黑龙江省哈尔滨市第十二职业中学高三数学理模拟试卷含解析

黑龙江省哈尔滨市第十二职业中学高三数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知是（）上是增函数，那么实数的取值范围是(     ) A．(1,+)       B．          C．          D．(1,3) 参考答案： C 2. 函数y＝Asin（ωx＋）（ω>0，｜｜<，x∈R）的部分图象如图所示，则该函数为 A．y＝2sin（x＋）   B．y＝2sin（x－）     C．y＝－2sin（x－） D．y＝－2sin（x＋） 参考答案： D 略 3. 已知物体的运动方程为（t是时间，s是位移），则物体在时刻t=2时的速度为（     ） A．         B．         C．          D．   参考答案： D 略 4. 已知四边形的对角线相交于一点，则的取值范围是 A.      B.      C.      D. 参考答案： C 由，，得，且. 法一：注意到的取值只与的相对位置关系有关，与具体的坐标位置无关，所以可等价转换命题为：，，，，，，求的取值范围. . 选C. 法二：取，则；设，，则求得，当且时， 取到最小值，结合图形可判断此时满足的对角线相交于一点的要求，故选C.      法三：数形结合，在满足“，且，的对角线相交于一点”要求的情况下，固定位置，移动位置，考察各极端（极限）位置上的取值情况，结合选择支判断选项可得解. 5. △ABC的三个顶点分别为A(0,3),B(3,3),C(2,0),如果直线x=a将△ABC分割成面积相等的两部分,则实数a的值等于                            (    ） A．           B．1+         C．1+         D．2－ 参考答案： A 6. ，则的值等于    A.              B.           C.                D. 参考答案： B 略 7. 已知函数,等差数列的公差为.若,则                                   （    ）   A． 4          B．6         C．-4          D．-6 参考答案： D 8. 函数y=x+（x＞0）的最小值是（　　） 　 A． 1 B． 2 C． ﹣2 D． 以上都不对 参考答案： B 考点： 基本不等式． 专题： 不等式的解法及应用． 分析： 利用基本不等式的性质即可得出． 解答： 解：∵x＞0，∴y=x+=2，当且仅当x=1时取等号． ∴函数y=x+（x＞0）的最小值是2． 故选：B． 点评： 本题考查了基本不等式的性质，属于基础题． 9. 已知函数的图象为C，则：①C关于直线对称；②C关于点对称；③f（x）在上是增函数；④由y=2cos2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C．以上结论正确的有（　　） A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④ 参考答案： D 【考点】正弦函数的对称性；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】利用正弦函数的图象和性质，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【解答】解：∵函数的图象为C， 当x=时，f（x）=﹣2，为最小值，故①C关于直线对称，正确． 当x=时，f（x）=1，为最大值，故②C关于点对称，错误． 在上，2x+∈（﹣，），sin（2x+）单调递增， 故③f（x）在上是增函数，正确． 由y=2cos2x的图象向右平移个单位长度， 可得y=2cos2（x﹣）=2cos（2x﹣）=2sin（+2x﹣）=﹣2sin（2x﹣）=f（x）的图象，故④正确， 故选：D． 10. 设是等差数列的前项和，已知，则等于 A．13              B．35               C．49             D．63     参考答案： C 在等差数列中，，选C. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知三棱锥O﹣ABC中，A，B，C三点均在球心O的球面上，且AB=BC=1，∠ABC=120°，若球O的体积为，则三棱锥O﹣ABC的体积是　　． 参考答案： 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体． 【分析】由已知条件可求出AC，求出△ABC的面积，设球半径为R，由球的体积可解得R，再设△ABC的外接圆的圆心为G，进一步求出OG，则三棱锥O﹣ABC的体积可求． 【解答】解：三棱锥O﹣ABC中，A，B，C三点均在球心O的球面上，且AB=BC=1，∠ABC=120°， 则AC=， ∴， 设球半径为R，由球的体积，解得R=4． 设△ABC的外接圆的圆心为G， ∴外接圆的半径为GA=， ∴OG=． ∴三棱锥O﹣ABC的体积是=． 故答案为：． 【点评】本题考查球的有关计算问题，考查棱锥的体积，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题． 　 12. 若向量、的夹角为150°，||=，||=4，则|2+|=　 　． 参考答案： 2 【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量的模． 【分析】本题考查的知识点是向量的模及平面向量数量积运算，由向量、的夹角为150°，||=，||=4，我们易得的值，故要求|2+|我们，可以利用平方法解决． 【解答】解：|2+| = = = =2． 故答案为：2 【点评】求常用的方法有：①若已知，则=；②若已知表示的有向线段的两端点A、B坐标，则=|AB|=③构造关于的方程，解方程求． 13. 已知函数 f （x）=x2ln x，若关于x的不等式 f （x）﹣kx+1≥0恒成立，则实数k 的取值范围是　   　． 