2022-2023学年江苏省盐城市羽佳中学高二数学理联考试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）
A、 B、
C、 D、
参考答案：
D
略
2. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A.（，0） B. （0，） C. （，0） D.（0，－1）
参考答案：
B
略
3. 把38化成二进制数为（ ）
A．100110 B.101010 C.110100 D.110010
参考答案：
A
4. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，b=2，则c等于（ ）
A. 4 B. 2 C. D.
参考答案：
A
略
5. 以双曲线=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（ ）
A．y2=16x B．y2=﹣16x C．y2=8x D．y2=﹣8x
参考答案：
A
【考点】K8：抛物线的简单性质．
【分析】根据双曲线方程，算出它的右焦点为F（4，0），也是抛物线的焦点．由此设出抛物线方程为y2=2px，（p＞0），结合抛物线焦点坐标的公式，可得p=8，从而得出该抛物线的标准方程．
【解答】解析 由双曲线方程﹣=1，可知其焦点在x轴上，由a2=16，得a=4，∴该双曲
线右顶点的坐标是（4，0），∴抛物线的焦点为F（4，0）．设抛物线的标准方程为y2=
2px（p＞0），则由=4，得p=8，故所求抛物线的标准方程为y2=16x．
故选A．
6. 设F1，F2分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若∠PF1F2=30°，则椭圆C的离心率为( )
A． B． C． D．
参考答案：
A
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】由已知条件推导出PF2⊥x轴，PF2=，PF2=，从而得到=，由此能求出椭圆的离心率．
【解答】解：∵线段PF1的中点在y轴上
设P的横坐标为x，F1（﹣c，0），
∴﹣c+x=0，∴x=c；
∴P与F2的横坐标相等，∴PF2⊥x轴，
∵∠PF1F2=30°，
∴PF2=，
∵PF1+PF2=2a，∴PF2=，
tan∠PF1F2===，
∴=，∴e==．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆的简单性质的灵活运用．
7. 方程的两个根可分别作为（ ）的离心率。
A．椭圆和双曲线 B．两条抛物线 C．椭圆和抛物线 D．两个椭圆
参考答案：
A
8. 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于两点，若线段的中点坐标为，则的值为( )
（A） (B) （C） (D)
参考答案：
C
9. 函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（ ）
A．y=2sin（2x+） B．y=2sin（2x+） C．y=2sin（﹣） D．y=2sin（2x﹣）
参考答案：
A
【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】根据已知中函数y=Asin（ωx+?）在一个周期内的图象经过（﹣，2）和（﹣，2），我们易分析出函数的最大值、最小值、周期，然后可以求出A，ω，φ值后，即可得到函数y=Asin（ωx+?）的解析式．
【解答】解：由已知可得函数y=Asin（ωx+?）的图象经过（﹣，2）点和（﹣，2）
则A=2，T=π即ω=2
则函数的解析式可化为y=2sin（2x+?），将（﹣，2）代入得
﹣+?=+2kπ，k∈Z，
即φ=+2kπ，k∈Z，
当k=0时，φ=
此时
故选A
10. 抛物线的准线方程是 （ ）
A． B． C． D．
参考答案：
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知为中边的中点，若，则 ；
参考答案：
0
12. 已知函数，则
参考答案：
13. 过抛物线y2＝4x的焦点作直线与其交于M、N两点，作平行四边形MONP，
则点P的轨迹方程为________.
参考答案：
14. 4xdx＝________.
