2022-2023学年安徽省安庆市赛口中学高三数学理下学期期末试题含解析

2022-2023学年安徽省安庆市赛口中学高三数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若关于x的方程没有实数根，则实数a的取值范围是(　 　). A. (－e2,0]     B. [0,e2)     C.(－e,0]       D.[0,e) 参考答案： A 因为不满足方程， 所以原方程化为化为， ，令， 时，； 时， ， 令， + 0 - 递增   递减   当， 即时，， 综上可得，的值域为， 要使无解，则， 即使关于的方程没有实数根的实数的取值范围是，故选A.   2. 已知集合，，则 （A）　　（B）　　（C）　　（D） 参考答案： D 【命题意图】本小题主要考查解不等式、交集等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，考查数学运算． 【试题简析】因为，，所以，故选D. 【错选原因】错选A：误求成； 错选B：集合解错，解成； 错选C：集合解错，解成. 3. 已知，分别为双曲线，的左、右焦点，若在右支上存在点，使得点到直线的距离为，则该双曲线的离心率的取值范围是(      ) A．    B．    C．      D． 参考答案： C 略 4. 当双曲线的焦距取得最小值时，其渐近线的方程为（　　） A．y=±x B．C．D． 参考答案： B 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】根据题意，由双曲线的标准方程分析可得其焦距2c=2=2，由二次函数的性质分析可得当m=1时，双曲线的焦距最小，将m的值代入双曲线方程可得此时双曲线的方程，由双曲线的渐近线方程计算可得答案． 【解答】解：根据题意，双曲线的方程为， 其焦距2c=2=2， 分析可得：当m=1时，双曲线的焦距最小， 此时双曲线的方程为：﹣=1， 其渐近线的方程为y=±x， 故选：B． 　 5. 已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图像与y＝|lgx|的图像的交点共有(　　) A．10个        B．9个     C．8个  D．1个 参考答案： A 略 6. 函数的图象大致是 参考答案： A 略 7. 若，则      (    ） A．       B．        C．       D． 参考答案： C 8. 已知全集，，，则（?uM）N为 A.     B.     C.     D. 参考答案： C 9. 函数的图象的一条对称轴的方程是     (A)    (B)    (C)    (D) 参考答案： A 略 10. 直线x+-2=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点，则弦AB的长度等于     A.    B .     C.        D.1 参考答案： B． 求弦长有两种方法，一、代数法：联立方程组，解得A、B两点的坐标为，所以弦长；二、几何法：根据直线和圆的方程易知，圆心到直线的距离为，又知圆的半径为2，所以弦长. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为　　（结果保留π）． 参考答案： 12π 【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）． 【分析】设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为h，根据侧面积公式算出底面半径r=3，用勾股定理算出高h==4，代入圆锥体积公式即可算出此圆锥的体积． 【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为h ∵圆锥的母线长为l=5，侧面积为15π， ∴×l×r=15π，解之得底面半径r=3 因此，圆锥的高h==4 ∴圆锥的体积为：V=πr2h=×π×9×4=12π 故答案为：12π 12. 在△中，内角所对的边为，点是其外接圆上的任意一点，若 ，则的最大值为   . 参考答案： 13. 已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角的大小是____. 参考答案： 120° 由条件知|a|＝，|b|＝2，a＋b＝(－1，－2)，∴|a＋b|＝，∵(a＋b)·c＝，∴×·cosθ＝，其中θ为a＋b与c的夹角，∴θ＝60°. ∵a＋b＝－a，∴a＋b与a方向相反，∴a与c的夹角为120°. 14. 设d为等差数列{an}的公差，数列{bn}的前n项和Tn，满足（），且，若实数（，），则称m具有性质，若是数列的前n项和，对任意的，都具有性质，则所有满足条件的k的值为________. 参考答案： 3或4 【分析】 讨论的奇偶两种情况得到，进而得到，再计算得到，根据，计算，代入不等式得到，得到答案. 【详解】数列的前项和，满足，代入计算得到； ，， 相减得到： 当为奇数时： 当为偶数时： 综上所述： 故 所以 ，故 ，即恒成立. 综上所述： 故或 故答案为：或4 【点睛】本题考查了数列的通项公式，前N项和，恒成立问题，将数列的恒成立问题转化为数列的最值问题是解题的关键. 15. 设等比数列的公比q=2，前n项和为Sn， 则=         。 参考答案： 略 16. 中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将圆O的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”．给出下列命题： ①对于任意一个圆O，其“优美函数”有无数个； ②函数f（x）=ln（x+）可以是某个圆的“优美函数”； ③余弦函数y=f（x）可以同时是无数个圆的“优美函数”； ④函数y=f（x）是“优美函数”的充要条件为函数y=f（x）的图象是中心对称图形． 其中正确的命题是　    　（写出所有正确命题的序号） 参考答案： ①②④ 【考点】2K：命题的真假判断与应用；3O：函数的图象． 