安徽省安庆市洲头乡中学高三数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列判断错误的是
A. “”是“”的充分不必要条件
B. 命题“”的否定是“”
C. 若为假命题,则p, q均为假命题
D. 若则=1
参考答案：
C
略
2. 若,则的元素个数为( )
0 1 2 3
参考答案：
C
3. 从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数,则这个数能被 3整除的概率为 （ ）
参考答案：
A
4. 已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R），则“f（x）是奇函数”是“φ=”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
B
略
5. 已知x、y都是区间[0，]内任取的一个实数，则使得y≤sinx的取值的概率是（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
考点： 几何概型；定积分．
专题： 概率与统计．
分析： 根据几何概型的概率公式，结合积分的应用求出对应的面积即可得到结论．
解答： 解：此题为几何概型，事件A的度量为函数y=sinx的图象在内与x轴围成的图形的面积，
即，则事件A的概率为，
故选A
点评： 本题主要考查几何概型的概率计算以及利用积分求面积，要求熟练掌握几何概型的求解方法．
6. 已知函数，若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2），则x1?f（x2）的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
C
【考点】函数的零点；函数的值域；不等关系与不等式．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据函数的解析式画出函数的图象，根据题意数形结合求得x1?f（x2）的取值范围．
【解答】解：①当 0≤x＜时，≤f（x）=x+＜1．故当x=时，f（x）=．
②当≤x≤1时，≤f（x）=3x2≤3，故当x=时，f（x）=1．
若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2）=k，则 ≤x1 ＜≤x2 ＜1，
如图所示：
显然当k=f（x1）=f（x2）=时，x1?f（x2）取得最小值，
此时，x1=，x2=，x1?f（x2）的最小值为 =．
显然，当k=f（x1）=f（x2）趋于1时，x1?f（x2）趋于最大，
此时，x1趋于，x2趋于，x1?f（x2）趋于 =．
故x1?f（x2）的取值范围为 ，
故选C．
【点评】本题考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．
7. 函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
C
试题分析：A、当时，，所以不正确；B、当时，，所以不正确；D、当时，，所以不正确；综上所述，故选C. 1
考点：函数的图象与性质.
【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考察函数的解析式、定义域、值域、单调性以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.本题主要是利用特殊点排除法解答的.
8. （5分）圆心角为135°，面积为B的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A，则A：B等于（）
A． 11：8 B． 3：8 C． 8：3 D． 13：8
参考答案：
A
考点： 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
专题： 空间位置关系与距离．
分析： 设扇形半径为1，l为扇形弧长，也为圆锥底面周长，由扇形面积公式求得侧面积，再利用展开图的弧长为底面的周长，求得底面半径，进而求底面面积，从而求得表面积，最后两个结果取比即可．
解答： 解：设扇形半径为1，则扇形弧长为1×=，
设围成圆锥的底面半径为r，则2πr=，
∴r=，
扇形的面积B=×1×=，
圆锥的表面积A=B+πr2=+=，
∴A：B=11：8
故选：A．
点评： 本题主要考查圆锥的侧面积和表面积的求法，同时，还考查了平面与空间图形的转化能力，属基础题．
9. 设，，，则
A. B. C. D.
参考答案：
B
略
10. 已知向量a，b满足|a|=1，a·b=－1，则a·(2a－b)=
A．4 B．3 C．2 D．0
参考答案：
B
因为
所以选B.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知是奇函数,且,若,则_______
参考答案：
-1
略
12. 在二项式的展开式中，只有第4项的系数最大，则展开式中
项的系数为 （用数字作答）．
参考答案：
20
因为在二项式的展开式中，只有第4项的系数最大，所以展开式有7项，所以n=6. 所以展开式的通项为
所以展开式中项的系数为故填20.
