辽宁省鞍山市華育中学2022-2023学年高三数学理测试题含解析

辽宁省鞍山市華育中学2022-2023学年高三数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设，则＝(　　) A．     B．        C.        D. 参考答案： A 2. 命题p：x∈R且满足sin2x=1．命题q：x∈R且满足tanx=1．则p是q的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： C 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】根据三角函数的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断． 【解答】解：由sin2x=1得2x=+2kπ，k∈Z， 即x=，k∈Z， 由tanx=1，得x=，k∈Z， ∴p是q的充要条件． 故选：C． 　 3. 已知 参考答案： A 略 4.  已知数列{}满足，点O是平面上不在L上的任意一点，L上有不重合的三点     A、B、C，又知，则 （    ）    A  1004             B   2010            C   2009            D  1005   参考答案： D 5. 若复数z满足，则z对应的点位于(　　)    A．第一象限      B．第二象限      C．第三象限       D．第四象限 参考答案： B 略 6. 把一颗骰子投掷两次，第一次得到的点数记为，第二次得到的点数记为，以为系数得到直线，又已知直线，则直线与相交的概率为（ ） (A)        （B）      （C）     （D） 参考答案： A 7. 已知实数x,y满足则的最大值为（   ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 参考答案： C 【分析】 先把不等式组所表示的可行域画出来,把目标函数对应的直线作出,通过平移得到答案. 【详解】可行域为如图所示区域，用去平移，当直线经过点(4,2)时，取最大值，最大值为.选C. 【点睛】求线性目标函数的最值: 当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最大，在轴截距最小时，z值最小； 当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大. 8. 已知是定义在上的偶函数,且在上单调递增,则不等式的解集是(      ) A．     B．     C．∪     D．不能确定 参考答案： C 9. 已知△ABC为锐角三角形，则下列判断正确的是（　　） A．tan（sinA）＜tan（cosB） B．tan（sinA）＞tan（cosB） C．sin（tanA）＜cos（tanB） D．sin（tanA）＞cos（tanB） 参考答案： B 【分析】根据锐角△ABC中A+B＞，得出＞A＞﹣B＞0， 利用正弦函数和正切函数的单调性，即可得出正确的结论． 【解答】解：锐角△ABC中，A+B＞， ∴＞A＞﹣B＞0， 又正弦函数在（0，）上单调递增， ∴sinA＞sin（﹣B）=cosB， 又正切函数在（0，1）上单调递增， ∴tan（sinA）＞tan（cosB）． 故选：B． 10. 已知平面向量，的夹角为，且||=1，||=，则|﹣2|=（　　） A．1 B． C．2 D． 参考答案： A 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】结合题意设出，的坐标，求出﹣2的坐标，从而求出﹣2的模即可． 【解答】解：平面向量，的夹角为，且||=1，||=， 不妨设=（1，0），=（，）， 则﹣2=（，﹣）， 故|﹣2|==1， 故选：A． 【点评】本题考查了向量求模问题，考查向量的坐标运算，是一道基础题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设函数的最小值为，则实数的取值范围是_______. 参考答案： 12. 若在区间上是增函数，则实数的取值范围      参考答案： 略 13. 由直线，曲线及轴所围成的图形的面积是___________. 参考答案： 【知识点】定积分在求面积中的应用．B13 解析：由定积分的几何意义，得围成的面积. 【思路点拨】由题意利用定积分的几何意义知，欲求由直线，曲线及轴所围成的图形的面积即求一个定积分即可，再计算定积分即可求得． 14. 商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．则顾客抽奖1次能获奖的概率是　   　；若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，则EX=　   　． 参考答案： ，． 【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差． 【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式计算不获奖的概率得出获奖的概率，根据二项分布的性质得出数学期望． 【解答】解：抽奖1次，不中奖的概率为=， ∴抽奖1次能获奖的概率为1﹣=； 抽奖1次获一等奖的概率为=， ∴随机变量X服从二项分布，即X～B（3，）， ∴EX=3×=． 故答案为：，． 15. 在边长为2的正△ABC中，则_________。 参考答案： 16. 已知定义域为R的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（3﹣x），当x∈（0，2]时，f（x）=﹣x2+4，则函数y=f（x）﹣a（a∈R）在区间[﹣4，8]上的零点个数最多时，所有零点之和为　　． 参考答案： 14 【考点】根的存在性及根的个数判断． 