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2022-2023学年辽宁省铁岭市第一中学高一数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设函数, 若,则( )
A.或3 B.2或3
C.或2 D.或2或3
参考答案:
C
因为根据解析式,当a<1时,,综上可知满足题意的实数a的取值为-1或2,选C.
2. 已知,是两个不同的平面,给出下列四个条件:
①存在一条直线a,使得,;
②存在两条平行直线a,b,使得,,,;
③存在两条异面直线a,b,使得,,,;
④存在一个平面,使得,.
其中可以推出的条件个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
参考答案:
B
当,不平行时,不存在直线与,都垂直,,,故(1)正确;
存在两条平行直线,,,,,,则,相交或平行,所以(2)不正确;
存在两条异面直线,,,,,,由面面平行的判定定理得,故(3)正确;
存在一个平面,使得,,则,相交或平行,所以(4)不正确;
故选
3. 已知0<<1,m>1,则函数的图象大致为
参考答案:
B
4. 符合下列条件的三角形有且只有一个的是( )
A.a=1, b=2 , c=3 B.a=1, b= ,∠A=30°
C.a=1, b=2, ∠A=100° D.b=c=1, ∠B=45°
参考答案:
D
5. 已知函数,若满足,则在区间上的零点个数是 ( )
A、1 B、2 C、至少一个 D、至少二个
参考答案:
A
6. 函数的定义域是( )
A.(-∞,4) B.(2,4) C.(0,2)∪(2,4) D.(-∞,2) ∪(2,4)
参考答案:
D
函数的定义域需满足 解得 且
7. (5分)设a=log3,b=()0.2,c=2,则a、b、c的大小顺序为()
A. b<a<c B. c<b<a C. c<a<b D. a<b<c
参考答案:
D
考点: 对数值大小的比较.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出.
解答: ∵a=log3<0,0<b=()0.2<1,c=2>1,
∴a<b<c.
故选:D.
点评: 本题考查了指数函数与对数函数的单调性,属于基础题.
8. 已知是两个单位向量,且=0.若点在内,且,
则, 则等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
9. 设数列, ,其中a、b、c均为正数,则此数列
A 递增 B 递减 C 先增后减 D先减后增
参考答案:
A
10. 已知函数是幂函数且是上的增函数,则的值为
(A)2 (B) -1 (C) -1或2 (D) 0
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 给出下列命题:
①函数在定义域内是增函数;
②函数不是周期函数;
③函数的单调减区间是;
④函数的图像向左平移个单位,所得图像的函数表达式为.
则正确命题的个数有:
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
参考答案:
B
略
12. 已知平行四边形ABCD的两个顶点为点为则另外两个顶点的坐标为 .
参考答案:
(
13. 已知是递增的数列,且对于任意都有成立,则实数的取值范围是___________
参考答案:
14. △ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,,则实数=________.
参考答案:
1
15. 数列{ 2 n }和{ 3 n + 2 }的公共项由小到大排列成数列{ c n },则{ c n }的通项公式c n = ,前n项和S n = 。
参考答案:
2 ? 4 n,( 4 n – 1 )
16. 已知,,且,则的最大值等于_____.
参考答案:
14
略
17. 等差数列的前n项和为 ,且,则_________。
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设关于的不等式的解集为,不等式的解集为.(Ⅰ)当时,求集合;(Ⅱ)若,求实数的取值范围.
参考答案:
(Ⅰ)当时, 由已知得.
解得.
所以.
(Ⅱ) 由已知得.
①当时, 因为,所以.
因为,所以,解得
②若时, ,显然有,所以成立
③若时, 因为,所以.
又,因为,所以,解得
综上所述,的取值范围是.
19. 已知数列中,,,通项是项数的一次函数,
①求的通项公式,并求;
②若是由组成,试归纳的一个通项公式.
参考答案:
解析:设,则,解得,∴,∴,
又∵,,,,即为5,9,13,17,…,∴.
20. (9分)经市场调查,某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数,且销售量近似满足g(t)=80﹣2t(件),价格近似满足f(t)=20﹣|t﹣10|(元).
(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数关系表达式;
(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值.
参考答案:
考点: 分段函数的应用;函数解析式的求解及常用方法.
专题: 计算题;应用题;分类讨论;函数的性质及应用.
分析: (1)根据y=g(t)?f(t),可得该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式;
(2)分段求最值,可求该种商品的日销售额y的最大值和最小值.
解答: (1)依题意,可得:
,
所以;
(2)当0≤t≤10时,y=(30+t)(40﹣t)=﹣(t﹣5)2+1225,
y的取值范围是,在t=5时,y取得最大值为1225;
当10<t≤20时,=(50﹣t)(40﹣t)=(t﹣45)2﹣25,
y的取值范围是
解答: (1)∵f(﹣x)=a﹣x﹣ax=﹣f(x),
∴f(x)是定义域为R的奇函数,
∵f(x)=ax﹣a﹣x(a>0且a≠1),且f(1)<0,
∴,又∵a>0,且a≠1,
∴0<a<1.
∵ax单调递减,a﹣x单调递增,
∴f(x)在R上单调递减.
不等式f(x2+tx)+f(4﹣x)<0化为:f(x2+tx)<f(x﹣4),
∴x2+tx>x﹣4,即x2+(t﹣1)x+4>0恒成立,
∴△=(t﹣1)2﹣16<0,解得:﹣3<t<5.
(2)∵f(1)=,∴,即2a2﹣3a﹣2=0.
∴a=﹣(舍去)或a=2,
∴a=2,
∴g(x)=22x+2﹣2x﹣2m(2x﹣2﹣x)=(2x﹣2﹣x)2﹣2m(2x﹣2﹣x)+2.
令t=f(x)=2x﹣2﹣x,
由(1)可知t=f(x)=2x﹣2﹣x为增函数,
∵x≥1,
∴t≥f(1)=,
令h(t)=t2﹣2mt+2=(t﹣m)2+2﹣m2(t≥),
若m≥,
当t=m时,h(t)min=2﹣m2=﹣2,∴m=2
若m<,当t=时,h(t)min=﹣3m=﹣2,解得m=>,舍去
综上可知m=2.
点评: 本题考查了函数的奇偶性、单调性,还考查了转化化归和分类讨论的数学思想,本题难度适中,属于中档题.
21. 已知集合,,
(1)若,求.
(2)若,求实数a的取值范围。
参考答案:
22. (14分)如图,在三棱锥P﹣ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点,已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.求证:
(1)直线PA∥平面DEF;
(2)平面BDE⊥平面ABC.
参考答案:
考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面垂直的判定.
专题: 空间位置关系与距离;空间角;立体几何.
分析: (1)由D、E为PC、AC的中点,得出DE∥PA,从而得出PA∥平面DEF;
(2)要证平面BDE⊥平面ABC,只需证DE⊥平面ABC,即证DE⊥EF,且DE⊥AC即可.
解答: 证明:(1)∵D、E为PC、AC的中点,∴DE∥PA,
又∵PA?平面DEF,DE?平面DEF,
∴PA∥平面DEF;
(2)∵D、E为PC、AC的中点,∴DE=PA=3;
又∵E、F为AC、AB的中点,∴EF=BC=4;
∴DE2+EF2=DF2,
∴∠DEF=90°,
∴DE⊥EF;
∵DE∥PA,PA⊥AC,∴DE⊥AC;
∵AC∩EF=E,∴DE⊥平面ABC;
∵DE?平面BDE,∴平面BDE⊥平面ABC.
点评: 本题考查了空间中的平行与垂直问题,解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间的垂直与平行的互相转化关系,是基础题目.
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