2022-2023学年湖南省岳阳市临湘市龙源乡学区联校高一数学理联考试题含解析

2022-2023学年湖南省岳阳市临湘市龙源乡学区联校高一数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知数列前项和，则数列（    ） A.是等差数列                          B. 是等比数列              C.是等比也是等差数列                  D. 不是等比也不是等差数列 参考答案： D 2. 满足函数和都是增函数的区间是(   ) A． ,          B．, C．,        D．  参考答案： D 略 3. 已知直线l：xcosθ+ysinθ+2=0与圆x2+y2=4，则直线l与圆的位置关系是（　　） A．相交 B．相离 C．相切 D．与θ的取值有关 参考答案： C 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】求出圆心（0，0）到直线l：xcosθ+ysinθ+2=0的距离，此距离正好等于半径，故直线和圆相切，由此得出结论． 【解答】解：直线l：xcosθ+ysinθ+2=0，圆心（0，0）到直线l：xcosθ+ysinθ+2=0的距离 d==2，正好等于半径，故直线和圆相切． 故选C． 4. 已知，直线和是函数图象的两条相邻的对称轴，则（       ） A．         B．         C．         D． 参考答案： A 5. 如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为 A．           B．             C．              D． 参考答案： C 略 6. 已知函数f（x）=是R上的增函数，则a的取值范围是（　　） A．﹣3≤a＜0 B．﹣3≤a≤﹣2 C．a≤﹣2 D．a＜0 参考答案： B 【考点】3F：函数单调性的性质；3W：二次函数的性质． 【分析】由函数f（x）上R上的增函数可得函数，设g（x）=﹣x2﹣ax﹣5，h（x）=，则可知函数g（x）在x≤1时单调递增，函数h（x）在（1，+∞）单调递增，且g（1）≤h（1），从而可求 【解答】解：∵函数是R上的增函数 设g（x）=﹣x2﹣ax﹣5（x≤1），h（x）=（x＞1） 由分段函数的性质可知，函数g（x）=﹣x2﹣ax﹣5在（﹣∞，1]单调递增，函数h（x）=在（1，+∞）单调递增，且g（1）≤h（1） ∴ ∴ 解可得，﹣3≤a≤﹣2 故选B 7. 若一个数列的前三项依次为6，18，54，则此数列的一个通项公式为（    ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 ，，，可以归纳出数列的通项公式． 【详解】依题意，，，， 所以此数列的一个通项公式为， 故选：C． 【点睛】本题考查了数列的通项公式，主要考查归纳法得到数列的通项公式，属于基础题． 8. 在自然数集N中，被3除所得余数为r的自然数组成一个“堆”，记为[r]，即，其中，给出如下四个结论：       ④若属于同一“堆”，则不属于这一“堆”其中正确结论的个数    （    ）    A．1           B．2       C．3                D．4 参考答案： C 解：①∵2011÷5=402…1，∴2011∈[1]，故①对； ②∵-3=5×（-1）+2，∴对-3?[3]；故②错； ③∵整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故③对； ④∵整数a，b属于同一“类”，∴整数a，b被5除的余数相同，从而a-b被5除的余数为0，反之也成立，故“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a-b∈[0]”．故④对． ∴正确结论的个数是3． 故选C 9. 已知向量满足，，且，则向量与的夹角为 A.60°      B.30°       C.150°       D.120° 参考答案： D 10. 在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是（   ）. A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 画出图像，根据向量加法运算，对选项逐一分析判断，由此得出正确选项. 【详解】画出图像如下图所示.对于A选项，大小相等方向相反，，结论正确.对于B选项，根据向量加法的平行四边形法则可知，，结论正确.对于C选项，由于，故结论错误.对于D选项，，大小相等方向相反，，结论正确.故选C. 【点睛】本小题主要考查向量加法运算，考查平行四边形的几何性质，属于基础题. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 经过点（﹣1，0），且与直线x+y=0垂直的直线方程是　_________　． 参考答案： y=x+1 12. 已知，若函数为奇函数，则______． 参考答案： 【分析】 根据奇函数的定义以及余弦函数的图像和性质即可得到答案。 【详解】若函数为奇函数，则，即，解得，又因为，所以， 【点睛】本题考查函数的奇偶性以及及余弦函数的图像和性质，属于一般题。 13. 不等式的解集是    ▲     参考答案： 14. 