河南省南阳市四里店中学2022年高二数学理下学期期末试题含解析

河南省南阳市四里店中学2022年高二数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知平面的法向量是，平面的法向量是，若， 则的值是（    ） A．    B．      C．6           D．  参考答案： C 略 2. 函数在区间内（    ） A.有最大值，无最小值                B.有最大值，有最小值    C.无最大值，无最小值               D.无最大值，有最小值 参考答案： A 3. 已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足·，则的最大值是（    ） A．           B．2              C．1              D． 参考答案： A 4. 已知下列命题：①二次函数有最大值；②正项等差数列的公差大于零；③函数的图象关于原点对称．其中真命题的个数为 A. 0 B. 1 C 2 D. 3 参考答案： B 【分析】 根据命题真假的判断条件，按涉及到的知识进行判断，对于①，没有给出a的值，结合二次函数的图象，判断二次函数的最值与a的取值关系，从而判断该命题的真假；对于②，举特例，例如递减的每项为正的等差数列，根据公差的值做出判断；对于③，根据幂函数的性质判断图象是否关于原点对称. 【详解】解：①假命题，反例：当，抛物线开口向上，有最小值； ②假命题，反例：若数列为递减数列，如数列20，17,14,11,8,5,2，它的公差是-3； ③真命题，是奇函数，所以其图象关于原点对称. 故选B. 【点睛】本题主要考查命题真假的判断，需根据所学的知识进行判断，相对不难. 5. 设，则（    ） A．都不大于－4 B．都不小于－4 C．至少有一个不大于－4 D．至少有一个不小于－4 参考答案： C 略 6. 下列函数中，满足“对,当时，都有”的是（    ） （A）     （B）    （C）      （D） 参考答案： B 7. 已知i为虚数单位, 若复数i，i，则    A．i                B. i            C. i             D．i 参考答案： A 略 8. 展开式的常数项为（） A. 112 B. 48 C. -112 D. -48 参考答案： D 【分析】 把按照二项式定理展开，可得的展开式的常数项。 【详解】由于 故展开式的常数项为，故选：D。 【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查了二项式展开式，属于基础题. 9. 函数f(x)＝alnx＋x在x＝1处取得极值，则a的值为（   ） A、                      B、                       C、                      D、   参考答案： B 略 10. 已知函数，则（    ） A．4            B．              C．-4          D． 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知全集集合则            参考答案： 12. 过点P(3，4)的动直线与两坐标轴的交点分别为A，B，过A，B分别作两轴的垂线交于点M，则点M的轨迹方程是        。 参考答案： 试题分析：设M（x，y）由题意可知A（x，0），B（0，y）， 因为A，B，P三点共线，所以,共线， ＝(3?x，4)，＝(?3，y?4)， 所以（3-x）（y-4）=-12，即4x+3y=xy， 所以点M的轨迹方程为：4x+3y=xy．. 考点：轨迹方程． 13. 如图是一个正方体的表面展开图，A、B、C均为棱的中点，D是顶点，则在正方体中，异面直线AB和CD的夹角的余弦值为               。 参考答案： 14. 已知条件“”；条件“”，是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____________. 参考答案： 略 15. 展开式中各项的系数的和为(　　)        A．            B．             C．              D． 参考答案： C 略 16. 已知矩形的长，宽，将其沿对角线折起，得到四面体，如图所示， 给出下列结论： ①四面体体积的最大值为； ②四面体外接球的表面积恒为定值； ③若分别为棱的中点，则恒有且；  ④当二面角为直二面角时，直线所成角的余弦值为； ⑤当二面角的大小为时，棱的长为． 其中正确的结论有                 (请写出所有正确结论的序号)． 参考答案： ②③④ 17. 已知△ABC中，a=,b=,B=60°,那么角A等于__________． 参考答案： 45° 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 计算：的值   参考答案： 466   略 19. 如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面AA1B1B，，． （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）求直线A1B1与平面BB1C1C所成角的正弦值． 参考答案： (Ⅰ)见解析；(Ⅱ) 【分析】 (Ⅰ)如图做辅助线，D为AB中点，连，，由是等边三角形可知，，且，则是等边三角形，，故平面，平面，那么得证。(Ⅱ)建立空间直角坐标系以D为原点，先根据已知求平面的一个法向量，再求向量，设直线与平面所成的角为，则，计算即得. 【详解】(Ⅰ)取中点，连,因为， 所以,所以平面因为平面 所以 . (Ⅱ)以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 可得, ,,, 设平面的一个法向量为 则，而. 所以.又，设直线与平面所成的角, 则 20. 如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1B1B为正方形，BB1C1C是菱形，平面AA1B1B⊥平面BB1C1C． （Ⅰ）求证：BC∥平面AB1C1； （Ⅱ）求证：B1C⊥AC1． 参考答案： 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定． 【专题】空间位置关系与距离． 【分析】（Ⅰ）根据线面平行的判定定理即可证明BC∥平面AB1C1； （Ⅱ）先证明AB⊥平面BB1C1C，得AB⊥B1C，再证明B1C⊥平面ABC1，得出B1C⊥AC1； 【解答】证明：（Ⅰ）因为ABC﹣A1B1C1是三棱柱， 所以BC∥B1C1， 因为BC?∥平面AB1C1， B1C1?平面AB1C1， 所以BC∥平面AB1C1； （Ⅱ）连接BC1，在正方形ABB1A1中，AB⊥BB1， 因为平面AA1B1B⊥平面BB1C1C， 平面AA1B1B∩平面BB1C1C=BB1， AB?平面ABB1A1， 所以AB⊥平面BB1C1C； 又因为B1C?平面BB1C1C， 所以AB⊥B1C； 在菱形BB1C1C中，BC1⊥B1C； 因为BC1?平面ABC1，AB?平面ABC1，且BC1∩AB=B， 所以B1C⊥平面ABC1； 因为AC1?平面ABC1， 所以B1C⊥AC1． 【点评】本题考查了空间中的平行与垂直的判断与直线的应用问题，也考查了判断空间中的四点是否共面问题，是综合性题目． 21.   将下列问题的算法改用 “Do…End Do”语句表示,并画出其流程图。 参考答案： 22. 已知在的展开式中，第4项为常数项 （1）求f（x）的展开式中含x﹣3的项的系数； （2）求f（x）的展开式中系数最大的项． 参考答案： 【考点】二项式定理的应用；二项式系数的性质． 【专题】转化思想；综合法；二项式定理． 【分析】（1）利用通项公式根据第4项为常数项，求得n的值，可得f（x）的展开式中含x﹣3的项的系数． （2）根据通项公式可得f（x）的展开式中系数最大的项，即r=4，或r=5，从而得出结论． 【解答】解：（1）在的展开式中，第4项为T4=x9﹣n，为常数项， ∴n=9，故=，它的通项公式为Tr+1=x3r﹣9， 令3r﹣9=﹣3，求得r=2，可得f（x）的展开式中含x﹣3的项的系数为=36． （2）f（x）的展开式中系数最大的项，即r=4，或r=5， 故系数最大的项为第五项或第六项，即T5=x3，T6=x9． 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．