【分析】利用函数的奇偶性以及函数的对称性，画出函数的图象，判断函数y=f（x）﹣a（a∈R）在区间[﹣4，8]上的零点个数最多时的位置，求解零点之和． 【解答】解：定义域为R的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（3﹣x）， 函数的图象关于x=2对称， 当x∈（0，2]时，f（x）=﹣x2+4，在[﹣4，8]上y=f（x）的图象如图： 函数y=f（x）﹣a（a∈R）在区间[﹣4，8]上的零点个数最多7个，图象中的红色点． 零点之和为：﹣4﹣2+0+2+4+6+8=14． 故答案为：14． 17. 设α为锐角，若cos（）=，则sin（α﹣）=　　． 参考答案： 【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数． 【分析】根据题意求得sin（α+）=，再根据sin（α﹣）=sin[（α+）﹣]，再利用两角差的正弦公式计算求得结果． 【解答】解：∵α为锐角，cos（）=为正数， ∴α+是锐角，sin（α+）=， ∴sin（α﹣）=sin[（α+）﹣] =sin（α+）cos﹣cos（α+）sin =﹣=， 故答案为：． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分13分） 已知函数，，其中e=2.71828…是自然对数的底数. （Ⅰ）求曲线y=f(x)在点(π，f(π))处的切线方程； （Ⅱ）令，讨论h(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值. 参考答案： 解：（Ⅰ）由题意 又， 所以， 因此  曲线在点处的切线方程为 ， 即  . （Ⅱ）由题意得   ， 因为 ， 令 则 所以在上单调递增. 因为 所以 当时， 当时， (1)当时， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以 当时取得极小值，极小值是 ； (2)当时， 由 得 ， ①当时，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以 当时取得极大值. 极大值为， 当时取到极小值，极小值是 ； ②当时，， 所以 当时，，函数在上单调递增，无极值； ③当时， 所以 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以 当时取得极大值，极大值是； 当时取得极小值. 极小值是. 综上所述： 当时，在上单调递减，在上单调递增， 函数有极小值，极小值是； 当时，函数在和和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值， 极大值是 极小值是； 当时，函数在上单调递增，无极值； 当时，函数在和上单调递增， 在上单调递减，函数有极大值，也有极小值， 极大值是；极小值是.   19. 已知函数，R. （1）试讨论函数f(x)的极值点的个数； （2）若a∈N*，且恒成立，求a的最大值. 参考数据： 1.6 1.7 1.74 1.8 10 4.953 5.474 5.697 6.050 22026 0.470 0.531 0.554 0.588 2.303   参考答案： （1）函数的定义域为. …………………………………………………………………………………………1分 ①当时，，在定义域单调递减，没有极值点；…………2分 ②当时，在单调递减且图像连续，，时，，所以存在唯一正数，使得， 函数在单调递增，在单调递减， 所以函数有唯一极大值点，没有极小值点.………………………………………………3分 综上：当时，没有极值点； 当时，有唯一极大值点，没有极小值点.………………………………………4分 （2）方法一： 由（1）知，当时，有唯一极大值点，所以， 恒成立………………………………………………………………………5分 因为，所以，所以. 令，则在单调递增， 由于，， 所以存在唯一正数，使得， 从而.…………………………………………………………………6分 由于恒成立， ①当时，成立； ②当时，由于，所以.…………………………7分 令，当时，，所以在单调递减，从而.因为，且，且N*，所以.…………………………………………………………………8分 下面证明时，. ，且在单调递减，由于， 所以存在唯一，使得，…………………………9分 所以. ……10分 令，，易知在单调递减， 所以， 所以 ………………………………11分 即时，. 所以的最大值是10. …………………………………………………………12分   方法二： 由于恒成立，所以 ，； ，； ，； 因为N*，所以猜想：的最大值是10. ………………………………………………………6分 下面证明时，. ，且在单调递减，由于， 所以存在唯一，使得，……………………………………8分 所以. ……9分 令，，易知在单调递减， 所以， ………………10分 所以……………………………………………11分 即时，. 所以的最大值是10.………………………………………………………………………………12分 20. 某市调研考试后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的2×2列联表，   优秀 非优秀 合计 甲班 10 50 60 乙班 20 30 50 合计 30 80 110 （1）根据列联表的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”； （2）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到9号或10号的概率． 参考公式与临界值表：K2=． P（K2≥k） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 参考答案： 【考点】独立性检验的应用． 【分析】（1）利用公式