【分析】利用新定义逐个判断函数是否满足新定义即可． 【解答】解：①对于任意一个圆O，其“优美函数”有无数个，注意函数是奇函数，即可得到结果．①是“优美函数”． ②函数f（x）=ln（x+）可以是某个圆的“优美函数”； 因为函数f（x）=ln（x+）是奇函数，满足优美函数的定义，所以②满足题意； ③余弦函数y=f（x）=cosx是偶函数，不可以同时是无数个圆的“优美函数”；所以③不正确． ④函数y=f（x）是“优美函数”的充要条件为函数y=f（x）是奇函数，它的图象是中心对称图形．所以④满足题意． 故答案为：①②④． 17. 已知函数f（x）=x|x﹣2|，则不等式的解集为     ． 参考答案： [﹣1，+∞） 【考点】函数的图象． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】化简函数f（x），根据函数f（x）的单调性，解不等式即可． 【解答】解：当x≤2时，f（x）=x|x﹣2|=﹣x（x﹣2）=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1≤1， 当x＞2时，f（x）=x|x﹣2|=x（x﹣2）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，此时函数单调递增． 由f（x）=（x﹣1）2﹣1=1，解得x=1+． 由图象可以要使不等式成立， 则， 即x≥﹣1， ∴不等式的解集为[﹣1，+∞）． 故答案为：[﹣1，+∞）． 【点评】本题主要考查不等式的解法，利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键，使用数形结合是解决本题的基本思想． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知抛物线顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上一点到焦点的距离为3，线段的两端点， 在抛物线上. （1）求抛物线的方程； （2）在抛物线上存在点，满足，若是以角为直角的等腰直角三角形，求面积的最小值. 参考答案： （1）设抛物线的方程为，抛物线的焦点为，则，所以，则抛物线的方程为. （2）如图所示， 设， ，，根据抛物线关于轴对称，取，记， ， 则有， ，所以， ， ， 又因为是以为顶点的等腰直角三角形，所以， 即，将代入得：     化简求出，得： ， 则，可以先求的最小值即可， ，令， 则 所以可以得出当即时， 最小值为，此时，即当， ， 时， 为等腰直角三角形，且此时面积最小，最小值为16. 19. （12分） 设函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x＝1处取得极值－2，试用c表示a和b，并求f(x)的单调区间。 参考答案： 解析：依题意有而 故 解得  从而 。 令，得或。 由于在处取得极值，故，即。 （1）       若，即，则当时，； 当时，；当时，； 从而的单调增区间为；单调减区间为 （2）       若，即，同上可得， 的单调增区间为；单调减区间为 20. （2016?临汾二模）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点D为斜边BC上一点，且AC=CD=2． （1）若CD=2BD，求AD的值； （2）若AD=BD，求角B的正弦值． 参考答案： 【考点】三角形中的几何计算． 【分析】（1）依题意得DB=1，BC=CD+DB=3．在Rt△ABC中，求出cosC，在△ADC中，由余弦定理得：，即可． （2）在△ADC中，由余弦定理得：AD2=8﹣8cosC．在Rt△ABC中，，可得BD．由8﹣8cosC=2?（）2．解得cosC即可． 【解答】解：（1）∵CD=2DB=2，∴DB=1，BC=CD+DB=3． 在Rt△ABC中，cosC=， 在△ADC中，由余弦定理得：， ∴AD=． （2）在△ADC中，由余弦定理得：AD2=AC2+CD2﹣2AC?CDcosC=8﹣8cosC． 在Rt△ABC中，，∴BD=BC﹣CD=． ∵AD2=2DB2，∴8﹣8cosC=2?（）2．解得cosC=， ∵，∴sinB=cosC=． 【点评】本题考查了正弦、余弦定理在解三角形中的应用，同时考查了方程的思想及运算能力，属于中档题． 21. （12分）已知函数 （1）求函数f(x)的最小值和最小正周期；（4分） （2）设△ABC的内角的对边分别为a,b,c且=，，若向量共线，求的值. （8分） 参考答案： （1） ……………………………2分  ∴ ， T=        ………………………………………4分   （2） …………………………6分 由余弦定理得： ①…………………………8分 又∵向量共线 ∴     ②  …………………………10分 联立①②得：…………………………12分 22. 如图＜1＞：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2，AD=6，CE⊥AD于E点，把△DEC沿CE折到D′EC的位置，使D′A=2，如图＜2＞：若G，H分别为D′B，D′E的中点． （Ⅰ）求证：GH⊥D′A； （Ⅱ）求三棱锥C﹣D′BE的体积． 参考答案： 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LO：空间中直线与直线之间的位置关系． 【分析】（Ⅰ）通过证明：AD′⊥AE，AD′⊥AC，推出AD′⊥平面ABCD，推出AD′⊥BE，通过证明GH∥BE，推出GH⊥D′A； （Ⅱ）三棱锥C﹣D′BE的体积．直接利用棱锥的体积公式求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2，AD=6，CE⊥AD于E点，把△DEC沿CE折到D′EC的位置，使D′A=2，ED=4，连结BE，GH，在三角形AED′中， 可得ED′2=AE2+AD′2，可得AD′⊥AE，DC==2， AC=2，可得AC2+AD′2=CD′2，可得AD′⊥A