重庆开县第一中学2022年高二数学理联考试题含解析

重庆开县第一中学2022年高二数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设函数可导，则等于（    ） A．          B．         C．          D． 参考答案： A 2. 两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是（　　） A．48，49 B．62，63 C．75，76 D．84，85 参考答案： D 【考点】进行简单的合情推理． 【分析】本题考查的知识点是归纳推理，分析已知图形中座位的排列顺序，我们不难发现座位排列的规律，即被5除余1的数，和能被5整除的座位号临窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号，不难判断正确的答案． 【解答】解：由已知图形中座位的排列顺序， 可得：被5除余1的数，和能被5整除的座位号临窗， 由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗， 分析答案中的4组座位号， 只有D符合条件． 故选D 3. 双曲线的两条渐近线所成的锐角是（      ） A．30°         B．45°        C．60°       D．75° 参考答案： C 4. 在一个棱长为3cm的正方体的表面涂上颜色，将其适当分割成棱长为1cm的小正方体，全部放入不透明的口袋中，搅拌均匀后，从中任取一个，取出的小正方体表面仅有一个面涂有颜色的概率是（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】等可能事件的概率． 【分析】由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，满足条件的事件是取出的小正方体表面仅有一个面涂有颜色，有6种结果，根据等可能事件的概率得到结果． 【解答】解：在27个小正方体中，恰好有三个面都涂色有颜色的共有8个，恰好有两个都涂有颜色的共12个，恰好有一个面都涂有颜色的共6个，表面没涂颜色的1个． 由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果 ，满足条件的事件是取出的小正方体表面仅有一个面涂有颜色，有6种结果，所以所求概率为=． 故选C． 5. 已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程是，则双曲线的离心率是（   ） A.          B.        C.       D. 参考答案： B 略 6. 设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 分别判断a，b，c与0,1的大小关系得到答案. 【详解】 故答案选B 【点睛】本题考查了根据函数单调性判断数值大小，01分界是一个常用的方法. 7. 已知集合，集合，则          （    ） A.           B.         C.              D.       参考答案： D 8. 已知两个数列3，7，11，…，139与2，9，16，…，142，则它们所有公共项的个数为（   ） A．4        B．5         C．6         D．7 参考答案： B 9. 如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1，CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】LM：异面直线及其所成的角． 【分析】根据题意可设CB=1，CA=CC1=2，分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系，得到A、B、B1、C1四个点的坐标，从而得到向量与的坐标，根据异面直线所成的角的定义，结合空间两个向量数量积的坐标公式，可以算出直线BC1与直线AB1夹角的余弦值． 【解答】解：分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系， ∵CA=CC1=2CB，∴可设CB=1，CA=CC1=2 ∴A（2，0，0），B（0，0，1），B1（0，2，1），C1（0，2，0） ∴=（0，2，﹣1），=（﹣2，2，1） 可得?=0×（﹣2）+2×2+（﹣1）×1=3，且=， =3， 向量与所成的角（或其补角）就是直线BC1与直线AB1夹角， 设直线BC1与直线AB1夹角为θ，则cosθ== 故选A 【点评】本题给出一个特殊的直三棱柱，求位于两个侧面的面对角线所成角的余弦之值，着重考查了空间向量的坐标运算和异面直线及其所成的角的概论，属于基础题． 10. 圆上的点到直线3x+4y+14=0的距离的最大值是（  ） A.4   B.5   C.6   D. 8 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 不等式| e x – e – x | <（e是自然对数的底）的解集是           。 参考答案： ( ln，ln) 12. 曲线y=x2+在点（1，2）处的切线方程为　　． 参考答案： x﹣y+1=0 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，利用点斜式求解切线方程即可． 