重庆忠县东溪中学2022年高三数学理联考试卷含解析

重庆忠县东溪中学2022年高三数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数，函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是 （      ）          A．              B．               C．                D． 参考答案： A 2. 以点（2，0）为圆心且与直线相切的圆的方程为 A．                   B． C．        D． 参考答案： C 略 3. 设点P（x，y）满足不等式组，则的最大值和最小值分别为 A．11，9      B．，9       C．       D． 参考答案： A 4. 已知函数y=f（x）是R上的偶函数，当x1，x2∈（0，+∞）时，都有（x1﹣x2）?[f（x1）﹣f（x2）]＜0．设，则（　　） A．f（a）＞f（b）＞f（c） B．f（b）＞f（a）＞f（c） C．f（c）＞f（a）＞f（b） D．f（c）＞f（b）＞f（a） 参考答案： C 【考点】3L：函数奇偶性的性质． 【分析】根据已知条件便可判断f（x）在（0，+∞）上单调递减，f（x）是偶函数，所以f（x）=f（|x|），所以根据对数的运算，及对数的取值比较|a|，|b|，|c|的大小即可得出f（a），f（b），f（c）的大小关系． 【解答】解：根据已知条件便知f（x）在（0，+∞）上是减函数； 且f（a）=f（|a|），f（b）=f（|b|），f（c）=f（|c|）； |a|=lnπ＞1，b=（lnπ）2＞|a|，c=； ∴f（c）＞f（a）＞f（b）． 故选：C． 5. 已知函数f（x）＝sinx?sin2x，下列结论中错误的是（　　） A．y＝f（x）的图象关于点(,0)对称 B．y＝f（x）的图象关于直线x＝π对称 C．f（x）的最大值为 D．f（x）是周期函数 参考答案： C 解：对于A，因为f（π﹣x）+f（x）＝sin（π﹣x）sin（2π﹣2x）+sinxsin2x＝0，所以A正确； 对于B，f（2π﹣x）＝sin（2π﹣x）sin（4π﹣2x）＝sinxsin2x＝f（x），所以B正确； 对于C，f（x）＝sinx?sin2x＝2sin2xcosx＝2（1﹣cos2x）cosx＝2cosx﹣2cos3x，令t＝cosx，则t∈[﹣1，1]，f（x）＝g（t）＝2t﹣2t3，令g′（t）＝2﹣6t2＝0，得，t＝，当t＝时，g（t）有最大值2（1﹣）＝，故C错误； 对于D，f（2π+x）＝f（x），故2π为函数f（x）的一个周期，故D正确； 故选：C． 6. 已知数列的前项和，若，则（    ） A．        B．       C.         D． 参考答案： B 由，得，数列是从第二项起的等比数列，公比为4，利用即可得解. 详解：由，可得. 两式相减可得：. 即. 数列是从第二项起的等比数列，公比为4， 又所以. 所以. 故选B.   7. 已知函数 则下面结论中正确的是 A. 是奇函数                 B. 的值域是 C. 是偶函数                 D. 的值域是 参考答案： D 在坐标系中，做出函数的图象如图，由图象可知选D. 8. 已知集合，则（   ）                    参考答案： C 9. 已知，则(    ) A. B. C. D. 参考答案： B 由题意知，.故选B.   10. 在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居众显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是（   ） ①平均数；②标准差；③平均数且标准差； ④平均数且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于1。 A．①② B．③④ C．③④⑤ D．④⑤ 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知命题p：，命题q：幂函数在(0,+∞)是 减函数，若“”为真命题，“”为假命题，则实数m的取值范围是________． 参考答案： (－∞,1]∪(2,3)    12. 若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有______________项。 参考答案： 13 略 13. 已知实数x，y满足约束条件，若的最小值为3，则实数b=____ 参考答案： 【分析】 画出可行域，由图象可知，的最小值在直线与直线的交点处取得，由，解方程即可得结果. 【详解】由已知作可行域如图所示， 化为， 平移直线 由图象可知，的最小值在直线与直线的交点处取得， 由，解得, 故答案为. 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于中档题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 14. 过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，若，则=______。 参考答案： 设及；则点到准线的距离为， 得： 又。 【命题立意】本题考查等直线与抛物线相交问题的运算。 15. （14）定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x）.若当0≤x≤1时。f（x）=x（1-x），   则当-1≤x≤0时，f（x）=________________。 参考答案： 当，则，故 又，所以 16. 