上海市长征中学高一数学理期末试卷含解析

上海市长征中学高一数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1 经长期观察，函数的图象可以近似地看成函数的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是                                     （     ） A．        B． C．          D． 参考答案： A 略 2. 已知奇函数的图像关于直线对称，且，则的值为（    ） A. 3 B. 0 C. -3 D. 参考答案： C 【分析】 由函数的图象关于直线对称，可得，再结合为奇函数，求得的值. 【详解】解：由函数的图象关于直线对称，可得， 再结合为奇函数，可得， 求得， 故选：C. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的性质，函数的图象的对称性，属于基础题. 3. 已知等比数列{an}的公比是q，首项a1＜0，前n项和为Sn，设a1，a4，a3﹣a1成等差数列，若Sk＜5Sk﹣4，则正整数k的最大值是（　　） A．4 B．5 C．14 D．15 参考答案： A 【分析】运用等差数列的中项的性质，结合等比数列的定义，可得公比，再由等比数列的求和公式，以及不等式的解法，即可得到所求最大值． 【解答】解：若a1，a4，a3﹣a1成等差数列， 可得2a4=a1+a3﹣a1=a3， 即有公比q==， 由Sk＜5Sk﹣4，可得＜5?， 由a1＜0，化简可得1﹣＞5﹣， 即为2k＜，可得正整数k的最大值为k为4． 故选：A． 　 4. 两圆的位置关系是（    ）           A.相交        B.外切          C.相离         D.内切 参考答案： B 略 5. 复数=（  ） A.i                 B.－i             C.1+ i            D.1－i 参考答案： A .   6. 对于样本频率分布直方图与总体密度曲线的关系，下列说法正确的是（   ） A．频率分布直方图与总体密度曲线无关 B．频率分布直方图就是总体密度曲线 C．样本总量很大的频率分布直方图就是总体密度曲线 D．如果样本容量无限增大，分组的组距无限减小，那么频率分布直方图就会无限接近于总体密度曲线 参考答案： D 略 7. 下列说法中，正确的个数是（　） ①存在一个实数，使； ②所有的质数都是奇数； ③斜率相等的两条直线都平行； ④至少存在一个正整数，能被５和７整除。 Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４ 参考答案： Ｃ  解析：①方程无实根；②２时质数，但不是奇数；③④正确。   8. 已知函数f（x）=ax+b+3（a＞0且a≠1）恒过定点（﹣1，4），则b的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 参考答案： A 【考点】指数函数的图象与性质． 【分析】根据指数函数过定点的性质即可确定定点的坐标． 【解答】解：令x+b=0，x=﹣1时，解得：b=1， 此时f（x）=1+3=4， 故b的值是1， 故选：A． 9. 函数的零点所在的大致区间是 A．        B．        C．        D． 参考答案： B 10. log2的值为(　　)． A．－        B.         C．－        D． 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x，则不等式f（x+1）＜3的解集是　　． 参考答案： （﹣4，2） 【考点】奇偶性与单调性的综合． 【分析】根据条件，f（x+1）=f（|x+1|）＜3，可得f（|x+1|）=（x+1）2﹣2|x+1|＜3，求解不等式即可． 【解答】解：∵函数f（x）为偶函数， ∴f（|x|）=f（x）， ∴f（x+1）=f（|x+1|）＜3， ∴f（|x+1|）=（x+1）2﹣2|x+1|＜3， ∴﹣1＜|x+1|＜3， 解得﹣4＜x＜2， 故答案为（﹣4，2）． 12. 若cos（65°+α）=，其中α为第三象限角，则cos+sin（α﹣115°）=　　． 参考答案： 【考点】两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数． 【分析】由题意可得65°+α为第四象限角，再利用诱导公式、角三角函数的基本关系求得所给式子的值． 【解答】解：∵cos（65°+α）=，其中α为第三象限角， ∴65°+α为第四象限角． ∴可得：cos+sin（α﹣115°） =﹣cos（65°+α）﹣sin（65°+α） =﹣﹣（﹣） =﹣+ =． 故答案为：． 13. ．函数的定义域为___   ▲   .     参考答案： 14. 如图，一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为360颗，以此实验数据1000为依据可以估计出该不规则图形的面积为　　平方米．（用分数作答） 参考答案： 【考点】模拟方法估计概率． 【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计． 