【解答】解：曲线y=x2+，可得y′=2x﹣， 切线的斜率为：k=2﹣1=1． 切线方程为：y﹣2=x﹣1，即：x﹣y+1=0． 故答案为：x﹣y+1=0． 13. 函数的定义域是             参考答案： 解:由. 所以原函数的定义域为. 因此，本题正确答案是. 14. 复数满足，则的虚部是          ． 参考答案： 1 15. 在平面直角坐标系中，焦点为的抛物线的标准方程为  ▲  ． 参考答案：   16. 已知函数，且则的值为             参考答案： 17. 已知是圆（为圆心）上一动点，线段的垂直平分线交直线于，则动点的轨迹方程为               ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）已知函数． （Ⅰ） 若时，取得极值，求的值； （Ⅱ） 若对任意，直线都不是曲线的切线，求的取值范围． 参考答案： 解：（Ⅰ），当时， 当时，，时，， 所以在处取得极小值，即符合题意。………………6分 (III)因为，直线都不是曲线的切线， 所以对成立，            ………………9分 只要的最小值大于即可， 而的最小值为                     所以，即                           ………………12分 略 19. 已知集合D={（x1，x2）|x1＞0，x2＞0，x1+x2=k}，其中k为正常数 （1）设u=x1x2，求u的取值范围 （2）求证：当k≥1时，不等式（﹣x1）（﹣x2）≤（）2对任意（x1，x2）∈D恒成立 （3）求使不等式（﹣x1）（﹣x2）≥（）2对任意（x1，x2）∈D恒成立的k的范围． 参考答案： 【考点】集合的表示法． 【专题】证明题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用． 【分析】（1）u=x1x2≤（）2=，由此能求出μ的取值范围． （2）（﹣x1）（﹣x2）=﹣+2=，由此能证明当k≥1时，不等式（﹣x1）（﹣x2）≤（）2对任意（x1，x2）∈D恒成立． （3）（﹣x1）（﹣x2）﹣（）2=，要使不等式（﹣x1）（﹣x2）≥（）2恒成立，只需满足4﹣k2x1x2﹣4k2≥0恒成立，由此能求出k的范围． 【解答】解：（1）∵集合D={（x1，x2）|x1＞0，x2＞0，x1+x2=k}，其中k为正常数 ∴u=x1x2≤（）2=，当且仅当时等号成立， 故μ的取值范围为（0，]．（2分） （2）∵（﹣x1）（﹣x2）=﹣ =﹣+2=．（4分） 由0＜，又k≥1，k2﹣1≥0， ∴由定义法可得（﹣x1）（﹣x2）在（0，]上是增函数，（6分） ∴（﹣x1）（﹣x2）=≤+2==（）2． ∴当k≥1时，不等式（﹣x1）（﹣x2）≤（）2对任意（x1，x2）∈D恒成立．（7分） （3）（﹣x1）（﹣x2）﹣（）2 =﹣ =（）﹣（）﹣（） =﹣﹣， ∵x1+x2=k，∴， ∴（﹣x1）（﹣x2）﹣（）2 =﹣﹣ =，（10分） 要使不等式（﹣x1）（﹣x2）≥（）2恒成立， 只需满足4﹣k2x1x2﹣4k2≥0恒成立， 即x1x2≤恒成立，由（1）知0＜， 所以，即k4+16k2﹣16≤0， 解得0＜k≤2， ∴使不等式（﹣x1）（﹣x2）≥（）2对任意（x1，x2）∈D恒成立的k的范围是（0，2]．（12分） 【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查不等式的证明，综合性强，难度大，对数学思维能力要求较高，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用． 20. 已知圆及直线. 当直线被圆截得的弦长为时, 求 （Ⅰ）的值； （Ⅱ）求过点且与圆相切的直线的方程. 参考答案： 略 21. 在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若tanA=3，cosC=． （1）求角B的大小； （2）若c=4，求△ABC面积． 参考答案： 【分析】（1）求出C的正切函数值，利用两角和的正切函数求解即可． （2）利用正弦定理求出b，然后求解A的正弦函数值，然后求解三角形的面积． 【解答】解：（1）∵cosC=，∴sinC=，∴tanC=2． ∵tanB=﹣tan（A+C）=﹣=﹣=1， 又0＜B＜π，∴B=． （2）由正弦定理，得=，∴b===． ∵B=，∴A=﹣C．∴sinA=sin（﹣C）=sincosC﹣cossinC =×﹣（﹣）×=． ∴S△ABC=bcsinA=××4×=6． 【点评】本题考查正弦定理以及三角形的解法，两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力． 22. 已知圆的方程为,点是坐标原点.直线与圆交于两点. (Ⅰ)求的取值范围; (Ⅱ)设是线段上的点,且.请将表示为的函数. 参考答案： (Ⅰ)将代入得 则 ,(*) 由得 . 所以的取值范围是 ...........................4分 (Ⅱ)因为M、N在直线l上,可设点M、N的坐标分别为,,则 ,,又, 由得,, 所以由(*)知 ,, 所以 , 因为点Q在直线l上,所以,代入可得, 由及得 ,即 . 依题意,点Q在圆C内,则,所以 , 于是, n与m的函数关系为 ()...........................8分