参考答案： （﹣∞，1] 【考点】函数恒成立问题． 【分析】把恒成立问题转化为求函数最值问题，根据导函数求出函数g（x）=xlnx+的最小值，得出答案． 【解答】解：∵x2ln x﹣kx+1≥0恒成立， ∴k≤xlnx+恒成立， 令g（x）=xlnx+， g'（x）=lnx+1﹣， 当x在（1，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）递增； 当x在（0，1）时，g'（x）＜0，g（x）递减； 故g（x）的最小值为g（1）=1， ∴k≤1， 故答案为：（﹣∞，1]． 　 14. 已知锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若c﹣a=2acosB，则的取值范围是　　． 参考答案： （0，） 【考点】余弦定理． 【分析】由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得sin（B﹣A）=sinA，由A，B为锐角，可得B=2A，解得A∈（0，），可得求sinA∈（0，），化简所求即可得解． 【解答】解：∵c﹣a=2acosB， ∴由正弦定理可得：sinC=2sinAcosB+sinA， ∴sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB+sinA，可得：cosAsinB﹣sinAcosB=sinA，即：sin（B﹣A）=sinA， ∵A，B为锐角，可得：B﹣A=A，可得：B=2A∈（0，）， ∴A∈（0，），可得：sinA∈（0，）， ∴=sinA∈（0，）． 故答案为：（0，）． 15. 已知函数f（x）=axlnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f′（x）为f（x）的导函数，若f′（1）=3，则a的值为　  　． 参考答案： 3 【考点】导数的乘法与除法法则． 【专题】导数的综合应用． 【分析】由题意求出f'（x），利用f′（1）=3，求a． 【解答】解：因为f（x）=axlnx，所以f′（x）=f（x）=lna?axlnx+ax，又f′（1）=3，所以a=3； 故答案为：3． 【点评】本题考查了求导公式的运用；熟练掌握求导公式是关键． 16. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门。则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有      种 参考答案： 30 17. 已知a，b，c是锐角△ABC的内角A，B，C所对的边，，且满足，则a+c的取值范围是          ． 参考答案： ∵ ∴由正弦定理可得，即 ∵ ∴ ∵B为△ABC的内角 ∴ ∵ ∴根据正弦定理可知 ∴ ∵△ABC是锐角三角形 ∴ ∴a+c的取值范围为 故答案为   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设函数图象关于原点对称,且时,取极小值.      ⑴求、、、的值；             ⑵当时,函数图象上是否存在两点, 使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论. 参考答案： 解析:（1）     （2）当时，图象上不存在这样的两点使结论成立 假设图象上存在两点、，使得过此两点处的切线互相垂直， 则由知两点处的切线斜率分别， 且…………（*） 、， 此与（*）相矛盾，故假设不成立 19. （12分）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]． （Ⅰ）求直方图中x的值； （Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿； （Ⅲ）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率）   参考答案： 考点:离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差． 专题:概率与统计． 分析:（I）由题意，可由直方图中各个小矩形的面积和为1求出x值． （II）再求出小矩形的面积即上学所需时间不少于1小时组人数在样本中的频率，再乘以样本容量即可得到此组的人数即可． （Ⅲ）求出随机变量X可取得值，利用古典概型概率公式求出随机变量取各值时的概率，列出分布列，利用随机变量的期望公式求出期望． 解：（Ⅰ）由直方图可得：20×x+0.025×20+0.0065×20+0.003×2×20=1． 所以 x=0.0125． （Ⅱ）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.003×2×20=0.12， 因为600×0.12=72， 所以600名新生中有72名学生可以申请住宿． （Ⅲ）X的可能取值为0，1，2，3，4． 由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为， ， ， ， ， ． 所以X的分布列为： ．（或） 所以X的数学期望为1． 点评:本题考查频率分布直方图，考查离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的期望等，解题的关键是理解直方图中各个小矩形的面积的意义及各个小矩形的面积和为1，考查了识图的能力．   20. 已知函数f（x）=|x﹣3a|，（a∈R） （I）当a=1时，解不等式f（x）＞5﹣|2x﹣1|； （Ⅱ）若存在x0∈R，使f（x0）+x0＜6成立，求a的取值范围． 参考答案： 【分析】（I）当a=1时，原不等式可化为|x﹣3|+|2x﹣1|＞5，通过对x取值范围的讨论，去掉式中的绝对值符号，解相应的不等式，最后取并即可； （Ⅱ）构造函数g（x）=f（x）+x=|x﹣3a|+x，则g（x）=，易知函数g（x）=f（x）+x最小值为3a，依题意，解不等式3a＜6即可求a的取值