安徽省蚌埠市耿集中学2022-2023学年高一数学理联考试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数f（x）=，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x3（x1+x2）+的取值范围是（ ）
A．（﹣1，+∞） B．（﹣1，1] C．（﹣∞，1） D．[﹣1，1）
参考答案：
B
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用．
【分析】作函数f（x）=的图象如下，由图象可得x1+x2=﹣2，x3x4=1；1＜x4≤2；从而化简x3（x1+x2）+，利用函数的单调性求取值范围．
【解答】解：作函数f（x）=，的图象如下，
由图可知，x1+x2=﹣2，x3x4=1；1＜x4≤2；
故x3（x1+x2）+=﹣+x4，
其在1＜x4≤2上是增函数，
故﹣2+1＜﹣+x4≤﹣1+2；
即﹣1＜﹣+x4≤1；
故选B．
【点评】本题考查了分段函数的应用，属于中档题．
2. 若，的等差中项为，且，则的取值范围为
A. B. C. D.
参考答案：
C
3. 如图，设A，B两点在河的两岸，某测量者在A同侧的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50米，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为（ ）
A. 50 米 B. 50米 C. 25 米 D. 米
参考答案：
A
【分析】
先根据三角形内角和求，再根据正弦定理求解.
【详解】在中，
则
由正弦定理得 ，
所以 m.
故选A.
【点睛】本题考查解三角形的实际应用，正弦定理余弦定理是常用方法，注意增根的排除.
4. 设全集为R,函数的定义域为M,则= ( )
A. B. C. D.
参考答案：
C
5. 已知点P是圆x2+y2=1上动点，定点Q（6，0），点M是线段PQ靠近Q点的三等分点，则点M的轨迹方程是（ ）
A．（x+3）2+y2=4 B．（x﹣4）2+y2= C．（2x﹣3）2+4y2=1 D．（2x+3）2+4y2=1
参考答案：
B
【考点】J3：轨迹方程；JE：直线和圆的方程的应用．
【分析】点M是靠近点Q的三等分点，设M（x，y），则P（3x，3y﹣8），代入圆的方程即得M的轨迹方程．
【解答】解：点M是靠近点Q的三等分点，设M（x，y），P（x′，y′），
=3，则P（3x﹣12，3y），代入圆的方程得（3x﹣12）2+（3y）2=1．
M的轨迹方程是：（x﹣4）2+y2=．
故选：B．
6. 设f(x)＝asin(x＋)＋bcos(x＋)＋4，其中a、b、、均为非零实数，若f(1988)＝3，则f(2013)的值为( )
A.1 B.5 C.3 D.不确定
参考答案：
B
7. 已知集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2＜x≤5}，则A∪B=（ ）
A．（ 2，3 ） B．[﹣1，5] C．（﹣1，5） D．（﹣1，5]
参考答案：
B
【考点】并集及其运算．
【分析】由集合A与B，求出A与B的并集即可．
【解答】解：∵集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2＜x≤5}，
∴A∪B={﹣1≤x≤5}=[﹣1，5]．
故选：B
8. （5）已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于
（A） （B） （C） （D）
参考答案：
D
略
9. 若且,则( )
A． B． C． D．
参考答案：
A
略
10. 圆的半径为r，该圆上长为r的弧所对的圆心角是( )
A. rad B. rad C. π D. π
参考答案：
S
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 集合A={3，2a}，B={a，b}，若AB={2}，则AB= ▲ .
参考答案：
{1,2,3}
12. 已知函数，则______________.
参考答案：
13. 若，且，则向量与的夹角为 ．
参考答案：
解析：,或画图来做
14. 已知函数f（x）=sin（πx﹣），若函数y=f（asinx+1），x∈R没有零点，则实数a的取值范围是 ．
参考答案：
（﹣，）
【考点】正弦函数的图象；函数零点的判定定理．
【专题】分类讨论；综合法；三角函数的图像与性质．
【分析】由f（x）没有零点求得x的范围，再根据f（asinx+1）没有零点可得asinx+1的范围，根据正弦函数的值域，分类讨论求得a的范围．
【解答】解：若函数f（x）=sin（πx﹣）=sinπ（x﹣）没有零点，
故0＜（x﹣）π＜π，或﹣π＜（x﹣）π＜0，
即 0＜（x﹣）＜1，或﹣1＜（x﹣）＜0，
即＜x＜或﹣＜x＜．
由于函数y=f（asinx+1），x∈R没有零点，则＜asinx+1＜，或﹣＜asinx+1＜，
当a＞0时，∵1﹣a≤asinx+1≤1+a， 或，
解得0＜a＜．
当a＜0时，1+a≤asinx+1≤1﹣a，∴或，
求得﹣＜a＜0．
当a=0时，函数y=f（asinx+1）=f（1）=sin=≠0，满足条件．
综上可得，a的范围为（﹣，）．
故答案为：（﹣，）．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征，函数的零点的定义，属于中档题．
15. 已知，且是第二象限角，那么
参考答案：
16. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为200，300，500，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为150的样本，则应从高二年级抽取 名学生．
参考答案：
45
【考点】B3：分层抽样方法．
【分析】根据三个年级的人数，做出高二所占的比例，用要抽取得样本容量乘以高二所占的比例，得到要抽取的高二的人数．
【解答】解：∵高一、高二、高三年级的学生人数分别为200，300，500，
∴高二在总体中所占的比例是=，
∵用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为150的样本，
∴要从高二抽取×150=45，
故答案为：45．
【点评】本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例，这就是在抽样过程中被抽到的概率，本题是一个基础题．
17. 已知，且，则的值为 .
参考答案：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a、b、c，不等式≥0对一切实数恒成立.
（1）求cosC的取值范围；
（2）当∠C取最大值，且△ABC的周长为6时，求△ABC面积的最大值，并指出面积取最大值时△ABC的形状.
参考答案：
（1）当cosC=0时，sinC=1，原不等式即为4x+6≥0对一切实数x不恒成立.1分
当cosC≠0时，应有
∵C是△ABC的内角， ∴
（2）∵0
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