陕西省西安市自立中学2022年高三数学理期末试题含解析

陕西省西安市自立中学2022年高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. （2009江西卷理）一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”，下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到右依次记为，则下列关系中正确的为   A．          B．      C．      D． 参考答案： C 解析：前三个区域的周率依次等于正方形、圆、正三角形的周长和最远距离，所以、、，第四个区域的周率可以转化为一个正六边形的周长与它的一对平行边之间的距离之比，所以，则，选C 2. 动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。已知时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的单调递增区间是 A、 B、 C、 D、和 参考答案： D 略 3. 等差数列的前项和为的值                   （   ）   A．18 　　　　 B．20 　　　　　 C．21  　　　　　D．22 参考答案： B 略 4. 若，则（   ） A． B．C． D． 参考答案： D 5. 据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多n（n为常数）盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯（　　） A. 2盏 B. 3盏 C. 26盏 D. 27盏 参考答案： C 分析：每次灯的个数成等差数列，设最顶层有盏灯，则最下面一层有盏，利用等差数列求和公式列方程可得 详解：设最顶层有盏灯，则最下面一层有盏， ， ， ， ， ，， ， ，（盏）， 所以最下面一层有灯， （盏），故选C. 点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解. 6. 某几何体的三视图如图所示，其俯视图是边长为1的正三角形，侧视图是菱形，则这个几何体的体积为（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】由三视图知几何体为四棱锥，画出其直观图，判断棱锥的高与底面棱形的面积，代入棱锥的条件公式计算． 【解答】解：由三视图知几何体为四棱锥，其直观图如图：且棱锥的高为， 底面菱形的面积为×2×1=1， ∴这个几何体的体积为×1×=， 故选：B 【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是由三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量． 7. 对于函数f(x)=a sinx+bx+c(其中a,bR,cZ),选取a,b,c的一组值计算f(1)和f(-1)所得出的正确结果一定不可能是 (A).4和6         (B).1和2        (C).2和4            (D). 3和1 参考答案： B 8. 将函数f（x）＝sinx的图象向右平移个单位长度后得到函数y＝g（x）的图象，则函数y＝f（x）g（x）的最大值为 A．    B．    C．1    D． 参考答案： A 9. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为63，则判断框中应填(     ) A．n≤7 B．n＞7 C．n≤6 D．n＞6 参考答案： D 考点：循环结构． 专题：阅读型． 分析：框图中首先给累加变量S、替换变量a、和循环变量n赋值，由S=S+a和a=a+2看出，该算法是求以3为首项，以2为公差的等差数列前n项和问题，写出求和公式，根据输出的和S的值判断的情况． 解答： 解：当n=1时，S=0+3=3，a=3+2=5；当n=2时，S=3+5=8，a=5+2=7；当n=3时，S=8+7=15，a=7+2=9；当n=4时，S=15+9=24，a=9+2=11；当n=5时，S=24+11=35，a=11+2=13；当n=6时，S=35+13=48，a=13+2=15，当n=7时，S=48+15=63．此时有n=7＞6，算法结束，所以判断框中的条件应填n＞6，这样才能保证进行7次求和． 故选D． 点评：本题考查了程序框图中的直到型循环，循环结构主要用在一些规律的重复计算，如累加、累积等，在循环结构框图中，特别要注意条件应用，如计数变量和累加变量等． 10. 某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠，若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率为表示5位乘客在20层下电梯的人数，则随机变量=(      )； A.          B.       C.         D. 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．若，且a4与a7的等差中项为，则S5为　　． 参考答案： 31 【考点】等比数列的前n项和． 【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出． 【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a4与a7的等差中项为， ∴a4+a7=2×， ∴=， ∵，∴=， 联立解得：q=，a1=16． ∴S5==31． 