山东省青岛市志贤中学高二数学理月考试题含解析

山东省青岛市志贤中学高二数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=，B是A，C的等差中项，则角C=（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 参考答案： D 【考点】正弦定理． 【分析】由等差中项的性质列出方程，结合内角和定理求出B，由题意和正弦定理求出sinA，由条件、边角关系、特殊角的三角函数值求出A，由内角和定理求出C． 【解答】解：∵B是A，C的等差中项，∴2B=A+C， 由A+B+C=180°得B=60°， ∵a=1，b=， ∴由正弦定理得，， 则sinA===， ∵0°＜A＜180°，a＜b，∴A=30°， 即C=180°﹣A﹣B=90°， 故选D． 【点评】本题考查正弦定理，内角和定理，以及等差中项的性质，注意内角的范围，属于中档题． 2. 在中，若则的面积S等于（  ）    A 3          B                C                D 参考答案： D 略 3. 下图是计算函数y＝的值的程序框图，在①、②、③处应分别填入的是(　　) A．y＝ln(－x)，y＝0，y＝2x B．y＝ln(－x)，y＝2x，y＝0 C．y＝0，y＝2x，y＝ln(－x) D．y＝0，y＝ln(－x)，y＝2x 参考答案： B 无 4. 数列{an}中，a1=1，a2=2，an+2=an+1﹣an，则{an}的前51项和S51=（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 参考答案： D 【考点】数列的求和． 【分析】根据数列{an}的递推公式，得到an+2=an+1﹣an，又a1=1，a2=2求得各项的值进行相加．由于项数较多，可注意到各项的值是否会出现一定的变化规律，从而为计算带来方便 【解答】解：由a1=1，a2=2，an+2=an+1﹣an， 得a3=2﹣1=1，a4=﹣1，a5=﹣2，a6=﹣1，a7=1，a8=2，…数列{an}各项的值重复出现 ∴s51=（a1+a2+a3+a4+a5+a6）+（a7+a8+…a12）+…+（a49+a50+…+a51）=0+0+…+0+1+2=1=4 故选：D 5. 函数的导数是（　　） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 根据导数运算法则求解即可. 【详解】根据题意，， 其导数， 故选：C． 【点睛】本题考查导数运算法则，考查基本分析求解能力，属基础题. 6. 若直线与圆C：相交，则点的位置是(  ) A．在圆C外      B．在圆C内     C．在圆C上     D．以上都可能 参考答案： A 略 7. 命题“存在x0∈R，log2x0＜0”的否定是（　　） A．对任意的x∈R，log2x＜0 B．对任意的x∈R，log2x≥0 C．不存在x∈R，log2x≥0 D．存在x0∈R，log2x0≥0 参考答案： B 【考点】命题的否定． 【分析】根据特称命题的否定是全称命题，写出即可． 【解答】解：命题“存在x0∈R，log2x0＜0”的否定是 “对任意x∈R，log2x≥0”． 故选：B． 8. 如图4，正方形ABCD中，E是AB上任一点，作EF⊥BD于F， 则EF︰BE=（     ） A．        B．        C．         D． 参考答案： B 略 9. 数列－1，3，－5，7，－9 ，，的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 参考答案： C 首先是符号规律：，再是奇数规律：，因此，故选C． 10. 对于，给出下列四个不等式 ① ② ③ ④ 其中成立的是（    ） A、①与③      B、①与④      C、②与③      D、②与④ 参考答案： D 由于，所以函数和在定义域上都是单调递减函数，而且，所以②与④是正确的. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如图，设是图中边长为4的正方形区域，是内函数 图象下方的点构成的区域．在内随机取一点，则该点落在中的概率为            。   参考答案： 略 12. 已知二元一次方程组，则的值是       . 参考答案： 7 13. 已知，则的最小值为________. 参考答案： 3 【分析】 ，利用基本不等式求解即可． 【详解】解：， 当且仅当，即时取等号。 故答案为：3． 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，关键要变形凑出积为定值的形式，属基础题．   14. 函数y＝的定义域为__________. 参考答案： 略 15. 若复数（为虚数单位），则||=       . 参考答案： 试题分析：因,故,应填. 考点：复数的概念及运算． 16. 已知双曲线C的方程为，其上焦点为F，过F作斜率为2的直线与上支有且只有一个交点，则双曲线C的离心率范围是       . 参考答案： 因为过F作斜率为2的直线与上支有且只有一个交点，所以，即，因此，所以.      17. 现有7件互不相同的产品，其中有4件次品，3件正品，每次从中任取一件测试，直到4件次品全被测出为止，则第三件次品恰好在第4次被测出的所有检测方法有_____种. 参考答案： 1080 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （选做题）已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4的解集为M． （1）求M； （2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|． 