河北省沧州市中捷高级中学2022年高一数学理期末试题含解析

河北省沧州市中捷高级中学2022年高一数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. tan20°＋tan40°＋tan20°tan40°的值为   (　　) 参考答案： B 2. 下列函数中，在（0，+∞）上单调递减，并且是偶函数的是（　　） A．y=x2 B．y=﹣x3 C．y=﹣lg|x| D．y=2x 参考答案： C 【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】根据函数的奇偶性和单调性加以判定． 【解答】解：四个函数中，A，C是偶函数，B是奇函数，D是非奇非偶函数， 又A，y=x2在（0，+∞）内单调递增， 故选：C． 【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题． 3. 在中，若，，则的形状为…………………（  ▲  ） A．等腰三角形    B．直角三角形   C．等腰直角三角形  D．等腰或直角三角形 参考答案： C 略 4. 下列四个数中数值最大的是（　　） A．1111（2） B．16 C．23（7） D．30（6） 参考答案： D 【考点】EM：进位制． 【分析】利用进位制转化，再比较大小即可． 【解答】解：对于A，1111（2）=1×1+1×2+1×4+1×8=15， 对于C，23（7）=2×7+3×1=17； 对于D，30（6）=3×6+0×1=18， ∴四个数中数值最大的是18，即30（6）． 故选：D． 5. 已知函数, (x∈R)，下面结论错误的是(　　) A．函数f(x)的最小正周期为π   B．函数f(x)的图象关于直线x＝对称 C．函数f(x)是奇函数          D．函数f(x)在区间上是增函数 参考答案： D 6. 函数f（x）=sinx﹣cosx的图象（　　） A．关于直线x=对称 B．关于直线x=﹣对称 C．关于直线x=对称 D．关于直线x=﹣对称 参考答案： B 【考点】三角函数的化简求值；正弦函数的图象． 【分析】函数解析式提取，利用两角差的正弦函数公式化简，利用正弦函数图象的性质即可做出判断． 【解答】解：函数y=sinx﹣cosx=sin（x﹣）， ∴x﹣=kπ+，k∈Z，得到x=kπ+，k∈Z， 则函数的图象关于直线x=﹣对称． 故选：B． 【点评】本题考查了两角差的正弦函数公式，考查正弦函数图象的性质，熟练掌握公式是解本题的关键，是基础题． 　 7. tan45°＋sin30°＝ (A)           (B)       (C)             (D) 参考答案： B =， 故选B.   8. 下列函数中与函数是同一个函数的是 A.   B.       C.    D. 参考答案： B 略 9. 过圆x2+y2﹣4x=0外一点P（m，n）作圆的两条切线，当这两条切线互相垂直时，m，n 应满足的关系式为（　　） A．（m﹣2）2+n2=4 B．（m+2）2+n2=4 C．（m﹣2）2+n2=8 D．（m+2）2+n2=8 参考答案： C 【考点】直线与圆的位置关系；两条直线垂直的判定． 【分析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径r，根据题意画出图形，如图所示，证明四边形PQMN为边长为半径r的正方形，则点P到圆心间的距离为正方形对角线的长，由正方形的边长求出对角线的长，然后由P和M的坐标，利用两点间的距离公式表示出线段PM的长，让其值等于对角线的长，即可得到m与n满足的关系式． 【解答】解：把圆的方程化为标准方程：（x﹣2）2+y2=4， 故圆心坐标为（2，0），半径r=2， 根据题意画出图形，如图所示： 连接MQ，MN，得到∠MQP=∠MNP=90°，又∠QPN=90°， ∴PQMN为矩形，又MQ=MN=2， ∴PQMN为边长为2的正方形， 则|PM|=2，即（m﹣2）2+n2=8． 故选C 10. 已知O是锐角三角形△ABC的外接圆的圆心,且若：则    （　▲　） A． B． C． D．不能确定 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. f ( x )是定义域为R的偶函数，且f ( 1 + x ) = f ( 1 – x )，当– 1 ≤ x ≤ 0时，f ( x ) = –x， 则f ( 8.6 ) =             。 参考答案： 0.3 12. 若角的终边落在射线上，则________. 参考答案： 0 13. 参考答案： 8 14. 将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移个单位，则所得函数图像对应的解析式为_______ 参考答案： 略 15. 将正整数排成下表：   1 2     3     4 5     6     7     8     9 10    11    12    13    14      15      16 。。。。。。。。。。。。。。 