故答案为：31． 12. （1+x）（1﹣x）6的展开式中，x4的系数为　　． 参考答案： ﹣5 【考点】二项式系数的性质． 【分析】可分别求得（1﹣x）6中x4项的系数C64与x3项的系数﹣C63，继而可求1+x）（1﹣x）6的展开式中，x4的系数． 【解答】解：设（1﹣x）6展开式的通项为Tr+1，则Tr+1=（﹣1）rC6r?xr， ∴（1﹣x）6中x4项的系数为C64=15，x3项的系数为﹣C63=﹣20， ∴（1+x）（1﹣x）6的展开式中x4的系数是15﹣20=﹣5 故答案为：﹣5 13. 已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则的单调递增区间是　　　　　　　　　． 参考答案： 14. 已知函数（a，b，c ，a > 0）是奇函数，若f(x)的最小值为，且f(1) > ，则b的取值范围是           ． 参考答案： ( 15. 已知全集为，且集合，，则          ． 参考答案： (－1,2)  16. 每个航班都有一个最早降落时间和最晚降落时间，在这个时间窗口内，飞机均有可能降落．甲航班降落的时间窗口为上午10点到11点，如果它准点降落时间为上午10点40分，那么甲航班晚点的概率是　　；若甲乙两个航班在上午10点到11点之间共用一条跑道降落，如果两架飞机降落时间间隔不超过15分钟，则需要人工调度，在不考虑其他飞机起降的影响下，这两架飞机需要人工调度的概率是　　． 参考答案： ；   【考点】函数模型的选择与应用． 【分析】利用几何概型，求出甲航班降落的时间窗口为上午10点到11点，如果它准点降落时间为上午10点40分，甲航班晚点的概率；试验包含的所有事件是Ω={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}，做出事件对应的集合表示的面积，写出满足条件的事件是A={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1，|x﹣y|≤}，算出事件对应的集合表示的面积，根据几何概型概率公式得到结果． 【解答】解：甲航班降落的时间窗口为上午10点到11点，如果它准点降落时间为上午10点40分，那么甲航班晚点的概率是=； 设甲乙两个航班到达的时间分别为（10+x）时、（10+y）时， 则0≤x≤1，0≤y≤1 若两架飞机降落时间间隔不超过15分钟，则|x﹣y|≤ 正方形的面积为1，落在两直线之间部分的面积为1﹣（）2=，如图： ∴这两架飞机需要人工调度的概率是． 故答案为；． 【点评】本题是一个几何概型，对于这样的问题，一般要通过把试验发生包含的事件同集合结合起来，根据集合对应的图形做出面积，用面积的比值得到结果． 17. 圆上动点到直线距离的最小值为_______． 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在中, 已知. （1）若,求的值； （2）若,点在边上, 满足,求的长度. 参考答案： (1) ；(2). 考点：正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用． 19. 已知两点F1(－1，0)及F2(1，0)，点P在以F1，F2为焦点的椭圆C上，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）如图，动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且仅有一个公共点，点F1，F2在直线l上的正投影分别为M，N,求四边形F1MNF2的面积S的最大值． 参考答案： 略 20. （本题满分14分） 已知函数，且其导函数的图像过原点. （1）当时，求函数的图像在处的切线方程; （2）若存在，使得，求的最大值； （3）当时，求函数的零点个数． 参考答案： 解: , 由得  ,.                 ………………………………2分 (1) 当时, ,，, 所以函数的图像在处的切线方程为,即  ………4分 (2) 存在,使得,   ，， 当且仅当时，所以的最大值为.     …………Ks5u………………9分 f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增  (3) 当时，的变化情况如下表：             ………11分      的极大值， 的极小值 又，. 所以函数在区间内各有一个零点， 故函数共有三个零点．…………………………………………14分 21. 已知椭圆和圆：，过椭圆上一点引圆的两条切线，切点分别为． （1）（ⅰ）若圆过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率的值；      （ⅱ）若椭圆上存在点，使得，求椭圆离心率的取值范围； （2）设直线与轴、轴分别交于点，，问当点P在椭圆上运动时，是否为定值？请证明你的结论． 参考答案： 解：（1）（ⅰ）∵ 圆过椭圆的焦点，圆： ，∴ ， ∴ ， ，∴． （ⅱ）由及圆的性质，可得，∴∴ ∴，．                         （2）设0，则 ,  整理得  ∴方程为：， 方程为：． 从而直线AB的方程为：．令，得，令，得，∴，∴为定值，定值是. 略 22. 椭圆的右焦点为，椭圆与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于，且，过点作直线交椭圆于不同两点 （1）求椭圆的方程； （2）求直线的斜率的取值范围； （3）若在轴上的点，使，求的取值范围。 参考答案： 解：      （2） （3） 在中垂线上 中点 中垂线 略