参考答案： 【考点】不等式的证明；带绝对值的函数． 【分析】（Ⅰ）将函数写成分段函数，再利用f（x）＜4，即可求得M； （Ⅱ）利用作差法，证明4（a+b）2﹣（4+ab）2＜0，即可得到结论． 【解答】（Ⅰ）解：f（x）=|x+1|+|x﹣1|= 当x＜﹣1时，由﹣2x＜4，得﹣2＜x＜﹣1； 当﹣1≤x≤1时，f（x）=2＜4； 当x＞1时，由2x＜4，得1＜x＜2． 所以M=（﹣2，2）．… （Ⅱ）证明：当a，b∈M，即﹣2＜a，b＜2， ∵4（a+b）2﹣（4+ab）2=4（a2+2ab+b2）﹣（16+8ab+a2b2）=（a2﹣4）（4﹣b2）＜0， ∴4（a+b）2＜（4+ab）2， ∴2|a+b|＜|4+ab|．… 19. 已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点，且|AB|=18 （1）求该抛物线的方程 （2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若=+λ，求λ的值． 参考答案： 【考点】抛物线的简单性质． 【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）设直线AB的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系可得x1+x2．再利用弦长公式|AB|=x1+x2+p，即可得到p，则抛物线方程可得． （2）由p=8，x2﹣10x+16=0求得A，B坐标，再求得OC的坐标，代入抛物线方程即可解得λ． 【解答】解：（1）抛物线y2=2px的焦点F（，0），准线方程为x=﹣． ∴直线AB的方程为y=2（x﹣）， 代入y2=2px可得4x2﹣5px+p2=0 ∴xA+xB=p， 由抛物线的定义可知，|AB|=|AF|+|BF|=xA+xB+p=p=18 ∴p=8． ∴该抛物线的方程为y2=8x； （2）由p=8，x2﹣10x+16=0，∴x1=2，x2=8， ∴y1=﹣4，y2=8，从而A（2，﹣4），B（8，8）． 设=（x3，y3）=（2，﹣4）+λ（8，8）=（8λ+2，8λ﹣4） 又[8λ﹣4）]2=16（8λ+2），解得：λ=0，或λ=2． 【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．直线与圆锥曲线的综合问题．考查了基本的分析问题的能力和基础的运算能力． 20. 已知点在抛物线上，为焦点，且． （1）求抛物线的方程； （2）过点的直线交抛物线于两点，为坐标原点，求的值. 参考答案： （1）抛物线，焦点.由抛物线定义得： 解得，抛物线的方程为． （2）（i）①当的斜率不存在时，则 ②当的斜率存在时，设由，可得， 设，则 . 21. 已知函数. （I）当时，求曲线在处的切线方程； （Ⅱ）若当时，，求a的取值范围. 参考答案： （1）（2） 试题分析：（Ⅰ）先求的定义域，再求，，，由直线方程的点斜式可求曲线在处的切线方程为（Ⅱ）构造新函数，对实数分类讨论，用导数法求解. 试题解析：（I）的定义域为.当时， ， 曲线在处切线方程为 （II）当时，等价于 设，则 ， （i）当，时，，故在上单调递增，因此； （ii）当时，令得 . 由和得，故当时，，在单调递减，因此. 综上，的取值范围是 【名师点睛】求函数的单调区间的方法： （1）确定函数y＝f（x）的定义域； （2）求导数y′＝f′（x）； （3）解不等式f′（x）>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； （4）解不等式f′（x）<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 22. （12分）已知函数f（x）=m（sinx+cosx）+2sinxcosx（m是常数，x∈R） （Ⅰ）当m=1时，求函数的最小值； （Ⅱ）求证：?m∈R，函数y=f（x）有零点． 参考答案： 【考点】函数的最值及其几何意义；三角函数的最值． 【分析】（Ⅰ）令t=sinx+cosx，则﹣，当m=1时，f（x）=（sinx+cosx）+2sinxcosx=t2+t﹣1，结合二次函数的图象和性质，可得函数的最小值； （Ⅱ）令g（t）=t2+mt﹣1，（﹣），结合函数的零点存在定理，可得结论． 【解答】解：（Ⅰ）当m=1时，f（x）=（sinx+cosx）+2sinxcosx 令t=sinx+cosx，则﹣，且f（x）=t2+t﹣1 所以，当t=﹣时，函数取得最小值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分） （Ⅱ）令t=sinx+cosx，则﹣，且f（x）=t2+mt﹣1 令g（t）=t2+mt﹣1，（﹣） 因为g（﹣）=1﹣m，g（）=1+m，g（0）=﹣1， 当m=0时，g（﹣）=g（）=1＞0，m，g（0）=﹣1＜0，函数在[﹣，]上有零点； 当m＞0时，g（）=1+m＞0，g（0）=﹣1＜0，函数在[0，]上有零点； 当m＜0时，g（﹣）=1﹣m＞0，g（0）=﹣1＜0，函数在[﹣，0]上有零点； 综上，对于?m∈R函数y=g（t）有零点，即函数y=f（x）有零点．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分） 【点评】本题考查的知识点是函数的最值及其意义，函数的零点存在定理，二次函数的图象和性质，难度中档．