则数表中的2008出现在第行．   参考答案： 45 略 16. .如图，为了测量树木AB的高度，在C处测得树顶A的仰角为60°，在D处测得树顶A的仰角为30°，若米，则树高为______米. 参考答案： 【分析】 先计算，再计算 【详解】在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为 则 在中， 故答案为 【点睛】本题考查了三角函数的应用，也可以用正余弦定理解答. 17. 已知，那么___________ 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （12分）中日“钓鱼岛争端”问题越来越引起社会关注，我校对高一600名学生进行了一次“钓鱼岛”知识测试，并从中抽取了部分学生的成绩（满分100分）作为样本，绘制了下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图． （1）填写答题卡频率分布表中的空格，补全频率分布直方图,并标出每个小矩形对应的纵轴数据； （2）试估计该年段成绩在段的有多少人； （3）请你估算该年级的平均分. 参考答案： （1） (2)312 (3)81.4 试题分析：（1）频数一列应为：16  50   频率一列为：0.2  0.32 纵轴数据为：0.004  0.016   0.020   0.028   0.032 (2) 在50人中，在的频率为由此可以估计年级段在 的人数有 (3) 设所求平均数为，由频率分布直方图可得： 所以该年级段的平均分数约为81.4分 考点：频数、频率和样本容量 19. 已知函数， （1）若，求该函数的单调增区间；（2）若，求该函数的最大值，最小值； 参考答案： 20. 已知函数的定义域为A，函数的值域为B， （1）求集合A、B，并求；  （2）若C＝，且，求实数a的取值范围. 参考答案： （1）∵A＝＝   A＝…………2分 ∵   ∴  ∴B＝   …………4分 ∴＝ ………………6分 （2）∵C＝，且          ∴，……………………10分 21. （13分）如图，在三棱柱ABC﹣A′B′C′中，CC′⊥底面ABC，∠ACB=90°，AC=BC=CC′=a，E是A′C′的中点，F是AB的中点． （1）求证：BC⊥平面ACC′A′； （2）求证：EF∥平面BCC′B′； （3）设二面角C′﹣AB﹣C的平面角为θ，求tanθ的值． 参考答案： 考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定． 专题： 空间位置关系与距离；空间角． 分析： （1）根据线面垂直的判定定理证明AC⊥BC，即可证明BC⊥平面ACC′A′； （2）根据线面平行的判定定理证明EF∥BG即可证明EF∥平面BCC′B′； （3）根据二面角的定义先求出二面角的平面角，结合三角形的边角关系即可求tanθ的值． 解答： （1）证明：∵CC′⊥底面ABC， ∴CC′⊥BC ∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC， 又AC∩CC′=C， ∴BC⊥平面ACC′A． （2）证明：取B′C′的中点G，连接EG、BG， 又E是A′C′的中点， 则EG∥A′B′且等于A′B′的一半． ABCEFG ∵F是AB中点， ∴BF∥A′B′且等于A′B′的一半， ∴EG与BF平行且相等． ∴四边形EGBF是平行四边形，∴EF∥BG， 又EF?平面BCC′B′，BG?平面BCC′B′， ∴EF∥平面BCC′B′ （3）连接FC、FC′． ∵AC=BC，F是AB中点， ∴CF⊥AB， 又∵CC′⊥底面ABC， ∴CC′⊥AB， ∴AB⊥平面CFC′， ∴C′F⊥AB， ∴∠C′FC为二面角C′﹣AB﹣C的平面角， 即θ=∠C′FC， 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=a，F是AB中点， ∴CF=， 又△C′FC是直角三角形，且∠C′CF=90°，CC′=a， ∴tanθ=tan∠C′FC=． 点评： 本题主要考查线面平行和垂直的判定，以及二面角的求解，要求熟练掌握相应的判定定理以及，利用向量法求解二面角的大小． 22. 已知二次函数，，的最小值为．  （1）求函数的解析式；  （2）设，若在上是减函数，求实数的取值范围；  （3）设函数，若此函数在定义域范围内不存在零点，求实数的取值范围.     参考答案： 解：（1）设又，，，…4分 (2) , ①     当时，在[-1,1]上是减函数，∴.…1分 ②     当时，对称轴方程为:. ⅰ)当时，，所以，得；…1分 ⅱ)当时，，所以，得.…1分 综上，．…1分 (3) 函数在定义域内不存在零点,必须且只须有 有解,且无解. …1分 即,且1不在的值域内． 的最小值为，函数的值域为．…1分 ，解得． 的取值范围为．…2分（其它解法同样给分）