广东省河源市广华中学高二数学理下学期期末试卷含解析

广东省河源市广华中学高二数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如表是某厂1﹣4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：由散点图可知，用水量y与月份x之间有线性相关关系，其线性回归方程是=﹣0.7x+，则=（　　） 月份x 1 2 3 4 用水量y 4.5 4 3 2.5 A．5.15 B．5.20 C．5.25 D．5.30 参考答案： C 【考点】线性回归方程． 【专题】概率与统计． 【分析】首先求出x，y的平均数，根据所给的线性回归方程知道的值，根据样本中心点满足线性回归方程，把样本中心点代入，得到关于的一元一次方程，解方程即可． 【解答】解： =（1+2+3+4）=2.5， =（4.5+4+3+2.5）=3.5， 将（2.5，3.5）代入线性回归直线方程是=0.7x+，可得3.5=﹣1.75+， 故=5.25． 故选：C． 【点评】本题考查回归分析，考查样本中心点满足回归直线的方程，考查求一组数据的平均数，是一个运算量比较小的题目． 2. 以下四个命题中正确的是 (　　) A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示 B．若为空间向量的一组基底，则构成空间向量的另一组基底 C．为直角三角形的充要条件是 D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底 参考答案： B 略 3. 已知一组数据为20、30、40、50、60、60、70，则这组数据的众数、中位数、平均数的大小关系为（  ） A．中位数 >平均数 >众数     B．众数 >中位数 >平均数 C．众数 >平均数 >中位数     D．平均数 >众数 >中位数 参考答案： B 略 4. 已知D是由不等式组，所确定的平面区域，则圆 在区域D内的弧长为 (  )  A           B        C          D 参考答案： B 5. 定义在R上的偶函数 ，则下列关系正确的是（    ）    A               B      C               D   参考答案： C 略 6. 设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】函数的单调性与导数的关系． 【分析】先根据导函数的图象确定导函数大于0 的范围和小于0的x的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间． 【解答】解：由y=f'（x）的图象易得当x＜0或x＞2时，f'（x）＞0， 故函数y=f（x）在区间（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递增； 当0＜x＜2时，f'（x）＜0，故函数y=f（x）在区间（0，2）上单调递减； 故选C． 7. 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这三张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多一张，不同取法的总数为   A  232     B   252    C  472    D  484 参考答案： C 略 8. 甲、乙两人进行三打二胜的台球赛，已知每局甲取胜的概率为0．6，乙取胜的概率为0．4，那么最终乙胜甲的概率为（    ）                                               (A)0.36    (B)0.352      (C)  0.432       (D)  0.648 参考答案： B 略 9. 函数f(x)＝ln(x2＋1)的图像大致是                               （   ）   参考答案： A 10. 已知i是虚数单位，复数z满足z=i（i﹣1），则z的虚部是（　　） A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i 参考答案： B 【考点】A5：复数代数形式的乘除运算． 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：∵z=i（i﹣1）=i2﹣i=﹣1﹣i， ∴z的虚部是﹣1． 故选：B． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，分别求，，，然后归纳猜想一般性结论             ． 参考答案： 12. 原命题：“设复数（为虚数单位），若为纯虚数，则”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有________个. 参考答案： 1     13. 从1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得到一般规律为________． 参考答案： n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2 14. 设F1，F2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，且F1P⊥PF2，则△F1PF2的面积为　   　． 参考答案： 1 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】由已知得|PF1|+|PF2|=4，|F1F2|=2，由勾股定理得|PF1|?|PF2|=2，由此能求出△F1PF2的面积． 【解答】解：∵F1，F2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，且F1P⊥PF2， ∴|PF1|+|PF2|=4，|F1F2|=2， ∴|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|?