【分析】根据几何概型的意义进行模拟试验计算不规则图形的面积，利用面积比可得结论． 【解答】解：∵向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为360颗， 记“黄豆落在正方形区域内”为事件A， ∴P（A）==， ∴S不规则图形=平方米， 故答案为：． 【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关． 15. （3分）设x＞0，则x+的最小值为         ． 参考答案： 考点： 基本不等式． 专题： 不等式的解法及应用． 分析： 变形利用基本不等式的性质即可得出． 解答： ∵x＞0， ∴x+=x+1+﹣1﹣1=﹣1，当且仅当x=﹣1时取等号． 故答案为：． 点评： 本题考查了基本不等式的性质，属于基础题． 16. 若角，则角所在的象限是　　　　　． 参考答案： 第一或第二象限 17. 计算的结果为　　　▲　　. 参考答案： 5 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 若,,且, ,求下列各值. (1)        (2) 参考答案： 解：(1) 且  \ \ (2) 由(1)知 \ 或 19. 如图，扇形AOB，圆心角AOB等于60°，半径为2，在弧上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP=θ，求△POC面积的最大值及此时θ的值． 参考答案： 【考点】HO：已知三角函数模型的应用问题． 【分析】根据CP∥OB求得∠CPO和和∠OCP进而在△POC中利用正弦定理求得PC和OC，进而利用三角形面积公式表示出S（θ）利用两角和公式化简整理后，利用θ的范围确定三角形面积的最大值． 【解答】解：因为CP∥OB，所以∠CPO=∠POB=60°﹣θ，∴∠OCP=120°． 在△POC中，由正弦定理得 =，∴ =，所以CP=sinθ． 又=，∴OC=sin（60°﹣θ）． 因此△POC的面积为 S（θ）=CP?OCsin120°=?sinθ?sin（60°﹣θ）× =sinθsin（60°﹣θ）=sinθ（cosθ﹣sinθ） =（sinθcosθ﹣sin2θ） =（sin2θ+cos2θ﹣） = [cos（2θ﹣60°）﹣]，θ∈（0°，60°）． 所以当θ=30°时，S（θ）取得最大值为． 20. 已知集合A={︱3＜≤7},B={x︱2<<10},C={︱<}                          ⑴ 求A∪B，(CuA)∩B ⑵ 若A∩C≠，求a的取值范围 参考答案： 解：⑴ ∵A={︱3＜≤7}   ∴CuA={︱≤3或＞7}        2分              又∵B={x︱2<<10}    ∴A∪B={x︱2<<10}  5分                            (CuA)∩B={︱2<≤3或7＜<10}  7分 ⑵∵C={︱<}且A∩C≠                                            ∴≥3     7分         21. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：         （1）请将上表数据补全,并直接写出函数的解析式； （2）将函数图像上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，得到函数的图像，求函数的单调减区间.     参考答案： .解： （1） 函数的解析式为 ………………………………………6分 （2）函数                 ……………………………………8分 令 得 ∴函数的单调减区间是…………………………12分   略 22. 已知数列{an}的前n项和为，对任意满足，且，数列{bn}满足，，其前9项和为63. （1）求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）令，数列{cn}的前n项和为Tn，若存在正整数n，有，求实数a的取值范围； （3）将数列{an},{bn}的项按照“当n为奇数时，an放在前面；当n为偶数时，bn放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新的数列：…，求这个新数列的前n项和Sn. 参考答案： （1）；（2）；（3） 试题分析：（1）由已知得数列是等差数列，从而易得，也即得，利用求得，再求得可得数列通项，利用已知可得是等差数列，由等差数列的基本量法可求得；（2）代入得，变形后得，从而易求得和，于是有，只要求得的最大值即可得的最小值，从而得的范围，研究的单调性可得；（3）根据新数列的构造方法，在求新数列的前项和时，对分类：，和三类，可求解． 试题解析：（1）∵，∴数列是首项为1，公差为的等差数列， ∴，即， ∴， 又，∴． ∵，∴数列是等差数列， 设的前项和为，∵且， ∴，∴的公差为 （2）由（1）知， ∴ ， ∴ 设，则， ∴数列为递增数列， ∴， ∵对任意正整数，都有恒成立，∴． （3）数列的前项和，数列的前项和， ①当时，； ②当时，， 特别地，当时，也符合上式； ③当时，． 综上： 考点：等差数列的通项公式，数列的单调性，数列的求和．