安徽省合肥市新沟中学高二数学理期末试卷含解析

安徽省合肥市新沟中学高二数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若定义运算a⊕b=，则函数f（x）=log2x⊕的值域是（　　） A．[0，+∞） B．（0，1] C．[1，+∞） D．R 参考答案： A 【考点】4H：对数的运算性质． 【分析】先由定义确定函数f（x）的解析式，再根据函数的定义域和单调性求函数的值域 【解答】解：令，即log2x＜﹣log2x ∴2log2x＜0 ∴0＜x＜1 令，即log2x≥﹣log2x ∴2log2x≥0 ∴x≥1 又∵ ∴ 当0＜x＜1时，函数单调递减，∴此时f（x）∈（0，+∞） 当x≥1时，函数f（x）=log2x单调递增，∴此时f（x）∈[0，+∞） ∴函数f（x）的值域为[0，+∞） 故选A 【点评】本题考查解对数不等式以及对数函数的值域，求对数函数的值域要注意函数的单调性．属简单题 2. 在上可导的函数的图形如图所示，则关于的 不等式的解集为（    ）. A、            B、  C、    D、 参考答案： A 略 3. .sin75°= (    )    （A） （B）       （C）        （D） 参考答案： B 略 4. 已知（1，1）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，则l的斜率是（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】设直线l被椭圆+=1所截得的线段AB，A（x1，y1），B（（x2，y2） ， ?+=0，?， 【解答】解：设直线l被椭圆+=1所截得的线段AB，A（x1，y1），B（（x2，y2） 线段AB中点为（1，1），∴x1+x2=2，y1+y2=2 ， ?+=0， ?，l的斜率是． 故选：C 【点评】本题考查了中点弦问题，点差法是最好的方法，属于基础题． 5. 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的测试成绩分成6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以统计，得到如图（图3）所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该测试成绩不少于60分的学生人数为（      ） A．588 B．480 C．450 D．120   参考答案： B 略 6. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，则          B．若，则 C．若，则          D．若，则 参考答案： B 略 7. 在中，是的(  ) A.充分不必要条件         B.必要不充分条件       C.充要条件        D.既不充分也不必要条件 参考答案： 试题分析：充分性的判断: 时,,必要性的判断: ,则中,为锐角,所以.综上是的充要条件. 考点：充要条件的判断. 8. 某林场有树苗30 000棵，其中松树苗4 000棵，为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为(　　) A．30           B．25             C．20            D．15 参考答案： C 9. 下列不等式中，与不等式同解的是（    ） （A）           （B） （C）                 （D） 参考答案： D 略 10. 过点且垂直于直线 的直线方程为（    ） A．   B．  C．  D． 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 复数的实部为        ，虚部为       。 参考答案： 1,-1. 12. 已知函数满足对任意成立，则的取值范围是          参考答案： 略 13. 已知在上是增函数，则的取值范围是          . 参考答案：     14. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加志愿者活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同的安排方案的种数是 ________  参考答案： 126 15. 圆与直线的交点个数是       . 参考答案： 2 16. 已知函数与的图象上存在关于原点对称的点，则实数的取值范围是          ． 参考答案： 17. 给定集合An={1，2，3，…，n}，映射f：An→An，满足以下条件： ①当i，j∈An且i≠j时，f（i）≠f（j）； ②任取x∈An，若x+f（x）=7有K组解，则称映射f：An→An含K组优质数，若映射f：A6→A6含3组优质数． 则这样的映射的个数为　_________　． 参考答案： 40 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （12分）已知直线的方程为，，点的坐标为． （Ⅰ）求证：直线恒过定点，并求出定点坐标； （Ⅱ）设点在直线上的射影为点，点的坐标为，求||的取值范围． 参考答案： （1）由得，所以直线恒过直线与直线交点，解方程组得，所以直线恒过定点，且定点为． （Ⅱ）因为直线绕着点旋转，所以点在以线段为直径的圆上，其圆心为点，半径为，因为的坐标为，所以，从而． 19. 已知和都是实数． （1）求复数z； （2）若复数在复平面上对应的点在第四象限,求实数a的取值范围． 参考答案： （1）；（2）(－2,2) 【分析】 （1）化简和，利用复数为实数的条件求出a，b的值，即得复数z． （2）化简式子，利用复数与复平面内对应点之间的关系列出不等式组，解不等式组求得实数a 的取值范围． 【详解】（1）设,则 ∵和都是实数, ∴ 解得 ∴ （2）由（1）知,∴ ∵在复平面上对应的点在第四象限, ∴ 解得 即实的取值范围是(－2,2)． 【点睛】本题考查复数代数形式的混合运算，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，式子的变形是解题的难点． 20. （本题满分13分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．（1）求椭圆的方程；（2）设，，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点． 参考答案： 解（1）由题意知，所以．即．又因为，所以，． 故椭圆的方程为．…………4分 （2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为．…5分 由得．    ①…………6分 设点，，则．直线的方程为． 令，得．将，代入整理，得．② 由①得，代入②整理，得． 所以直线与轴相交于定点…………13分 略 21. （本小题10分）设，（其中，且）． （1）请你推测能否用来表示； （2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广． 参考答案： （1）由 22. 已知圆，直线l过点(3,1). （1）若直线l与圆M相切，求直线l的方程； （2）若直线l与圆M交于P，Q两点，当的面积最大时，求直线l的方程. 参考答案： （1）或；（2）或. 【分析】 （1）分直线l的斜率不存在与直线l的斜率存在两种讨论，根据直线l与圆M相切进行计算，可得直线的方程； （2）设直线l的方程为，圆心到直线l的距离为d，可得的长，由的面积最大，可得，可得k的值，可得直线的方程. 【详解】解：（1）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，此时直线l与圆M相切，所以符合题意 , 当直线l的斜率存在时，设l的斜率为k， 则直线l的方程为， 即 , 因为直线l与圆M相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径， 即, 解得，即直线l的方程为； 综上，直线l的方程为或, （2）因为直线l与圆M交于P.Q两点，所以直线l的斜率存在， 可设直线l的方程为，圆心到直线l的距离为d , 则 , 从而的面积为· 当时，的面积最大 , 因为， 所以， 解得或, 故直线l的方程为或. 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系及方程的应用，涉及直线与圆相切，直线与圆相交及三角形面积的计算与点到直线的距离公式，需灵活运用各知识求解.