|PF2|=16， ∴|F1F2|2+2|PF1|?|PF2|=16， ∴12+2|PF1|?|PF2|=16， ∴2|PF1|?|PF2|=4，∴|PF1|?|PF2|=2， ∴△F1PF2的面积S=|PF1|?|PF2|==1． 故答案为：1． 15. 已知为偶函数，则      ▲       ． 参考答案： 16. 函数(其中)的图象在处的切线方程是　　　　　. 参考答案： 略 17. 抛物线的准线方程是　　▲　　． 参考答案： y=-1 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知抛物线C的顶点在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且焦点F（2，0）。 (1)求抛物线C的标准方程； (2)直线过焦点F与抛物线C相交与M，N两点，且，求直线的方程 参考答案： 略 19. 已知定义域为R，对任意都有，当时，，. （1）求和的值； （2）试判断在R上的单调性，并证明； （3）解不等式：. 参考答案： （1），；（2）见解析；（3） 【分析】 （1）令代入，即可求出；令代入，即可求出； （2）根据函数单调性的定义，结合题中条件，即可判断出结果； （3）根据题意，将原不等式化为，再由（2）的结果，即可求出不等式的解集. 【详解】（1）因为对任意都有， 所以，令，则，所以； 令，则，因为， 所以； （2）任取， 则 ，，当时，， ， 在上单调递减； （3）因为， 所以原不等式可化为；即， 由（2）可得， 解得或； 即原不等式的解集为. 【点睛】本题主要考查赋值法求函数值，抽象函数单调性的判定，以及根据函数单调性解不等式等问题，熟记函数单调性的定义即可，属于常考题型. 20. （本小题满分12分）已知二次函数f(x)满足：①在x=1时有极值；②图象过点(0,-3)，且在该点处的切线与直线2x+y=0平行． ⑴求f(x)的解析式； ⑵求函数g(x)=f(x2)的单调递增区间.   参考答案： 解：⑴设f(x)=ax2+bx+c，则f ￠(x)=2ax+b．     由题设可得：即解得 所以f(x)=x2-2x-3．   ⑵g(x)=f(x2)=x4－2x2－3，g ￠(x)=4x3－4x=4x(x－1)(x+1)．列表：      由表可得：函数g(x)的单调递增区间为(-1,0)，(1,+∞)． 略 21. 袋中有除颜色外完全相同的红、黄、白三种颜色的球各一个，从中每次任取1个．有放回地抽取3次，求： （1）3个全是红球的概率．     （2）3个颜色全相同的概率． （3）3个颜色不全相同的概率．  （4）3个颜色全不相同的概率． 参考答案： 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【专题】综合题． 【分析】（1）求出第一次为红球的概率，第二次为红球的概率，第三次为红球的概率，利用相互独立事件的概率公式求出概率 （2）三个球颜色相同，包含三个事件，求出各个事件的概率，据互斥事件的概率公式求出概率． （3）事件“3个颜色不全相同”与事件“3个颜色全相同”为对立事件，利用对立事件的概率公式求出概率． （4）据排列求出三个球的颜色各不同的取法，利用古典概型的概率公式求出概率． 【解答】解：（1）第1次红的，第2次也是，第3次也，所以3个全是红球的概率． （2）颜色全部相同包含全红、全黄、全白，所以3个颜色全相同的概率为． （3）“3个颜色不全相同”是“3个颜色全相同”的对立事件，所以3个颜色不全相同的概率为1﹣ （4）3个颜色全不相同的概率 【点评】求事件的概率关键是判断出事件是独立事件的积事件还是互斥事件的和事件，选择合适的公式求出事件的概率． 22. （12分）已知F1，F2分别是双曲线C：(a＞0)的左右焦点，点P是双曲线上任一点，且||PF1|﹣|PF2||=2，顶点在原点且以双曲线的右顶点为焦点的抛物线为L． （Ⅰ）求双曲线C的渐近线方程和抛物线L的标准方程； （Ⅱ）过抛物线L的准线与x轴的交点作直线，交抛物线于M、N两点，问直线的斜率等于多少时，以线段MN为直径的圆经过抛物线L的焦点？ 参考答案： 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】（Ⅰ）由双曲线的定义可知，2a=2，即a=1，即可得到双曲线C的渐近线方程，即可求出抛物线L的焦点坐标为A（1，0），即可求出抛物线L的标准方程； （Ⅱ）设直线MN的斜率为k，则其方程为y=k（x+1）．联立方程组，得到得k2x2+2（k2﹣2）x+k2=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），根据韦达定理和MF⊥NF，即可求出k的值． 【解答】解：（Ⅰ）由双曲线的定义可知，2a=2，即a=1． ∴双曲线的标准方程为． ∴双曲线的渐近线方程 y=±3x． 双曲线的右顶点坐标为A（1，0），即抛物线L的焦点坐标为A（1，0）， ∴抛物线L的标准方程为y2=4x， （Ⅱ）抛物线y2=4x的准线与对称轴的交点为（﹣1，0）． 设直线MN的斜率为k，则其方程为y=k（x+1）． 由，得k2x2+2（k2﹣2）x+k2=0． ∵直线MN与抛物线交于M、N两点， ∴△=4（k2﹣2）2﹣4k4＞0，解得﹣1＜k＜1． 设M（x1，y1），N（x2，y2），抛物线焦点为F（1，0）， ∵以线段MN为直径的圆经过抛物线焦点，∴MF⊥NF． ∴，即y1y2+x1x2﹣（x1+x2）+1=0． 又，x1x2=1，且y1，y2同号， ∴．解得，∴． 即直线的斜率等于时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点． 【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，韦达定理，考查分析问题、解决问题及计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．