安徽省阜阳市姚集中学2022年高一数学理测试题含解析

安徽省阜阳市姚集中学2022年高一数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角为（     ） A． B． C． D． 参考答案： D 2. 已知A（－3，0）、B（0，2），O为坐标原点，点C在∠AOB内，且∠AOC＝45°，设，则的值为（     ） A、    B、   C、    D、 参考答案： C 3. 设，则与的大小关系是（    ） A．          B．         C．     D．与的值有关 参考答案： A 略 4. 设全集为 R ，A =，则(     )． A．    B．｛x | x＞0｝    C．｛x | x｝   D． 参考答案： C 5. 已知＝(cos2α，sinα)，＝(1,2sinα－1)，α∈(，π)，若·＝，则tan(α＋)的值是（ ） A、        B、        C、        D、 参考答案： D 6. （3分）函数f（x）=ax（0＜a＜1）在区间上的最大值比最小值大，则a的值为（） A． B． C． D． 参考答案： A 考点： 指数函数的定义、解析式、定义域和值域． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 根据指数函数为单调函数，故函数f（x）=ax（0＜a＜1）在区间在区间上的最大值与最小值的差是，由此构造方程，解方程可得答案． 解答： 解：∵函数f（x）=ax（0＜a＜1）在区间上为单调递减函数， ∴f（x）max=f（0）=1，f（x）min=f（2）=a2， ∵最大值比最小值大， ∴1﹣a2=， 解得a= 故选：A． 点评： 本题考查的知识点是指数函数单调性的应用，熟练掌握指数函数的单调性是解答的关键 7. 用秦九韶算法求多项式, 当时的值的过程中， 做的乘法和加法次数分别为(    ) A．4，5    B．5，4     C．5，5     D．6，5 参考答案： C 8. 若，命题：1是集合中的元素，命题：4是集合或中的元素。则在下列命题：①②③且④或中，真命题的个数是：（     ） A．1个     B．2个     C．3个      D．4个 参考答案： B 9. 若不等式的解集为，则值是（    ） A．－10                B.－14           C．10        D.14 参考答案： A 10. 设为正整数n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如.记，，则＝（     ）     A．20             B．4              C．42             D．145 参考答案： 解析：将记做，于是有         从16开始，是周期为8的周期数列。故          正确答案为D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如图，正方体中，，点为的中点，点在上，若，则线段的长度等于． 参考答案： 略 12. 已知，则的最小值是_____________________． 参考答案： 2 分析：先化简已知得到xy=10,再利用基本不等式求的最小值. 详解：因为，所以 所以， 当且仅当即x=2,y=5时取到最小值. 故答案为2. 点睛：（1）本题主要考查对数运算和基本不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，三者缺一不可． 13. 《九章算术》中，将底面为长方形且由一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P-ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，，三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为__________. 参考答案： 【分析】 由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且平面，可得，．因为为直角三角形，可得，所以，因此，结合几何关系，可求得外接球的半径，，代入公式即可求球的表面积。 【详解】本题主要考查空间几何体． 由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且平面， ，，，． 因为为直角三角形， 因此或（舍）． 所以只可能是， 此时，因此， 所以平面所在小圆的半径即为， 又因为， 所以外接球的半径， 所以球的表面积为． 【点睛】本题考查三棱锥的外接球问题，难点在于确定BC的长，即得到，再结合几何性质即可求解，考查学生空间想象能力，逻辑推理能力，计算能力，属中档题。 14. 设函数，如下结论中正确的是　　．（写出所有正确结论的编号）： ①点是函数f（x）图象的一个对称中心； ②直线x=是函数f（x）图象的一条对称轴； ③函数f（x）的最小正周期是π； ④函数f（x）在上为增函数； ⑤将函数f（x）的图象向右平移个单位后，对应的函数是偶函数． 参考答案： ②③⑤ 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】①，（﹣）是函数f（x）图象的一个对称中心； ②，f（）=0为最小值，故直线x=是函数f（x）图象的一条对称轴； ③，根据函数f（x）的正周期计算法则可得； ④，2×（﹣）=﹣，2×=，函数y=cosx在（﹣）上不单调； ⑤，将函数f（x）的图象向右平移个单位后，对应的函数是y=cos2x+1，是偶函数； 【解答】解：对于①，∵（﹣）是函数f（x）图象的一个对称中心，故错； 对于②，∵f（）=0为最小值，故直线x=是函数f（x）图象的一条对称轴，正确； 对于③，函数f（x）的最小正周期是π，正确； 对于④，2×（﹣）=﹣，2×=，函数y=cosx在（﹣）上不单调，故错； 对于⑤，将函数f（x）的图象向右平移个单位后，对应的函数是y=cos2x+1，是偶函数，故正确； 故答案为：②③⑤ 【点评】本题考查了三角函数的图象及性质，属于基础题． 