在平面四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，且，EF=1，．若，则的值为　    　． 参考答案： 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】画出图形，结合图形，先求出的值，再利用=15，即可求出的值． 【解答】解：如图所示， 设AB∩DC=O，∵ =++=+， =++=+， 两式相加得=； ∵AB=，EF=1，CD=， 平方得1=； ∴=﹣； 又∵=15， 即（﹣）（﹣）=15； ∴﹣﹣+=15， ∴+=15++， ∴=（﹣）（﹣）=﹣﹣+ =（15++）﹣﹣ =15+（﹣）+（﹣） =15++ =15+（﹣） =15+ =15﹣ =15﹣（﹣） =． 故答案为：． 【点评】本题考查了两个向量的加减运算的应用问题，也考查了平面向量的几何意义以及平面向量的数量积的应用问题，是综合性题目． 17. 是偶函数，且在上是减函数，则       参考答案： 1或2  略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数f（x）=|x﹣2|+|2x+1|． （Ⅰ）解不等式f（x）＞5； （Ⅱ）若关于x的方程=a的解集为空集，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】绝对值不等式的解法． 【分析】（Ⅰ）分类讨论求得原不等式解集． （Ⅱ）由分段函数f（x）的解析式可得f（x）的单调性，由此求得函数f（x）的值域，求出的取值范围．再根据关于x的方程=a的解集为空集，求得实数a的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）解不等式|x﹣2|+|2x+1|＞5， x≥2时，x﹣2+2x+1＞5，解得：x＞2； ﹣＜x＜2时，2﹣x+2x+1＞5，无解， x≤﹣时，2﹣x﹣2x﹣1＞5，解得：x＜﹣， 故不等式的解集是（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）； （Ⅱ）f（x）=|x﹣2|+|2x+1|=， 故f（x）的最小值是，所以函数f（x）的值域为[，+∞）， 从而f（x）﹣4的取值范围是[﹣，+∞）， 进而的取值范围是（﹣∞，﹣]∪（0，+∞）． 根据已知关于x的方程=a的解集为空集，所以实数a的取值范围是（﹣，0]． 19. 如图，已知在四棱锥中，底面是矩形， 平面，、分别是、的中点， 若二面角P-CD-A为，且． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求异面直线PC与AB所成角的大小； （Ⅲ) 求点到平面的距离． 参考答案： （I）证明：如图，取的中点，连接． 由已知得且， 又因为E是的中点，则且， 所以四边形FAEO平行四边形， ∴ 又因为平面，平面平面  4分 （Ⅱ）因为底面ABCD  又因为底面ABCD为矩形， ，又因为AD=2 ，又因为AB//CD …… …… … … … …  …9分 （Ⅲ）【法一】：设平面的距离为，因， 所以，，又因，是的中点所以，，． 作于，因为， 则, 则， 因所以……………………13分 【法二】因，所以，， 又因，是的中点所以，，． 作于，连结，因，则为的中点，故 所以平面，所以平面平面，作于，则平面，所以线段的长为平面的距离。 又， 所以……………………………………………13分   略 20. 已知数列的前项和为，函数（其中，为常数且） （Ⅰ）若当时，函数取得极大值，求的值； （Ⅱ）若当时，函数取得极小值，点，都在函数的图像上，（是的导函数），求数列的通项公式. 参考答案： 解：（I） 由得    ， ∵    ∴ 随x变化而变化如下表 x (,1) 1 + 0 — 0 + ↗ 极大植 ↘ 极小值 ↗   ∴当取得极大值时               …………6分 （II）由上表得时取得极小值. 点在其函数图象x n=1时  点(1,2)在函数图象上 时                     （1）         （2）    （1）—（2）得      当n=1时也符合上式∴                           …………12分   21. 在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，平面 底面． （I） 证明：平面； （II）求二面角的余弦值。 参考答案： （Ⅰ）因为平面VAD⊥平面ABCD，平面VAD∩平面ABCD=AD， 又AB在平面ABCD内，AD⊥AB，所以AB⊥平面VAD． （Ⅱ）由（Ⅰ）知AD⊥AB，AB⊥AV．依题意设AB=AD=AV=1，所以BV=BD=． 设VD的中点为E,连结AE、BE，则AE⊥VD，BE⊥VD， 所以∠AEB是面VDA与面VDB所成二面角的平面角． 又AE=，BE=，所以cos∠AEB==． …………12分 （方法二） （Ⅰ）同方法一． （Ⅱ）设AD的中点为O，连结VO，则VO⊥底面ABCD．                又设正方形边长为1，建立空间直角坐标系如图所示． 则，A（，0，0），    B（，1，0）， D（-，0，0），   V（0，0，）； 由（Ⅰ）知是平面VAD的法向量．设是平面VDB的法向量，则 ∴， 略 22. (本小题满分12分) 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，点D是BC的中点. (1)求证：A1B∥平面ADC1； (2)若AB＝AC，BC＝AA1＝2，求点A1到平面ADC1的距离. 参考答案： 【知识点】线面平行的判定；点到平面的距离  G4  G11 【答案解析】 解：（Ⅰ）连接A1C，交AC1于点E，