湖南省衡阳市祁东县灵官中学高三数学理联考试卷含解析

湖南省衡阳市祁东县灵官中学高三数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积（单位：cm2）是（   ） A．                       B． C．                       D． 参考答案： C 2. 已知函数是定义域为R的偶函数，且,若 在[-1,0]上是增函数，那么上是(     ) A.增函数      B.减函数           C.先增后减的函数         D.先减后增的函数 参考答案： C 略 3. 函数f（x）=+ln|x|的图象大致为(     ) A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】函数的图象． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】当x＜0时，函数f（x）=，由函数的单调性，排除CD； 当x＞0时，函数f（x）=，此时，代入特殊值验证，排除A，只有B正确， 【解答】解：当x＜0时，函数f（x）=，由函数y=、y=ln（﹣x）递减知函数f（x）=递减，排除CD； 当x＞0时，函数f（x）=，此时，f（1）==1，而选项A的最小值为2，故可排除A，只有B正确， 故选：B． 【点评】题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力． 4. 已知集合A={x∈N|x2﹣2x≤0}，则满足A∪B={0，1，2}的集合B的个数为(     ) A．3 B．4 C．7 D．8 参考答案： D 【考点】交集及其运算． 【专题】集合． 【分析】求出A中不等式的解集确定出A，根据A与B的并集确定出B的个数即可． 【解答】解：由A中的不等式解得：0≤x≤2，x∈N，即A={0，1，2}， ∵A∪B={0，1，2}， ∴B可能为{0}；{1}；{2}；{0，1}；{0，2}；{1，2}；{0，1，2}，?共8个． 故选：D． 【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键． 5. 设，则 A. -1 B. 1 C. l n2 D. -ln2 参考答案： C 【分析】 先把化为，再根据公式和求解. 【详解】 故选C. 【点睛】本题考查对数、指数的运算，注意观察题目之间的联系. 6. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=被称为狄利克雷函数，则关于函数f（x）有以下四个命题： ①f（f（x））=0；②函数f（x）是偶函数；③任意一个非零有理数T，f（x+T）=f（x）对任意x∈R恒成立；④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形． 其中真命题的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 参考答案： B 【考点】分段函数的应用． 【专题】空间位置关系与距离． 【分析】①根据函数的对应法则，可得不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1；②根据函数奇偶性的定义，可得f（x）是偶函数；③根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质；④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得A（，0），B（0，1），C（﹣，0），三点恰好构成等边三角形． 【解答】解：①∵当x为有理数时，f（x）=1；当x为无理数时，f（x）=0， ∴当x为有理数时，ff（（x））=f（1）=1；当x为无理数时，f（f（x））=f（0）=1， 即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1，故①不正确； 接下来判断三个命题的真假 ②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数， ∴对任意x∈R，都有f（﹣x）=﹣f（x），故②正确； ③若x是有理数，则x+T也是有理数； 若x是无理数，则x+T也是无理数， ∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立，故③正确； ④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0， ∴A（，0），B（0，1），C（﹣，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确． 即真命题的个数是3个， 故选：B． 【点评】本题给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题． 7. 一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的全面积是 （A）（B） （C）（D） 参考答案： A 略 8. 函数的反函数为      （A）           (B)            （C）           (D)          参考答案： B 9. ，则（ ） A．R         B．(0,+∞)       C．{1}       D．[1,+∞) 参考答案： B 10. 函数f（x）=（﹣1）?sinx的图象大致形状为（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】3O：函数的图象． 【分析】先判断函数的奇偶性，再取特殊值验证． 【解答】解：∵f（x）=（﹣1）?sinx， ∴f（﹣x）=（﹣1）?sin（﹣x）=﹣（﹣1）sinx=（﹣1）?sinx=f（x）， ∴函数f（x）为偶函数，故排除C，D， 当x=2时，f（2）=（﹣1）?sin2＜0，故排除B， 故选：A 【点评】本题考查了函数图象的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值的特点，属于基础题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在抛物线的焦点为圆心，并与抛物线的准线相切的圆的方程是         。 参考答案： 12. 已知球O是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A-BCD的外接球，，点E在线段 BD上，且，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是__________． 参考答案：   [2π，4π] 13. 