15. 若，，则               参考答案： 16. 函数的定义域是            . 参考答案： 由，所以函数的定义域为。 17. 对于函数f（x）=，给出下列四个命题： ①该函数是以π为最小正周期的周期函数； ②当且仅当x=π+kπ（k∈Z）时，该函数取得最小值﹣1； ③该函数的图象关于x=+2kπ（k∈Z）对称； ④当且仅当2kπ＜x＜+2kπ（k∈Z）时，0＜f（x）≤． 其中正确命题的序号是　　．（请将所有正确命题的序号都填上） 参考答案： ③④ 【考点】三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法；余弦函数的单调性． 【分析】由题意作出此分段函数的图象，由图象研究该函数的性质，依据这些性质判断四个命题的真假，此函数取自变量相同时函数值小的那一个，由此可顺利作出函数图象． 【解答】解：由题意函数f（x）=，画出f（x）在x∈[0，2π]上的图象． 由图象知，函数f（x）的最小正周期为2π， 在x=π+2kπ（k∈Z）和x=+2kπ（k∈Z）时，该函数都取得最小值﹣1，故①②错误， 由图象知，函数图象关于直线x=+2kπ（k∈Z）对称， 在2kπ＜x＜+2kπ（k∈Z）时，0＜f（x）≤，故③④正确． 故答案为   ③④ 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设a为实数，记函数f（x）=a++的最大值为g（a）． （1）设t=+，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数m（t）； （2）求g（a）； （3）试求满足g（a）=g（）的所有实数a． 参考答案： 【考点】函数最值的应用． 【分析】（1）令t=+，由1+x≥0且1﹣x≥0，得﹣1≤x≤1，进而得m（t）的解析式． （2）由题意知g（a）即为函数m（t）=at2+t﹣a，t∈[，2]的最大值，分a＞0、a=0、a＜0三种情况利用函数的单调性求出函数f（x）的最大值为g（a）； （3）分类讨论，求得g（a）的范围，即可求得满足g（a）=g（）的所有实数a． 【解答】解：（1）∵t=+，要使t有意义，必须1+x≥0且1﹣x≥0，即﹣1≤x≤1． ∵t2=2+2∈[2，4]，且t≥0…①， ∴t的取值范围是[，2]． 由①得： =t2﹣1，∴m（t）=a（t2﹣1）+t=at2+t﹣a，t∈[，2]． （2）由题意知g（a）即为函数m（t）=at2+t﹣a，t∈[，2]的最大值， ∵直线t=﹣是抛物线m（t）=at2+t﹣a的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论： 1°当a＞0时，函数y=m（t），t∈[，2]的图象是开口向上的抛物线的一段， 由t=﹣＜0知m（t）在t∈[，2]上单调递增，故g（a）=m（2）=a+2； 2°当a=0时，m（t）=t，在t∈[，2]上单调递增，有g（a）=2； 3°当a＜0时，函数y=m（t），t∈[，2]的图象是开口向下的抛物线的一段， 若t=﹣∈（0，]即a≤﹣时，g（a）=m（）=， 若t=﹣∈（，2]即a∈（﹣，﹣]时，g（a）=m（﹣）=﹣a﹣， 若t=﹣∈（2，+∞）即a∈（﹣，0）时，g（a）=m（2）=a+2． 综上所述，有g（a）=； （3）当a＞﹣时，g（a）=a+2＞＞ a∈（﹣，﹣]时，﹣a∈[，]，﹣a≠﹣ g（a）=﹣a﹣＞2= ∴a＞﹣时，g（a）＞ 当a＞0时，＞0，由g（a）=g（）可得，∴a=1； 当a＜0时，a?=1，∴a≤﹣1或≤﹣1 ∴g（a）=或g（）= 要使g（a）=g（），只需a≤﹣，≤﹣，∴ 综上，满足g（a）=g（）的所有实数a或a=1． 19. 已知函数f（x）=2sin2（+x）﹣cos2x （Ⅰ）求f（x）的周期和单调递增区间 （Ⅱ）若关于x的方程f（x）﹣m=2在x∈[，]上有解，求实数m的取值范围． 参考答案： 【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用． 【分析】（I）先根据诱导公式以及二倍角公式，辅助角公式对函数化简，再结合正弦函数的周期以及单调性的求法即可得到结论； （II）先根据正弦函数的单调性求出f（x）的值域，再把方程有解转化为f（x）与m+2的取值范围相同即可求实数m的取值范围． 【解答】解：（I）∵f（x）=2sin2（+x）﹣cos2x =1﹣cos（+2x）﹣cos2x =1+sin2x﹣cos2x =2sin（2x﹣）+1． ∴周期T=π； 令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ，解得kπ﹣≤x≤kπ， ∴单调递增区间为[kπ﹣，kπ]，（k∈Z）． （II）∵x∈[，]，所以2x﹣∈[，]， ∴sin（2x﹣）∈[，1]， 所以f（x）的值域为[2，3]， 而f（x）=m+2，所以m+2∈[2，3]，即m∈[0，1] 20. （15分）ABC中，B=60，c=3，=，求 参考答案： (15分)由余弦定理得：或2，所以或 21. 已知向量． （1）求函数f（x）的最小正周期； （2）求函数f（x）的单调减区间； （3）画出函数的图象，由图象研究并写出g（x）的对称轴和对称中心． 参考答案： 【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象；平面向量数量积的运算；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性． 【专题】计算题；作图题． 【分析】（1）利用二倍角公式和两角和公式对函数的解析式进行化简整理，然后利用周期公式求得函数的最小正周期； （2）利用正弦函数的性质求得函数单调减时2x+的范围，进而求得x的范围即函数的单调减区间； （3）用五点法作出g（x）的图象，结合图象研究