中档试题，着重考查了推理与论证能力． 13. 双曲线的焦点到该双曲线渐近线距离为_______． 参考答案： 3 由题得：其焦点坐标为 ，渐近线方程为 所以焦点到其渐近线的距离 即答案为3． 14. 已知点M在直线（t为参数）上，点N为曲线（为参数）上的动点，则的最小值为________________. 参考答案： 【分析】 先求出直线的普通方程，再求出点到直线的距离，再利用三角函数的性质求出|MN|的最小值. 【详解】由题得直线方程为， 由题意，点到直线的距离， ∴. 故答案为： 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查点到直线的距离的最值的求法和三角函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 15. 某人要测量一座山的高度，他在山底所在的水平面上，选取在同一直线上的三点进行测量。他在A点测得山顶的仰角是,在B点测得山顶的仰角是，在C点测得山顶的仰角是，若,则这座山的高度为    ___   （结果用表示）。 参考答案： 16. 已知复数（i是虚数单位），则的值为__________. 参考答案： 5 试题分析：. 考点：复数的运算，复数的模． 17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则          ． 参考答案： 在中，，设 可得的值分别为 ，再由正弦定理得：，故答案为.   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分12分） 如图.正方体中，点为的中点. 求证：（Ⅰ）面； （Ⅱ）. 参考答案： 19. 如图，已知圆O的直径AB=4，定直线L到圆心的距离为4，且直线L⊥直线AB。点P是圆O上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交L与M、N点。 试建立适当的直角坐标系，解决下列问题： （1）若∠PAB=30°，求以MN为直径的圆方程； （2）当点P变化时，求证：以MN为直径的圆必过圆O内的一定点。  参考答案： （1）（2）存在点。 建立如图所示的直角坐标系，⊙O的方程为，直线L的方程为。 （1）∵∠PAB=30°，∴点P的坐标为，∴，。将x=4代 20. 已知函数在处取得极值.   （1）求a,b （2）讨论和是函数f(x)的极大值还是极小值； （3）过点作曲线y= f(x)的切线，求此切线方程. 参考答案： （1）解：，依题意，，即     解得. （2）.   令，得. 若，则，故 f(x)在上是增函数， f(x)在上是增函数. 若，则，故f(x)在上是减函数. 所以，是极大值；是极小值. （3）解：曲线方程为，点不在曲线上. 设切点为，则点M的坐标满足. 因，故切线的方程为 注意到点A（0，16）在切线上，有   化简得，解得. 所以，切点为，切线方程为.   略 21. 已知圆C经过A（3，2）、B（1，6），且圆心在直线y=2x上． （Ⅰ）求圆C的方程． （Ⅱ）若直线l经过点P（﹣1，3）与圆C相切，求直线l的方程． 参考答案： 【分析】（Ⅰ）根据已知设出圆的标准方程，将点A，B的坐标代入标准方程，解方程组即可求出圆心及半径，从而得到圆C的方程． （Ⅱ）根据已知设出直线方程，利用直线与圆相切的性质d=r即可求出直线斜率k，从而求出直线方程． 【解答】解：（Ⅰ）∵圆心在直线y=2x上， 故可设圆心C（a，2a），半径为r． 则圆C的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣2a）2=r2． ∵圆C经过A（3，2）、B（1，6）， ∴． 解得a=2，r=． ∴圆C的标准方程为 （x﹣2）2+（y﹣4）2=5． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，圆C的圆心为C（2，4），半径r=． 直线l经过点P（﹣1，3）， ①若直线斜率不存在， 则直线l：x=﹣1． 圆心C（2，4）到直线l的距离为 d=3＜r=，故直线与圆相交，不符合题意． ②若直线斜率存在，设斜率为k， 则直线l：y﹣3=k（x+1）， 即kx﹣y+k+3=0． 圆心C（2，4）到直线l的距离为 d==． ∵直线与圆相切， ∴d=r，即=． ∴（3k﹣1）2=5+5k2， 解得k=2或k=． ∴直线l的方程为2x﹣y+5=0或x+2y﹣5=0． 【点评】本题考查圆的标准方程，直线与圆相切的性质，点到直线的距离公式等知识的综合应用，属于中档题． 22. （本小题满分12分）已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）设，若对任意，，不等式 恒成立，求实数的取值范围。 参考答案： 解：（I） ，    ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 由及得；由及得， 故函数的单调递增区间是；单调递减区间是。．．．4分 （II）若对任意，，不等式恒成立， 问题等价于，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 由（I）可知，在上，是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点，故也是最小值点，所以；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 当时，； 当时，； 当时，；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 问题等价于 或 或．．．．．．．．．．．11分 解得 或 或 即，所以实数的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分