如图，PA切⊙O于点A，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1，OA绕点O逆时针旋转60° 到OD，则PD的长为            ．   参考答案： 14. 已知直线的法向量为，则该直线的倾斜角为        ．（用反三角函数值表示） 参考答案： π-arctan2 15. 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是______。 参考答案： 16. 已知f(x)定义域为(a，b)，如果都有,则称f(x)为“周函数”。下列函数中，“周函数”有    （填序号） ①，  ②，③， ④ 参考答案：   ②③ 17. 下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是_____。 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）已知椭圆的离心率为,,为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且的周长为. (Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)设直线与椭圆相交于、两点，若(为坐标原点)，求证:直线与圆相切。 参考答案： (ⅱ)当直线不垂直于轴时，设直线的方程为  由得           故  即①  又圆的圆心为,半径  圆心到直线的距离为②  将①式带入②式得  吗 所以  因此,直线与圆相切。                      …………………………………  4＇   19. （选修4-4：坐标系与参数方程）（本小题满分10分） 在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的参数方程为，曲线C的极坐标方程为； （Ⅰ）求直线l的直角坐标方程和曲线C的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线l与曲线C交点分别为A，B，点，求的值. 参考答案： （Ⅰ） ------2分  曲线--------4分 （Ⅱ）法1：将 （为参数）代入曲线C的方程，得--------6分------8分 ------10分. 法2：设圆心与轴交于O、D，则--------6分 而------8分, ------10分. 20. 已知椭圆C:的长轴长为，离心率． Ⅰ）求椭圆C的标准方程； Ⅱ）若过点B（2，0）的直线（斜率不等于零）与椭圆C交 于不同的两点E，F（E在B，F之间），且OBE与OBF的面积之比为，求直线的方 程． 参考答案： 解：（I）椭圆C的方程为，由已知得          21. （12分）（2015?济宁一模）现有甲、乙、丙三人参加某电视的一档应聘节目，若甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为（0＜t＜2），且三人是否应聘成功是相互独立的． （Ⅰ）若乙、丙有且只有一人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率，求t的值； （Ⅱ）若t=，求三人中恰有两人应聘成功的概率； （Ⅲ）记应聘成功的人数为ξ，若当且仅当ξ=2时对应的概率最大，求E（ξ）的取值范围． 参考答案： 【考点】： 离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式． 【专题】： 概率与统计． 【分析】： （Ⅰ）由题意得，由此能求出t的值． （Ⅱ）t=时，甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为，由此利用相互独立事件乘法公式能求出三人中恰有两人应聘成功的概率． （Ⅲ）由题意知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出E（ξ）的取值范围． 解：（Ⅰ）∵甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为（0＜t＜2）， 且三人是否应聘成功是相互独立的． 乙、丙有且只有一人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率， ∴由题意得， 解得t=1． （Ⅱ）t=时，甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为， ∴三人中恰有两人应聘成功的概率： P=+=． （Ⅲ）由题意知ξ的所有可能取值为0，1，2，3， P（ξ=0）=（1﹣）（1﹣）（1﹣）=， P（ξ=1）=+=， P（ξ=2）=++（1﹣）×=， P（ξ=3）==， ∴ξ的分布列为： ξ  0  1  2  3 P Eξ=+=t+， 由题意知P（ξ=2）﹣P（ξ=1）=＞0， P（ξ=2）﹣P（ξ=0）=＞0， P（ξ=2）﹣P（ξ=3）=， 又0＜t＜2，∴1＜t＜2， ∴（ξ）＜． 【点评】： 本题考查相互独立事件概率、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查数据处理能力，考查化归与转化思想，是中档题． 22. （2017?乐山二模）已知圆E：（x+1）2+y2=16，点F（1，0），P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q （1）求动点Q的轨迹Γ的方程； （2）若直线y=k（x﹣1）与（1）中的轨迹Γ交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时，总有∠OTS=∠OTR？说明理由． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（1）连结QF，运用垂直平分线定理可得，|QP|=|QF|，可得|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4＞|EF|=2，由椭圆的定义即可得到所求轨迹方程； （2）假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．设R（x1，y1），S（x2，y2），联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，由直线的斜率之和为0，化简整理，即可得到存在T（4，0）． 【解答】解：（1）连结QF，根据题意，|QP|=|QF|， 则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4＞|EF|=2， 故动点Q的轨迹Γ是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆． 设其方程为， 可知a=2，c=1，∴， 所以点Q的轨迹Γ的方程为；