若函数f（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上为奇函数，且在（0，+∞）上是单调增函数，f（﹣2）=0，则不等式xf（x）＜0的解集为        ． 参考答案： （﹣2，0）∪（0，2） 【考点】奇偶性与单调性的综合． 【分析】根据函数的图象性质求解不等式，由于本题是一个奇函数且在区间（0，+∞）上是单调增函数，又f（﹣2）=0，可以得出函数的图象特征．由图象特征求解本题中的不等式的解集即可． 【解答】解：∵f（x）是奇函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数，又f（﹣2）=0， ∴f（2）=0，且当x＜﹣2或0＜x＜2时，函数图象在x轴下方，如图． 当x＞2或﹣2＜x＜0时函数图象在x轴上方． ∴xf（x）＜0的解集为（﹣2，0）∪（0，2） 故答案为：（﹣2，0）∪（0，2） 【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查学生的计算能力，属于基础题． 15. 已知，，，且∥，则＝       ． 参考答案： 略 16. 给出下列四个命题： ①函数与函数表示同一个函数； ②奇函数的图像一定通过直角坐标系的原点； ③函数的图像可由的图像向右平移1个单位得到； ④若函数的定义域为，则函数的定义域为； ⑤设函数是在区间上图像连续的函数，且，则方程在区间上至少有一实根； 其中正确命题的序号是______________．（填上所有正确命题的序号） 参考答案： ③⑤ 略 17. 已知函数一部分图像如图所示，则          ，函数的图像可以由的图像向左平移至少          个单位得到． 参考答案： 2，  三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分10分） 已知全集，集合，. （1）分别求，； （2）已知集合，若，求实数a的取值范围. 参考答案： 解：（1）A=(1,3).....2分       .....4分 ，.....5分              .....6分 （2）若，即，符合题意；.....7分 若，即，因为，所以，所以.....9分 综上所述，实数的取值范围是.....10分   19. （1）已知，，，求． （2）已知为第二象限角，且，求的值． 参考答案： （1）；（2） 【分析】 （1）由的余弦值和、角的范围求出的正弦值，由的正弦值和范围，求出的余弦值，要求的结论的正弦值，把变化为的正弦值求解即可． （2）由同角三角函数的基本关系求出，再利用两角和的正弦公式及二倍角公式将式子化简，再代入求值即可； 【详解】解：（1）， ． ． ． 又，． ． （2）因为，得，又因为为第二象限角，所以， 【点睛】本题主要考查三角函数和角公式等基础知识及运算能力．已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值，角的变换是解题的关键，属于中档题． 20. 设函数f（x）=log2（ax﹣bx），且f（1）=1，f（2）=log212． （1）求a，b的值； （2）当x∈[1，2]时，求f（x）最大值． 参考答案： 【考点】对数函数图象与性质的综合应用． 【分析】（1）由已知f（1）=1，f（2）=log212代入到f（x）中，求得a、b的值即可； （2）利用换元法，由（1）得，令g（x）=4x﹣2x=（2x）2﹣2x，再令t=2x，则y=t2﹣t，可知函数y=（t﹣）2﹣在[2，4]上是单调递增函数，从而当t=4时，取得最大值12，故x=2时，f（x）取得最大值． 【解答】解：∵函数f（x）=log2（ax﹣bx），且f（1）=1，f（2）=log212 ∴ ∴ ∴ （2）由（1）得 令g（x）=4x﹣2x=（2x）2﹣2x 令t=2x，则y=t2﹣t ∵x∈[1，2]， ∴t∈[2，4]， 显然函数y=（t﹣）2﹣在[2，4]上是单调递增函数， 所以当t=4时，取得最大值12， ∴x=2时，f（x）最大值为log212=2+log23 21. 已知：集合，其中．，称为的第个坐标分量．若，且满足如下两条性质： ①中元素个数不少于4个． ②，，，存在，使得，，的第个坐标分量都是1．则称为的一个好子集． （1）若为的一个好子集，且，，写出，． （2）若为的一个好子集，求证：中元素个数不超过． （3）若为的一个好子集且中恰好有个元素，求证：一定存在唯一一个，使得中所有元素的第个坐标分量都是1． 参考答案： （），． （）对于，考虑元素； 显然，，，，对于任意的，，，不可能都为， 可得，不可能都是好子集中． 又因为取定，则一定存在且唯一，而且， 由的定义知道，，, 这样，集合中元素的个数一定小于或等于集合中元素个数的一半，而集合中元素的个数为，所以中元素个数不超过． （），，定义元素，的乘积为 ，显然． 我们证明“对任意的，都有．” 假设存在，使得，则由（）知， ． 此时，对于任意的，，，不可能同时为，矛盾，所以． 因为中只有个元素，我们记为中所有元素的成绩，根据上面的结论，我们知道， 显然这个元素的坐标分量不能都为，不妨设， 根据的定义，可以知道中所有元素的坐标分量都为． 下面再证明的唯一性： 若还有，即中所有元素的坐标分量都为． 所以此时集合中元素个数至多为个，矛盾． 所以结论成立． 22. 在平面直角坐标系中，已知 （1）求以线段为邻边的平行四边形的两条对角线的长； （2）设实数满足，求的值. 参考答案： （1）  所以所求对角线 （2）∵，，      ∴ 解得： 略