13. 我们把离心率e=的双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）称为黄金双曲线．如图是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0，c=）的图象，给出以下几个说法：
①双曲线x2﹣=1是黄金双曲线；
②若b2=ac，则该双曲线是黄金双曲线；
③若F1，F2为左右焦点，A1，A2为左右顶点，B1（0，b），B2（0，﹣b）且∠F1B1A2=90°，则该双曲线是黄金双曲线；
④若MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2，∠MON=90°，则该双曲线是黄金双曲线．
其中正确命题的序号为 ．
参考答案：
①②③④
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】利用双曲线的简单性质分别求出离心率，再利用黄金双曲线的定义求解．
【解答】解：①双曲线x2﹣=1中，
∵e==，
∴双曲线x2﹣=1是黄金双曲线，故①正确；
②b2=ac，则e===，
∴e2﹣e﹣1=0，解得e=，或e=（舍），
∴该双曲线是黄金双曲线，故②正确；
③如图，F1，F2为左右焦点，A1，A2为左右顶点，
B1（0，b），B2（0，﹣b），且∠F1B1A2=90°，
∴，即b2+2c2=（a+c）2，
整理，得b2=ac，由②知该双曲线是黄金双曲线，故③正确；
④如图，MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2，∠MON=90°，
∴NF2=OF2，∴，∴b2=ac，
由②知该双曲线是黄金双曲线，故④正确．
故答案为：①②③④．
【点评】本题考查黄金双曲线的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的灵活运用．
14. 已知正三棱锥，点都在半径为的球面上，若两两互相垂直，则球心到截面的距离为
参考答案：
略
15. （坐标系与参数方程选做题）直线（）被圆截得的弦长为_________.
参考答案：
【知识点】选修4-4 参数与参数方程N3
【答案解析】 ∵直线 （t为参数）
∴直线的普通方程为x+y-1=0圆心到直线的距离为d==，
l=2 ，故答案为：．
【思路点拨】先将直线的参数方程化成普通方程，再根据弦心距与半径构成的直角三角形求解即可．
16. 如图，观察下列与方格中数字的规律，如果在的方格上仿上面的规则填入数字，则所填入的个数字的总和为 .
参考答案：
略
17. 已知函数向左平移个单位，得到函数，则 ，
的递增区间是 ．
参考答案：
,
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (文) （本小题满分12分）有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.
优秀
非优秀
总计
甲班
10
乙班
30
合计
105
已知从全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为.
(1)请完成上面的列联表；
(2)根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；
(3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到6号或10号的概率．
（参考公式：，）
参考答案：
19. 已知a，b为常数，a 1 0，函数．
（1）若a = 2，b = 1，求在（0，+∞）内的极值；
（2）① 若a > 0，b > 0，求证：在区间[1，2]上是增函数；
② 若，，且在区间[1，2]上是增函数，求由所有点形成的平面区域的面积．
参考答案：
域.
由所有点形成的平面区域为 (如图所示),
略
20. 已知函数，.
（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）若恒成立，求的取值范围.
参考答案：
解：（1）
∴函数最小正周期是
由，得
所以函数单调递增区间为
（2）由恒成立，得恒成立
∵对任意实数，恒成立
∴
所以t的取值范围为
略
21. 已知椭圆=1的一个焦点为F（2，0），且离心率为
（1）求椭圆方程；
（2）过点M（3，0）作直线与椭圆交于A，B两点，求△OAB面积的最大值．
参考答案：
【考点】K4：椭圆的简单性质．
【分析】（1）依题意有c=2， =，又a2=b2+c2，联立解出即可得出．
（2）由题意可知过点M的直线斜率存在且不等于0，设直线方程为y=k（x﹣3）．与椭圆方程联立可得（1+3k2）y2+6ky+3k2=0，利用根与系数的关系可得：S△OAB=|OM|?|y1﹣y2|=3=3，令3k2+1=t≥1，可得S△OAB=3=3，利用二次函数的单调性即可得出．
【解答】解：（1）依题意有c=2， =，又a2=b2+c2，
可得a2=6，b2=2．
故椭圆方程为=1．
（2）由题意可知过点M的直线斜率存在且不等于0，设直线方程为y=k（x﹣3）．
联立方程组，消去x得（1+3k2）y2+6ky+3k2=0，
∴y1+y2=﹣，y1y2=，
∴S△OAB=|OM|?|y1﹣y2|=×3×
=3=3=3，
令3k2+1=t≥1，则S△OAB=3=3≤，当且仅当t=，即k2=，k=时取等号．
∴△OAB面积的最大值为．
22. 已知f(x)是定义在(0，+∞)上的增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(2)＝1.
(1）求证：f(8)＝3 (2)求不等式f(x)－f(x－2)>3的解集.
参考答案：
（1）由题意得f(8)＝f(4×2)＝f(4)＋f(2)＝f(2×2)＋f(2)＝
f(2)＋f(2)＋f(2)＝3f(2)
又∵f(2)＝1 ∴f(8)＝3
(2) 不等式化为f(x)>f(x－2)+3
∵f(8)＝3 ∴f(x)>f(x－2)＋f(8)＝f(8x－16)
∵f(x)是（0，+∞）上的增函数
∴解得2
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