参考答案：
略
15. 命题“如果＋(y＋1)2＝0，则x＝2且y＝－1”的逆否命题为________
参考答案：
略
16. 平面向量，，两两所成角相等，且||=1，||=2，||=3，则|++|为 ．
参考答案：
或5
【考点】向量的三角形法则．
【分析】由平面向量，，两两所成角相等，可得两两所成角为0°或120°．再利用数量积运算性质即可得出．
【解答】解：∵平面向量，，两两所成角相等，
∴两两所成角为0°或120°．
∵||=1，||=2，||=3，
当所成角为120°时，
∴=1×2×cos120°=﹣1，
=﹣，
=﹣3，
则|++|===．
同理可得：当所成角为0°时，
则|++|==5．
故答案为：或5．
17. 若直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣4y+1=0所截得的弦长为4，则的最小值为 ．
参考答案：
【考点】直线与圆相交的性质；基本不等式．
【分析】由已知中圆的方程x2+y2+2x﹣4y+1=0我们可以求出圆心坐标，及圆的半径，结合直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣4y+1=0所截得的弦长为4，我们易得到a，b的关系式，再根据基本不等式中1的活用，即可得到答案．
【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y+1=0是以（﹣1，2）为圆心，以2为半径的圆，
又∵直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣4y+1=0所截得的弦长为4，
故圆心（﹣1，2）在直线ax﹣by+2=0上
即： +b=1
则==（）+（）≥
故的最小值为
故答案为：．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知点M到点的距离比到轴的距离大1.
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）设直线l：，交轨迹C于A，B两点，O为坐标原点，试在轨迹C的AOB部分上求一点P，使得△ABP的面积最大，并求其最大值.
参考答案：
解：（1）因为点M到点F(1,0) 的距离比到y轴的距离大1，所以点M到点F(1,0)的距离等于它到直线m:x＝－1的距离
由抛物线定义知道，点M的轨迹是以F为焦点，m为准线的抛物线或x轴负半轴
设轨迹C的方程为： ，
轨迹C方程为： 或
（2）设A（x1,y1）,B（x2,y2）, P（x0,y0）
直线l化成斜截式为
当直线l的平行线与抛物线相切时△ABP的面积最大
由图知P点在第四象限.抛物线在x轴下方的图象解析式：
，所以
，解得，
所以P点坐标
P点到l的距离
A，B两点满足方程组
化简得.
x1,x2 为该方程的根. 所以
19. 已知△ABC，角A，B，C的对边分别为a，b，c且a2﹣c2=b（a﹣b）且c=
（1）求角C；
（2）求△ABC面积的最大值．
参考答案：
【考点】余弦定理的应用．
【专题】方程思想；解三角形．
【分析】（1）把已知的等式变形后，得到一个关系式，然后利用余弦定理表示出cosC，把变形后的关系式代入即可求出cosC的值，根据C的范围，利用特殊角的三角函数值即可得到C的度数；
（2）运用余弦定理可得c2=a2+b2﹣ab，运用基本不等式可得ab≤6，再由三角形的面积公式即可得到最大值．
【解答】解：（1）因为a2﹣c2=b（a﹣b），即a2+b2﹣c2=ab，
则cosC===，又C∈（0°，180°），
所以∠C=60°．
（2）由余弦定理可得，c2=6=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab=ab，
即有ab≤6，当且仅当a=b，取得等号．
则△ABC的面积为S=absinC=ab≤，
当且仅当a=b=，取得最大值．
【点评】本题考查余弦定理和三角形的面积公式的运用，考查运用基本不等式求最值的方法，属于中档题．
20. 学校为扩大规模，把后山一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形运动场地．已知，曲线段是以点为顶点且开口向上的抛物线的一段（如图所示）．如果要使矩形的相邻两边分别落在上，且一个顶点落在曲线段上，问应如何规划才能使运动场地面积最大？
参考答案：
解：建立平面直角坐标系如图所示，设曲线段所在的抛物线方程为
……………………………………………………………………2分
由已知得点C的坐标为（20，40），代入方程得
………………………4分
设矩形运动场
…………………………6分
………………………………………11分
………………12分
21. 已知函数在处有极小值－1．
（1）求a、b的值；
（2）求出函数的单调区间．
参考答案：
单调增区间为和，函数的单调减区间为．
(1)由已知，可得f(1)＝1－3a＋2b＝－1，①又f′(x)＝3x2－6ax＋2b，
∴f′(1)＝3－6a＋2b＝0.②由①②解得
(2)由(1)得函数的解析式为f(x)＝x3－x2－x.
由此得f′(x)＝3x2－2x－1.
根据二次函数的性质，
当x<－或x>1时，f′(x)>0；
当－
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